以“轉化”為例談小學數學思想方法的全局把握

吳賢

【摘 要】《義務教育數學課程標準（2011年版）》頒布后，數學思想方法成為新的研究熱點。但當下“散點滲透式”的教學方式，還難以達成“使學生獲得數學基本思想”的目標。以“轉化”這一數學思想為例，教師可以站在全局的視野，從內容梳理、方法建構、整體溝通三個維度，對數學思想方法如何在數學教學中有效落實作出有益的探索與實踐。

【關鍵詞】數學思想轉化全局把握

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出通過數學課程，滲透數學思想，提高數學素養，這使得數學思想方法再次成為小學數學關注和研究的熱點。以“轉化”這一較常見的思想方法為切入點，筆者嘗試突破數學思想方法“散點滲透式”的傳統教學方式，著力以全局視野進行內容上的全息梳理和方法上的統籌考量，以構建出數學思想方法教學的整體脈絡。

一、內容梳理：為轉化思想畫一幅全息地圖

要使數學思想方法的學習不再是知識點中的零散滲透、教學中的即興穿插，就必須形成一幅多維、立體、全視域的小學數學思想方法“全息地圖”。

1.橫向與縱向——“轉化”的兩種脈絡。

從教材內容這一橫向脈絡，可以梳理出“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”及“綜合與實踐”四個部分中的轉化思想。如小學一年級“數與代數”部分，就有“數的分與合”這樣的“構造轉化”、“湊十法”這樣的“復雜—簡單轉化”以及把自然數序列轉化為數軸圖這樣的“數形轉化”等。而從知識發展這一縱向脈絡觀察，轉化思想又呈現出在同一領域反復理解、螺旋上升的狀態。以數的運算為例，從幾加幾到9加幾，從乘法口訣到用口訣算整十、整百數乘法，從整數四則運算到小數四則運算，從同分母加減到異分母加減，從分數乘法到分數除法進而到百分數運算，能看出在整個小學階段，轉化思想在不同內容中的反復強化與凸顯。

2.顯性與隱性——“轉化”的兩種形態。

學生學習某一知識，如平行四邊形的面積，無論是傳統教法還是學生自主探究，都會出現把平行四邊形轉化成長方形進而推導公式的情況，這體現出轉化思想的一種顯性特質。而有時，轉化又是隱性的，需要教師具有較強的數學素養，在研讀教材的過程中加以發現。如四年級“三角形的內角和”中，教材通過把三個角“折并”成一個角得到內角和，就隱含著“等價轉化”思想。

二、方法建構：給轉化思想尋一條教學路徑

通過多維度梳理，我們得到了一幅線索清晰的“轉化思想內容圖”，在實際教學中就可以進行全盤統籌的考量。

1.瞻前顧后：給轉化思想一個系統的邏輯架構。

數學思想方法不僅要有一個準確的目標定位，還需要建立一個系統的邏輯框架，形成一條無形的線，在時間序列中不斷盤桓、浸潤。如教學“圓柱體積公式的推導”，如果僅僅將其孤立地看成圓柱向長方體的等體積轉化，就很容易成為一種個例的學習，而如果放手讓學生提前嘗試思考：借助已有知識，你能想辦法推導出圓柱的體積公式嗎？則會因各個學生不同的知識構造，呈現出獨具特色的個人傾向：有的把圓柱水平切成無數圓片，借助平移長方形得到長方體的感悟，以極限思想推導；有的聯系圓面積推導過程，把圓柱底面均分成若干個等體積扇形，類比轉化探索公式；還有的試圖把圓柱切成許多個小長方體，雖然難以推導出公式，但嘗試的過程未嘗不閃爍著學生獨立運用轉化策略進行思考、分析的光芒。

因此，在教學中，如果教師能在不同內容的教學中，把握每一次機會讓學生充分感受所用到的數學思想方法，當他們獨立思考解決類似的問題時，就會充分展示出自己“潛藏”的、體悟過的數學思想方法，而后，教師進行分析和比較，就會讓學生對這些數學思想方法的認識更清晰、應用更自覺，進而為數學思想方法的教學搭建起系統的邏輯框架。

