基于APOS理論的直線的傾斜角與斜率教學研究

文/羅湘+王小艾

摘 要：APOS理論是由美國數學家杜賓斯基提出來的一種建構主義學說，現階段與中小學階段關聯較少。通過對APOS理論的介

紹，以“直線的傾斜角與斜率”設計為載體，展示APOS理論的四個成分，并在此基礎上得到教學啟示。

關鍵詞：概念教學；APOS理論；教學設計

一、APOS理論概述

APOS理論是杜賓斯基等人提出的關于概念教學的一種理論。它指出學生通過不斷構建、調整自己的認知結構，使得主客觀得到統一，最終建立新的認知結構。因此，如何幫學生建立起適當的心智結構是一個值得研究的問題。APOS理論分別是由英文action、process、object和scheme的第一個字母所組合而成。APOS理論包含以下四個基本成分：

活動（Action）：個體通過指令對客觀數學對象進行變換，或是做出反應。這里的活動強調親身經歷、感受，通過不同的活動來獲得知識（概念）的意義。

程序（Process）：個體通過并不斷重復這個活動，對其反思，進而形成內部結構。只要參與相應的活動或者給出相應的刺激，個體便會做出相應的反應，這時活動內化為程序。

對象（Object）：個體將上述程序作為整體進行操作，能了解和推出該對象的性質，并能進行一定的數學運算，這時程序就變成了對象。

圖式（Scheme）：個體通過上述三個成分及它原有的圖式進行整合，從而產生新的圖式，建立新的知識網絡，有利于學習其他高層次的知識。

二、直線的斜率和傾斜角教材說明

在普通高中數學課程標準實驗教科書數學2必修（A版）（人民教育出版社2007年2月第3版）第82-86頁中，直線的傾斜角和斜率一節的內容安排是這樣的。

（1）在同一平面內作出無數條傾斜程度不同的直線后，引入直線傾斜角的定義。（2）由生活中“坡度”的概念聯想到傾斜角的正切，引出直線的斜率的概念，進而推出兩點間的直線的斜率公式。（3）最后是兩個例題，一個是分別求出由三個點組合成的三條直線的斜率，判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角；另外一個是在平面直角坐標系中，畫出過原點且斜率分別為四個不同值的直線。這樣的編排聯系不緊密。新課標要求教學和實際生活聯系起來，讓學生學以致用，而教材中與生活中的情境結合得少。

三、基于APOS理論的直線的斜率和傾斜角教學設計

1.活動

利用幻燈片給出樓梯和比薩斜塔的圖片，問學生這兩者有什么共同之處？引發學生思考，然后結合生活中的圖片引入三個情境，通過三個情境四個問題來引入新知識。

情境一

問題1：對于平面直角坐標系內的一直線l，你認為它的位置由哪些條件確定？

問題2：任何一條直線與x軸都有一個相對傾斜度，這個傾斜度可以用一個什么幾何量來反映？

情境二

問題3：如果你是一名滑梯的設計師，滑梯該怎樣設計既能保證安全又刺激？

情境三

問題4：討論坡度與坡長、坡高有什么關系？

設計意圖：通過真實的實例來吸引學生的注意力，并通過3個問題情境，讓學生從實際和經驗中領悟到直線的傾斜角和斜率的

意義與價值，激發學生探究的興趣。

2.程序

通過以上3個情境，讓學生分析其共同點，結合以前初中學過的知識，教師引導學生思考傾斜度和坡度之間的關系，引入直線的傾斜角和斜率的定義。

并提出兩個問題：

（1）傾斜角為90°為什么沒有斜率？

（2）斜率還可以用什么方式表示？

設計意圖：教師引導，學生探究這一方式，讓學生體驗直線的傾斜角和斜率的概念的生成過程。教師通過提問，讓學生反思和了解斜率存在的幾種情況，幫助學生理清思路，使要探究的問題處于學生的“最近發展區”內，為下一步介紹斜率的公式埋下伏筆。

3.對象

通過回憶初中所學過的向量的基礎知識，用向量來表示坐標及斜率與傾斜角之間的關系，讓學生自己推導出斜率的公式及斜率存在的范圍。

設計意圖：通過師生共同活動，讓學生頭腦中的新知識和舊知識建立聯系，形成新的認知結構。

4.圖式

通過上述，學生對直線的傾斜角和斜率及斜率公式有了一定的理解，教師講解下面兩個例題，幫助學生將所學的知識做到學以致用，并可以將這些知識真正納入自己的知識體系，形成學生頭腦中的認知結構。

（1）已知，A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角。

（2）已知，直線l經過三點A（3，5）、B（x，7）、C（-1，y），若直線l的斜率為k=2，求x、y的值。

設計意圖：通過以上三個階段，學生在頭腦中建立了直線的傾斜角、斜率、斜率公式、斜率存在的條件等圖式，學生通過做練習題，將頭腦中的圖式重新組合，形成新的圖式網絡，為后面學習兩條直線平行與垂直的判定奠定基礎。

四、教學啟示

APOS理論加強了與學生的實際經歷之間的聯系，幫助學生更快地建立起所學知識的認知框架，讓學生學習數學的過程變成一個不斷發現、創造的過程。概念的學習不能強制地灌輸給學生，應該努力創設適合學生學習數學的情境，激發學生的興趣。APOS理論中程序到對象的過程是一個螺旋上升的過程，教師可根據班級情況，合理地安排對象和程序的進程。教師應多給予學生學習探究數學概念的時間，為后面學生學習更高層次的知識奠定好的基礎。由此可見，基于APOS理論設計數學探究課不失為一種有效方法。

參考文獻:

［1］張偉平.基于APOS理論的數學概念教學研究［J］.數學通訊，2006（02）.

［2］徐曉燕.基于APOS理論下的概念教學設計［J］.中國數學教育，2011（11）.

編輯 謝尾合

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