用畫圖法幫助學生解決圖形問題

范佳稀玲

空間和圖形問題是數學問題當中相對比較抽象的。特別對于一些空間想象能力較差的孩子來說，即使能熟練記住各種圖形的計算公式，但還是不能把題目中的文字轉化成頭腦中的表象，因此不能正確地解決這類問題。下面就以我校的一次三年級教學質量調研中出現的問題，來說說我自己對教學空間圖形題的思考。

首先看其中的兩道測試題：

題１：拼一個邊長３厘米的大正方形，至少需要（）個邊長１厘米的小正方形。

題２：一塊長方形木板，長６分米，寬４分米。從這塊木板上鋸下一個最大的正方形。

（１）鋸下的正方形木板的周長是多少分米？

（２）剩下的木板周長是多少分米？

從成績統計的結果來看，題１的失分率為３１．５４％，題２的失分率為１６．３２％，是整張試卷中失分率最高的兩道題。原因分析：題１中學生將周長與面積混淆，很多學生寫的答案是１２。題２中最主要的失分點是第（２）小題，錯誤地將長方形周長減去正方形的周長，得出剩下的木板周長。在對這些錯誤的深層次分析中，我發現學生在解答圖形問題時，不會靈活運用畫圖的方法，沒有養成自覺畫圖幫助理解題意的好習慣，導致解題錯誤。

在分析試卷時，我又進一步思考：如何能夠避免出現這樣的錯誤呢？仔細想來，只有讓學生體會借助畫圖策略解決這類問題的優勢，才能養成自覺畫圖解決問題的習慣。如果學生能夠把抽象的數量關系清晰地呈現在圖上，學生就不會把“需要幾個小正方形”理解成“至少需要幾根小棒”。但是要讓圖示起到輔助解題的作用，教師還要注意下面兩點：

１．畫圖要完整表述題意

畫圖可以把抽象的文字表述轉化為形象的圖示，但是如果圖示沒有完整地表述題意，就不能起到輔助解題的作用。就拿題１來說，試卷中有部分失分的學生也在旁邊畫了圖，但就僅僅畫了一個大正方形，沒有在圖中畫出小正方形，因此還是把題意錯誤地理解為“至少需要幾根小棒”。教師在講解時，要強調在圖上完整地表述題意。

一部分學生可以通過圖1直接判斷要求的是正方形的面積；對于另一部分抽象能力較差的學生來說，可以繼續通過畫圖（如圖2）尋求答案。

再比如這道題：用一張長9厘米、寬6厘米的長方形紙，剪直角邊長為2厘米的等腰直角三角形，最多能剪幾個？

解答這題時，一部分不畫圖的孩子很容易錯誤地解答成用長方形的面積除以小三角形的面積，還有一部分孩子畫了圖（如圖3）：

通過畫圖，學生發現不能簡單地用長方形面積除以正方形面積，因此列式為：9÷2=4（個）……1（厘米）； 6÷2=3（個）；4×3=12（個）。最多可以剪12個。

很明顯，這樣解答是錯誤的，這剪的12個是正方形，而不是三角形。為什么學生會出現這樣的錯誤？關鍵問題還是在于畫圖時沒有完整地表述題意，教師在講解這類題目時，往往會強調要想知道能剪幾個等腰直角三角形，得先求出能剪幾個以腰長為邊長的正方形，再通過一個正方形剪2個等腰直角三角形求出最后的答案。而學生在畫圖時，僅僅畫出了正方形，沒有把題中的“等腰直角三角形”在圖中表示出來，應該如圖4所示。

因此在解答此類題時，一定要完整地將題意在圖中表述出來，忽略其中的任何一個信息都會導致題意理解錯誤。

２．畫圖要關注細節

圖示雖然具有形象的作用，但是不清楚的圖示同樣不能起到幫助理解題意的作用。像題２中的第（２）問，學生是這樣分析的：這個最大的正方形最長只能是４分米，所以我們可以在這里畫一條豎線（如圖5）。那么原來的圖形就被分成了一個正方形和一個長方形，要求剩下長方形的周長。一部分同學盡管畫了圖，但圖中沒有明確標示剩下的部分，學生的關注點就落到問題中的“剩下”兩字，由此聯想到減法的意義——即用總數減去部分得到剩下的另一部分，于是就出現用大長方形的周長減去正方形的周長的錯誤。

那么如何讓學生避免發生這樣的錯誤呢？我認為還是要在細節上做文章，可以將剩下的部分用陰影表示出來（如圖6）。在這一個細節中，學生體會到要求剩下木板的周長就是求陰影部分長方形的周長。這樣，學生的關注點自然變成了“圖中陰影部分的長和寬分別是多少”，不再是文字中的“剩下”兩字。

因此在課堂中，教師在講解時要關注畫圖的細節，讓學生慢慢體會畫圖中細節的重要性，這樣才能在解題的過程中養成畫圖的好習慣。

畫圖法是幫助學生解決問題的一種很好的方法，同時在運用畫圖法幫助學生解決問題的過程中，能夠不斷地發展學生的抽象思維能力，最終腦中成圖，就像武俠小說中到達 “無劍”的境界，此時“無圖”勝“有圖”。