2.螺旋發展：給轉化思想一個遞進的生長空間。

在教學中，我們還應為轉化思想創造一個螺旋發展的生長空間，關注到數學思想方法的遞進、延展。如學習“整十數乘一位數”時可以讓學生說說：明明讓算20×3，你怎么會算成2×3呢？學習“不進位的兩位數乘一位數”時，讓學生反思：算法雖然不同，但都要把14×2進行變化或分解，成為我們熟悉的計算就好辦了。學習“48×2”時，讓學生體會“拆開來”算的好處。只要有機會，都試著外化學生樸素的思考，將轉化思想的價值用描述性的問題或簡單的結語體現出來。單元復習時利用計算“48×9”，讓學生思考：你能用哪些方法進行計算？無論是用豎式還是還原成加法，還是用8×9=72、40×9=360、72+360=432，甚至用48×10后再減48，都體現出了轉化的思想。

在小學六年的教學中，如果能這樣不斷地凸顯某一種數學思想方法，讓學生充分體會其價值，學生就會對各種數學思想方法都有充分的積淀，這必將為其今后的學習提供一個更廣闊的生長空間。

三、整體溝通：為數學思想方法織一張全局的網

張奠宙教授說：“只有把數學思想方法嵌入日常的教學之中，成為教師備課的有機組成部分，‘四基數學教學才能真正落到實處。”在教學中，教師應引導學生對思想方法本身、對其與實際生活、與人的學習進行更為全面的聯系，這樣，數學思想方法才能真正融入學生的行為、思考方式中，成為影響他們終身的素養。

1.橫向溝通，讓轉化與其他思想建立廣泛的聯系。

新課標提出了三種數學基本思想，而基本思想又衍生、發展出數十種思想（如分類、集合等），在解題中，又會形成更為多樣的思想方法，可見，數學基本思想之間、基本思想與衍生思想之間、數學思想與方法之間存在著緊密的聯系。我們應重視這些聯系，以總體的眼光看待小學階段的數學思想方法，不僅心中有明晰的某一思想方法之線，腦中還要形成多種數學思想方法之譜。可以通過積極融匯學生所呈現的不同數學思想方法，豐富學生的認識和經驗。如解決這樣的問題：將長6厘米、寬4厘米的長方形的長和寬分別增加■，現在長方形的面積是原來的幾分之幾？任意找一個長方形，結論是否不變？對分數乘除印象深刻的學生會將此問題轉化為兩個簡單問題的疊加，即長是原來長的■，面積就是原來面積的■，寬也是原來寬的■，面積就是原來面積的■；習慣進行歸納推理的學生，會由特殊到一般，通過多個數據的計算進行推論；函數思想發展較好的學生，會通過設長、寬分別為a、b，用字母式進行計算證明；“數形結合”思想運用得較好的學生，會用圖進行解釋。學生不同的思考路徑顯示出他們在數學思想方法運用中鮮明的個人傾向，進一步讓學生討論“你喜歡誰的方法？其他方法給了你怎樣的啟示？”又可以讓學生在求同存異中明確不同思想方法在具體應用中的優點和問題，使學生解決實際問題更為靈活、更具適切性。

2.縱向溝通，讓轉化與一般學習建立豐富的關聯。

學習內在的機理是相通的，數學學習中所獲取的轉化、分類討論、模型等思想意識，完全可以在其他學科的學習中得到應用，同時也可以通過其他學科的學習得以鞏固。在學校組織的一次數學與科學學科的聯合教研中，能把數學中的轉化思想應用到科學學習中的學生，就很好地設計出了檢驗“空氣是不是有質量”的方案。如果能讓數學學習與一般學習相互影響，那我們將能真正讓數學思想方法在學生頭腦中活起來，使其真正成為學生學習后可以“帶得走的東西”。■

