對小學生數學思維發展的思考

文/管景強

摘 要：在平時教學中教師都會發現，通過一定的訓練和指導，學生對與例題相近的、常見問題解題技能會明顯提高，但只要題目稍加變化，學生就會變得不會思考，只能機械照搬或一籌莫展。是什么封閉了學生的思維空間？又該怎樣打開這個空間，發展學生的數學思維呢？應該把學生思維的發展作為數學教學的核心，培養學生思維的靈活性和創造性，才能使學生經歷真正意義上的數學學習。

關鍵詞：數學思維；發展過程；練習；反思；習慣

【案例1】

如圖1：一個長18米，寬12米的長方形苗圃一面靠墻，其他面圍上竹籬笆，求竹籬笆長多少米？

解決這個問題時，對全班46名學生的計算方法進行了統計：

（1）（18＋12）×2 7人 占15.2%

（2）（18＋12）×2－18 25人 占54.3%

（3）18×2＋12 6人 占13.0%

（4）18＋18＋123人 占6.5%

（5）不會解答或其他列式錯誤 5人 占10.9%

分析：第（1）種方法肯定是錯誤的，學生沒有考慮到長方形苗圃一面靠墻不需要圍竹籬笆這一情況，直接套用了長方形周長計算公式。很多學生用第（2）種方法來計算，先用長方形周長公式求出長方形的周長，然后再減去一條長，求出竹籬笆的長度。共有約20%的學生用第（3）、（4）種方法，根據平面圖形周長的意義來計算的，而第（3）種形式上更為簡單些。為什么會有超過一半的學生用第（2）種方法來計算呢？經過了解，這部分學生說出了想法：老師要求我們牢牢記住長方形的周長公式是長加寬的和乘以2，因此，我們平時碰到和長方形周長有關的問題，習慣上都用公式先算出長方形的周長。教師在教學中過于強調用長方形周長計算公式解題，平時大量的訓練和教師的要求促使學生牢記了計算公式而忽略周長的意義，忽視了最基本求圖形周長的方法，才使得學生機械照搬。

【案例2】

（蘇教國標版六年級上冊P108思考題）圖2中正方形的面積是8平方厘米，涂色部分的面積是多少平方厘米？

在教學這道思考題時，教師引導學生觀察圖形，發現涂色部分的面積就是圓的面積的四分之三，進而理清了解題思路：先求出圓的面積再除以4乘以3算出涂色部分的面積。接下來，該學生根據題目中給出的條件獨立計算了，這時有學生舉起了手。

生1：老師，這道題少條件，算不出圓的面積。

師：你為什么覺得少條件？

生1：要求圓的面積必須告訴我們圓的半徑，這題圓的半徑不知道，怎么求?。?/p>

師：圓的半徑不知道，就求不出來了嗎？

生1：老師，你以前說過，要求圓的面積必須要先知道圓的半徑。以前我們遇到的題，如果不直接告訴我們圓的半徑也會告訴我們圓的直徑或圓的周長，這樣我們就可以先求出圓的半徑，這題告訴我們的那個正方形的面積求不出圓的半徑啊。

生2：老師，我倒覺得如果正方形的面積不是8平方厘米而是9平方厘米，那就好了。

師：為什么？

生2：這樣我就知道圓的半徑是3厘米了，如果面積是8平方厘米，圓的半徑還真算不出來。

……

分析：正如案例中生1說的那樣：平時教學中求圓的面積，教師強調最多的是必須知道圓的半徑，如果圓的半徑不知道，也要通過已知條件先求出圓的半徑。生2雖然已經發現了正方形的面積與圓的半徑間的關系，但是他的關注點還是在要先求出圓的半徑上。所以大多數學生面對此題，就會因求不出圓的半徑而無法求解。正因為教師平時牢牢抓住的“必須知道圓的半徑”這一解題條件，并加以反復訓練，才使得學生一籌莫展。

【反思】

案例1中學生牢記了計算公式而忽視周長的本質意義，案例2中學生只關注到了圓的半徑卻忽略了半徑的平方。從這兩個例子中我們很明顯地看出部分學生的思維是被限制住了，為什么會被限制呢？除去個體差異因素外，恐怕教師平時的教學起著不可忽略的作用。正是教師平時過于強調長方形的周長公式解題、強調要求圓的面積必須先知道圓的半徑，而平時的練習又恰恰凸顯、強化了教師所強調的內容，這才限制住了學生的思維。教師的過分強調加上平時訓練的過于強化封閉了學生的思維空間，這才造成了部分學生只能機械照搬或一籌莫展了。類似的例子還有：學習完圓錐體積計算后，只要題目中出現了“圓錐”這個詞，不假思索地記得一定要除以三或乘以三分之一；學習完按比例分配的問題，當已知數量不是各部分的總量時，仍舊套用按比例分配的方法；學習完梯形的面積計算后，當問題中沒有出現梯形的上底和下底具體數值而只告知上下底之和時，認為缺少條件而計算不出面積……