（責編羅艷）

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空間和圖形問題是數學問題當中相對比較抽象的。特別對于一些空間想象能力較差的孩子來說，即使能熟練記住各種圖形的計算公式，但還是不能把題目中的文字轉化成頭腦中的表象，因此不能正確地解決這類問題。下面就以我校的一次三年級教學質量調研中出現的問題，來說說我自己對教學空間圖形題的思考。

首先看其中的兩道測試題：

題１：拼一個邊長３厘米的大正方形，至少需要（）個邊長１厘米的小正方形。

題２：一塊長方形木板，長６分米，寬４分米。從這塊木板上鋸下一個最大的正方形。

（１）鋸下的正方形木板的周長是多少分米？

（２）剩下的木板周長是多少分米？

從成績統計的結果來看，題１的失分率為３１．５４％，題２的失分率為１６．３２％，是整張試卷中失分率最高的兩道題。原因分析：題１中學生將周長與面積混淆，很多學生寫的答案是１２。題２中最主要的失分點是第（２）小題，錯誤地將長方形周長減去正方形的周長，得出剩下的木板周長。在對這些錯誤的深層次分析中，我發現學生在解答圖形問題時，不會靈活運用畫圖的方法，沒有養成自覺畫圖幫助理解題意的好習慣，導致解題錯誤。

在分析試卷時，我又進一步思考：如何能夠避免出現這樣的錯誤呢？仔細想來，只有讓學生體會借助畫圖策略解決這類問題的優勢，才能養成自覺畫圖解決問題的習慣。如果學生能夠把抽象的數量關系清晰地呈現在圖上，學生就不會把“需要幾個小正方形”理解成“至少需要幾根小棒”。但是要讓圖示起到輔助解題的作用，教師還要注意下面兩點：

１．畫圖要完整表述題意

畫圖可以把抽象的文字表述轉化為形象的圖示，但是如果圖示沒有完整地表述題意，就不能起到輔助解題的作用。就拿題１來說，試卷中有部分失分的學生也在旁邊畫了圖，但就僅僅畫了一個大正方形，沒有在圖中畫出小正方形，因此還是把題意錯誤地理解為“至少需要幾根小棒”。教師在講解時，要強調在圖上完整地表述題意。

一部分學生可以通過圖1直接判斷要求的是正方形的面積；對于另一部分抽象能力較差的學生來說，可以繼續通過畫圖（如圖2）尋求答案。

再比如這道題：用一張長9厘米、寬6厘米的長方形紙，剪直角邊長為2厘米的等腰直角三角形，最多能剪幾個？

解答這題時，一部分不畫圖的孩子很容易錯誤地解答成用長方形的面積除以小三角形的面積，還有一部分孩子畫了圖（如圖3）：

通過畫圖，學生發現不能簡單地用長方形面積除以正方形面積，因此列式為：9÷2=4（個）……1（厘米）； 6÷2=3（個）；4×3=12（個）。最多可以剪12個。

很明顯，這樣解答是錯誤的，這剪的12個是正方形，而不是三角形。為什么學生會出現這樣的錯誤？關鍵問題還是在于畫圖時沒有完整地表述題意，教師在講解這類題目時，往往會強調要想知道能剪幾個等腰直角三角形，得先求出能剪幾個以腰長為邊長的正方形，再通過一個正方形剪2個等腰直角三角形求出最后的答案。而學生在畫圖時，僅僅畫出了正方形，沒有把題中的“等腰直角三角形”在圖中表示出來，應該如圖4所示。

因此在解答此類題時，一定要完整地將題意在圖中表述出來，忽略其中的任何一個信息都會導致題意理解錯誤。

２．畫圖要關注細節

圖示雖然具有形象的作用，但是不清楚的圖示同樣不能起到幫助理解題意的作用。像題２中的第（２）問，學生是這樣分析的：這個最大的正方形最長只能是４分米，所以我們可以在這里畫一條豎線（如圖5）。那么原來的圖形就被分成了一個正方形和一個長方形，要求剩下長方形的周長。一部分同學盡管畫了圖，但圖中沒有明確標示剩下的部分，學生的關注點就落到問題中的“剩下”兩字，由此聯想到減法的意義——即用總數減去部分得到剩下的另一部分，于是就出現用大長方形的周長減去正方形的周長的錯誤。

那么如何讓學生避免發生這樣的錯誤呢？我認為還是要在細節上做文章，可以將剩下的部分用陰影表示出來（如圖6）。在這一個細節中，學生體會到要求剩下木板的周長就是求陰影部分長方形的周長。這樣，學生的關注點自然變成了“圖中陰影部分的長和寬分別是多少”，不再是文字中的“剩下”兩字。

因此在課堂中，教師在講解時要關注畫圖的細節，讓學生慢慢體會畫圖中細節的重要性，這樣才能在解題的過程中養成畫圖的好習慣。

畫圖法是幫助學生解決問題的一種很好的方法，同時在運用畫圖法幫助學生解決問題的過程中，能夠不斷地發展學生的抽象思維能力，最終腦中成圖，就像武俠小說中到達 “無劍”的境界，此時“無圖”勝“有圖”。