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文二等獎

【摘 要】《義務教育數學課程標準（2011年版）》頒布后，數學思想方法成為新的研究熱點。但當下“散點滲透式”的教學方式，還難以達成“使學生獲得數學基本思想”的目標。以“轉化”這一數學思想為例，教師可以站在全局的視野，從內容梳理、方法建構、整體溝通三個維度，對數學思想方法如何在數學教學中有效落實作出有益的探索與實踐。

【關鍵詞】數學思想轉化全局把握

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出通過數學課程，滲透數學思想，提高數學素養，這使得數學思想方法再次成為小學數學關注和研究的熱點。以“轉化”這一較常見的思想方法為切入點，筆者嘗試突破數學思想方法“散點滲透式”的傳統教學方式，著力以全局視野進行內容上的全息梳理和方法上的統籌考量，以構建出數學思想方法教學的整體脈絡。

一、內容梳理：為轉化思想畫一幅全息地圖

要使數學思想方法的學習不再是知識點中的零散滲透、教學中的即興穿插，就必須形成一幅多維、立體、全視域的小學數學思想方法“全息地圖”。

1.橫向與縱向——“轉化”的兩種脈絡。

從教材內容這一橫向脈絡，可以梳理出“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”及“綜合與實踐”四個部分中的轉化思想。如小學一年級“數與代數”部分，就有“數的分與合”這樣的“構造轉化”、“湊十法”這樣的“復雜—簡單轉化”以及把自然數序列轉化為數軸圖這樣的“數形轉化”等。而從知識發展這一縱向脈絡觀察，轉化思想又呈現出在同一領域反復理解、螺旋上升的狀態。以數的運算為例，從幾加幾到9加幾，從乘法口訣到用口訣算整十、整百數乘法，從整數四則運算到小數四則運算，從同分母加減到異分母加減，從分數乘法到分數除法進而到百分數運算，能看出在整個小學階段，轉化思想在不同內容中的反復強化與凸顯。

2.顯性與隱性——“轉化”的兩種形態。

學生學習某一知識，如平行四邊形的面積，無論是傳統教法還是學生自主探究，都會出現把平行四邊形轉化成長方形進而推導公式的情況，這體現出轉化思想的一種顯性特質。而有時，轉化又是隱性的，需要教師具有較強的數學素養，在研讀教材的過程中加以發現。如四年級“三角形的內角和”中，教材通過把三個角“折并”成一個角得到內角和，就隱含著“等價轉化”思想。

二、方法建構：給轉化思想尋一條教學路徑

通過多維度梳理，我們得到了一幅線索清晰的“轉化思想內容圖”，在實際教學中就可以進行全盤統籌的考量。

1.瞻前顧后：給轉化思想一個系統的邏輯架構。

數學思想方法不僅要有一個準確的目標定位，還需要建立一個系統的邏輯框架，形成一條無形的線，在時間序列中不斷盤桓、浸潤。如教學“圓柱體積公式的推導”，如果僅僅將其孤立地看成圓柱向長方體的等體積轉化，就很容易成為一種個例的學習，而如果放手讓學生提前嘗試思考：借助已有知識，你能想辦法推導出圓柱的體積公式嗎？則會因各個學生不同的知識構造，呈現出獨具特色的個人傾向：有的把圓柱水平切成無數圓片，借助平移長方形得到長方體的感悟，以極限思想推導；有的聯系圓面積推導過程，把圓柱底面均分成若干個等體積扇形，類比轉化探索公式；還有的試圖把圓柱切成許多個小長方體，雖然難以推導出公式，但嘗試的過程未嘗不閃爍著學生獨立運用轉化策略進行思考、分析的光芒。

因此，在教學中，如果教師能在不同內容的教學中，把握每一次機會讓學生充分感受所用到的數學思想方法，當他們獨立思考解決類似的問題時，就會充分展示出自己“潛藏”的、體悟過的數學思想方法，而后，教師進行分析和比較，就會讓學生對這些數學思想方法的認識更清晰、應用更自覺，進而為數學思想方法的教學搭建起系統的邏輯框架。