《義務教育數學課程標準》明確指出：數學教學活動應激發學生興趣，調動學生的積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，掌握有效的數學學習方法。教師教學要通過有效的措施，啟發學生思考，引導學生自主探索，鼓勵學生合作交流，使學生真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，得到必要的數學思維訓練，獲得基本的數學活動經驗。從案例中可以看出，教師平時的教學活動顯然沒有達到課標所提的要求，學生解決問題時思維形成了一種定勢、一種習慣，不利于數學思維的發展。

【對策】

1.經歷知識形成的過程

數學知識的理解、技能的掌握、思維的發展、經驗的積累很大一部分是在教學活動中完成的。對于書本中出現的概念、原理、定律、公式，不應只求記住結論、機械應用，而應經歷結論發現、探索、形成的過程，多思考結論背后的智慧。這樣數學的思想方法才能積淀、凝聚在這些結論上，學生的數學思維能力才會逐步提高。拿案例1中所涉及的長方形周長公式來說，我們在教學長方形周長公式時應從圖形周長本質意義入手，先突出最基礎、最本質的方法，在此基礎上再經歷長方形周長公式的優化過程，逐步抽象出計算公式，再把得到的公式與本質方法進行對比反思。不需要教師的刻意強調，相信更多的學生今后會根據實際情況靈活地運用。

2.科學合理地設計練習

學生數學思維的發展離不開一定數量的訓練，科學的、合理的訓練才能促進理解，發展思維。反之，如果教師只依靠模仿練習、類型歸類、題海訓練來讓學生記住知識的話，就會將數學分割成零散的小步驟來訓練，數學思想就會被割裂開來，進而影響學生的創造力，阻礙數學思維的發展。有研究表明：數學訓練的第一個層次是“知識堆積”與“解題術”，第二個層次是“思維方法”與“解題方法”，第三個層次才是“數學思想”與“數學觀念”。因此，教師在教學中設計的練習也要涉及這些層次，合理、分層地進行設計。先進行模仿練習，目的是鞏固剛學的基礎知識和基本技能；再進行變式練習，目的是理解方法、引發思考、發散思維；最后進行應用練習，目的是培養學生的數學應用意識，體驗數學與生活的緊密聯系及數學學習的價值。

3.注重解題之后的反思

要打開學生的數學思維，獲得必要的數學思想方法，就要求我們在解決問題的訓練中必須注重反思，使學生在反思過程中能夠自己去領悟。數學學習時，要引導學生自覺地檢查自己的思維活動，如，反思這個問題與曾經遇到或解決過的問題有什么聯系，自己是怎樣解決這個問題的，用到了哪些數學思考方法、技能和技巧，其中有什么值得以后注意的地方，結論是否合理正確，還能不能通過其他途徑來解決這個問題等。通過解決問題后的反思知識聯系、反思解題過程、反思經驗教訓等一系列思維活動，讓學生的數學思維在解決問題后繼續飛翔。

4.養成創造性習慣

葉圣陶說過：“教育是什么，往單方面講，只需一句話，就是要培養良好的習慣?！睂W生數學學習習慣作為一種重要的非智力因素，是學生必備的基本素質。發展學生的數學思維，要注重學生數學學習習慣的培養，除了課前預習、專心聽講、認真作業等傳統學習習慣，更要關注學生的創新意識，培養學生創造性的學習習慣。如，敢于質疑，在學生經歷數學知識形成的探究活動中，鼓勵學生敢于發現、提出有針對性、有價值的數學問題，學會質疑問難；勤于實踐，小學生的思維活動處在具體形象思維向抽象邏輯思維發展的過渡階段，可以多做一些操作性活動來提供感性材料的支持，通過具體實踐來探究新知；善于思考，可以為學生多創造能夠“創新”的實踐活動，如一題多解、一題多變、猜想、推理、討論等數學活動。使得學生善于從多角度思考與解決問題，培養數學思維的多向性和靈活性。

編輯 謝尾合