2.螺旋發展：給轉化思想一個遞進的生長空間。

在教學中，我們還應為轉化思想創造一個螺旋發展的生長空間，關注到數學思想方法的遞進、延展。如學習“整十數乘一位數”時可以讓學生說說：明明讓算20×3，你怎么會算成2×3呢？學習“不進位的兩位數乘一位數”時，讓學生反思：算法雖然不同，但都要把14×2進行變化或分解，成為我們熟悉的計算就好辦了。學習“48×2”時，讓學生體會“拆開來”算的好處。只要有機會，都試著外化學生樸素的思考，將轉化思想的價值用描述性的問題或簡單的結語體現出來。單元復習時利用計算“48×9”，讓學生思考：你能用哪些方法進行計算？無論是用豎式還是還原成加法，還是用8×9=72、40×9=360、72+360=432，甚至用48×10后再減48，都體現出了轉化的思想。

在小學六年的教學中，如果能這樣不斷地凸顯某一種數學思想方法，讓學生充分體會其價值，學生就會對各種數學思想方法都有充分的積淀，這必將為其今后的學習提供一個更廣闊的生長空間。

三、整體溝通：為數學思想方法織一張全局的網

張奠宙教授說：“只有把數學思想方法嵌入日常的教學之中，成為教師備課的有機組成部分，‘四基數學教學才能真正落到實處。”在教學中，教師應引導學生對思想方法本身、對其與實際生活、與人的學習進行更為全面的聯系，這樣，數學思想方法才能真正融入學生的行為、思考方式中，成為影響他們終身的素養。

1.橫向溝通，讓轉化與其他思想建立廣泛的聯系。

新課標提出了三種數學基本思想，而基本思想又衍生、發展出數十種思想（如分類、集合等），在解題中，又會形成更為多樣的思想方法，可見，數學基本思想之間、基本思想與衍生思想之間、數學思想與方法之間存在著緊密的聯系。我們應重視這些聯系，以總體的眼光看待小學階段的數學思想方法，不僅心中有明晰的某一思想方法之線，腦中還要形成多種數學思想方法之譜。可以通過積極融匯學生所呈現的不同數學思想方法，豐富學生的認識和經驗。如解決這樣的問題：將長6厘米、寬4厘米的長方形的長和寬分別增加■，現在長方形的面積是原來的幾分之幾？任意找一個長方形，結論是否不變？對分數乘除印象深刻的學生會將此問題轉化為兩個簡單問題的疊加，即長是原來長的■，面積就是原來面積的■，寬也是原來寬的■，面積就是原來面積的■；習慣進行歸納推理的學生，會由特殊到一般，通過多個數據的計算進行推論；函數思想發展較好的學生，會通過設長、寬分別為a、b，用字母式進行計算證明；“數形結合”思想運用得較好的學生，會用圖進行解釋。學生不同的思考路徑顯示出他們在數學思想方法運用中鮮明的個人傾向，進一步讓學生討論“你喜歡誰的方法？其他方法給了你怎樣的啟示？”又可以讓學生在求同存異中明確不同思想方法在具體應用中的優點和問題，使學生解決實際問題更為靈活、更具適切性。

2.縱向溝通，讓轉化與一般學習建立豐富的關聯。

學習內在的機理是相通的，數學學習中所獲取的轉化、分類討論、模型等思想意識，完全可以在其他學科的學習中得到應用，同時也可以通過其他學科的學習得以鞏固。在學校組織的一次數學與科學學科的聯合教研中，能把數學中的轉化思想應用到科學學習中的學生，就很好地設計出了檢驗“空氣是不是有質量”的方案。如果能讓數學學習與一般學習相互影響，那我們將能真正讓數學思想方法在學生頭腦中活起來，使其真正成為學生學習后可以“帶得走的東西”。■

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文二等獎

【摘 要】《義務教育數學課程標準（2011年版）》頒布后，數學思想方法成為新的研究熱點。但當下“散點滲透式”的教學方式，還難以達成“使學生獲得數學基本思想”的目標。以“轉化”這一數學思想為例，教師可以站在全局的視野，從內容梳理、方法建構、整體溝通三個維度，對數學思想方法如何在數學教學中有效落實作出有益的探索與實踐。

【關鍵詞】數學思想轉化全局把握

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出通過數學課程，滲透數學思想，提高數學素養，這使得數學思想方法再次成為小學數學關注和研究的熱點。以“轉化”這一較常見的思想方法為切入點，筆者嘗試突破數學思想方法“散點滲透式”的傳統教學方式，著力以全局視野進行內容上的全息梳理和方法上的統籌考量，以構建出數學思想方法教學的整體脈絡。

一、內容梳理：為轉化思想畫一幅全息地圖

要使數學思想方法的學習不再是知識點中的零散滲透、教學中的即興穿插，就必須形成一幅多維、立體、全視域的小學數學思想方法“全息地圖”。

1.橫向與縱向——“轉化”的兩種脈絡。

從教材內容這一橫向脈絡，可以梳理出“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”及“綜合與實踐”四個部分中的轉化思想。如小學一年級“數與代數”部分，就有“數的分與合”這樣的“構造轉化”、“湊十法”這樣的“復雜—簡單轉化”以及把自然數序列轉化為數軸圖這樣的“數形轉化”等。而從知識發展這一縱向脈絡觀察，轉化思想又呈現出在同一領域反復理解、螺旋上升的狀態。以數的運算為例，從幾加幾到9加幾，從乘法口訣到用口訣算整十、整百數乘法，從整數四則運算到小數四則運算，從同分母加減到異分母加減，從分數乘法到分數除法進而到百分數運算，能看出在整個小學階段，轉化思想在不同內容中的反復強化與凸顯。

2.顯性與隱性——“轉化”的兩種形態。

學生學習某一知識，如平行四邊形的面積，無論是傳統教法還是學生自主探究，都會出現把平行四邊形轉化成長方形進而推導公式的情況，這體現出轉化思想的一種顯性特質。而有時，轉化又是隱性的，需要教師具有較強的數學素養，在研讀教材的過程中加以發現。如四年級“三角形的內角和”中，教材通過把三個角“折并”成一個角得到內角和，就隱含著“等價轉化”思想。

二、方法建構：給轉化思想尋一條教學路徑

通過多維度梳理，我們得到了一幅線索清晰的“轉化思想內容圖”，在實際教學中就可以進行全盤統籌的考量。

1.瞻前顧后：給轉化思想一個系統的邏輯架構。

數學思想方法不僅要有一個準確的目標定位，還需要建立一個系統的邏輯框架，形成一條無形的線，在時間序列中不斷盤桓、浸潤。如教學“圓柱體積公式的推導”，如果僅僅將其孤立地看成圓柱向長方體的等體積轉化，就很容易成為一種個例的學習，而如果放手讓學生提前嘗試思考：借助已有知識，你能想辦法推導出圓柱的體積公式嗎？則會因各個學生不同的知識構造，呈現出獨具特色的個人傾向：有的把圓柱水平切成無數圓片，借助平移長方形得到長方體的感悟，以極限思想推導；有的聯系圓面積推導過程，把圓柱底面均分成若干個等體積扇形，類比轉化探索公式；還有的試圖把圓柱切成許多個小長方體，雖然難以推導出公式，但嘗試的過程未嘗不閃爍著學生獨立運用轉化策略進行思考、分析的光芒。

因此，在教學中，如果教師能在不同內容的教學中，把握每一次機會讓學生充分感受所用到的數學思想方法，當他們獨立思考解決類似的問題時，就會充分展示出自己“潛藏”的、體悟過的數學思想方法，而后，教師進行分析和比較，就會讓學生對這些數學思想方法的認識更清晰、應用更自覺，進而為數學思想方法的教學搭建起系統的邏輯框架。

2.螺旋發展：給轉化思想一個遞進的生長空間。

在教學中，我們還應為轉化思想創造一個螺旋發展的生長空間，關注到數學思想方法的遞進、延展。如學習“整十數乘一位數”時可以讓學生說說：明明讓算20×3，你怎么會算成2×3呢？學習“不進位的兩位數乘一位數”時，讓學生反思：算法雖然不同，但都要把14×2進行變化或分解，成為我們熟悉的計算就好辦了。學習“48×2”時，讓學生體會“拆開來”算的好處。只要有機會，都試著外化學生樸素的思考，將轉化思想的價值用描述性的問題或簡單的結語體現出來。單元復習時利用計算“48×9”，讓學生思考：你能用哪些方法進行計算？無論是用豎式還是還原成加法，還是用8×9=72、40×9=360、72+360=432，甚至用48×10后再減48，都體現出了轉化的思想。

在小學六年的教學中，如果能這樣不斷地凸顯某一種數學思想方法，讓學生充分體會其價值，學生就會對各種數學思想方法都有充分的積淀，這必將為其今后的學習提供一個更廣闊的生長空間。

三、整體溝通：為數學思想方法織一張全局的網

張奠宙教授說：“只有把數學思想方法嵌入日常的教學之中，成為教師備課的有機組成部分，‘四基數學教學才能真正落到實處。”在教學中，教師應引導學生對思想方法本身、對其與實際生活、與人的學習進行更為全面的聯系，這樣，數學思想方法才能真正融入學生的行為、思考方式中，成為影響他們終身的素養。

1.橫向溝通，讓轉化與其他思想建立廣泛的聯系。

新課標提出了三種數學基本思想，而基本思想又衍生、發展出數十種思想（如分類、集合等），在解題中，又會形成更為多樣的思想方法，可見，數學基本思想之間、基本思想與衍生思想之間、數學思想與方法之間存在著緊密的聯系。我們應重視這些聯系，以總體的眼光看待小學階段的數學思想方法，不僅心中有明晰的某一思想方法之線，腦中還要形成多種數學思想方法之譜。可以通過積極融匯學生所呈現的不同數學思想方法，豐富學生的認識和經驗。如解決這樣的問題：將長6厘米、寬4厘米的長方形的長和寬分別增加■，現在長方形的面積是原來的幾分之幾？任意找一個長方形，結論是否不變？對分數乘除印象深刻的學生會將此問題轉化為兩個簡單問題的疊加，即長是原來長的■，面積就是原來面積的■，寬也是原來寬的■，面積就是原來面積的■；習慣進行歸納推理的學生，會由特殊到一般，通過多個數據的計算進行推論；函數思想發展較好的學生，會通過設長、寬分別為a、b，用字母式進行計算證明；“數形結合”思想運用得較好的學生，會用圖進行解釋。學生不同的思考路徑顯示出他們在數學思想方法運用中鮮明的個人傾向，進一步讓學生討論“你喜歡誰的方法？其他方法給了你怎樣的啟示？”又可以讓學生在求同存異中明確不同思想方法在具體應用中的優點和問題，使學生解決實際問題更為靈活、更具適切性。

2.縱向溝通，讓轉化與一般學習建立豐富的關聯。

學習內在的機理是相通的，數學學習中所獲取的轉化、分類討論、模型等思想意識，完全可以在其他學科的學習中得到應用，同時也可以通過其他學科的學習得以鞏固。在學校組織的一次數學與科學學科的聯合教研中，能把數學中的轉化思想應用到科學學習中的學生，就很好地設計出了檢驗“空氣是不是有質量”的方案。如果能讓數學學習與一般學習相互影響，那我們將能真正讓數學思想方法在學生頭腦中活起來，使其真正成為學生學習后可以“帶得走的東西”。■

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文二等獎