（責編羅艷）

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空間和圖形問題是數學問題當中相對比較抽象的。特別對于一些空間想象能力較差的孩子來說，即使能熟練記住各種圖形的計算公式，但還是不能把題目中的文字轉化成頭腦中的表象，因此不能正確地解決這類問題。下面就以我校的一次三年級教學質量調研中出現的問題，來說說我自己對教學空間圖形題的思考。

首先看其中的兩道測試題：

題１：拼一個邊長３厘米的大正方形，至少需要（）個邊長１厘米的小正方形。

題２：一塊長方形木板，長６分米，寬４分米。從這塊木板上鋸下一個最大的正方形。

（１）鋸下的正方形木板的周長是多少分米？

（２）剩下的木板周長是多少分米？

從成績統計的結果來看，題１的失分率為３１．５４％，題２的失分率為１６．３２％，是整張試卷中失分率最高的兩道題。原因分析：題１中學生將周長與面積混淆，很多學生寫的答案是１２。題２中最主要的失分點是第（２）小題，錯誤地將長方形周長減去正方形的周長，得出剩下的木板周長。在對這些錯誤的深層次分析中，我發現學生在解答圖形問題時，不會靈活運用畫圖的方法，沒有養成自覺畫圖幫助理解題意的好習慣，導致解題錯誤。

在分析試卷時，我又進一步思考：如何能夠避免出現這樣的錯誤呢？仔細想來，只有讓學生體會借助畫圖策略解決這類問題的優勢，才能養成自覺畫圖解決問題的習慣。如果學生能夠把抽象的數量關系清晰地呈現在圖上，學生就不會把“需要幾個小正方形”理解成“至少需要幾根小棒”。但是要讓圖示起到輔助解題的作用，教師還要注意下面兩點：

１．畫圖要完整表述題意

畫圖可以把抽象的文字表述轉化為形象的圖示，但是如果圖示沒有完整地表述題意，就不能起到輔助解題的作用。就拿題１來說，試卷中有部分失分的學生也在旁邊畫了圖，但就僅僅畫了一個大正方形，沒有在圖中畫出小正方形，因此還是把題意錯誤地理解為“至少需要幾根小棒”。教師在講解時，要強調在圖上完整地表述題意。

一部分學生可以通過圖1直接判斷要求的是正方形的面積；對于另一部分抽象能力較差的學生來說，可以繼續通過畫圖（如圖2）尋求答案。

再比如這道題：用一張長9厘米、寬6厘米的長方形紙，剪直角邊長為2厘米的等腰直角三角形，最多能剪幾個？

解答這題時，一部分不畫圖的孩子很容易錯誤地解答成用長方形的面積除以小三角形的面積，還有一部分孩子畫了圖（如圖3）：

通過畫圖，學生發現不能簡單地用長方形面積除以正方形面積，因此列式為：9÷2=4（個）……1（厘米）； 6÷2=3（個）；4×3=12（個）。最多可以剪12個。

很明顯，這樣解答是錯誤的，這剪的12個是正方形，而不是三角形。為什么學生會出現這樣的錯誤？關鍵問題還是在于畫圖時沒有完整地表述題意，教師在講解這類題目時，往往會強調要想知道能剪幾個等腰直角三角形，得先求出能剪幾個以腰長為邊長的正方形，再通過一個正方形剪2個等腰直角三角形求出最后的答案。而學生在畫圖時，僅僅畫出了正方形，沒有把題中的“等腰直角三角形”在圖中表示出來，應該如圖4所示。

因此在解答此類題時，一定要完整地將題意在圖中表述出來，忽略其中的任何一個信息都會導致題意理解錯誤。

２．畫圖要關注細節

圖示雖然具有形象的作用，但是不清楚的圖示同樣不能起到幫助理解題意的作用。像題２中的第（２）問，學生是這樣分析的：這個最大的正方形最長只能是４分米，所以我們可以在這里畫一條豎線（如圖5）。那么原來的圖形就被分成了一個正方形和一個長方形，要求剩下長方形的周長。一部分同學盡管畫了圖，但圖中沒有明確標示剩下的部分，學生的關注點就落到問題中的“剩下”兩字，由此聯想到減法的意義——即用總數減去部分得到剩下的另一部分，于是就出現用大長方形的周長減去正方形的周長的錯誤。

那么如何讓學生避免發生這樣的錯誤呢？我認為還是要在細節上做文章，可以將剩下的部分用陰影表示出來（如圖6）。在這一個細節中，學生體會到要求剩下木板的周長就是求陰影部分長方形的周長。這樣，學生的關注點自然變成了“圖中陰影部分的長和寬分別是多少”，不再是文字中的“剩下”兩字。

因此在課堂中，教師在講解時要關注畫圖的細節，讓學生慢慢體會畫圖中細節的重要性，這樣才能在解題的過程中養成畫圖的好習慣。

畫圖法是幫助學生解決問題的一種很好的方法，同時在運用畫圖法幫助學生解決問題的過程中，能夠不斷地發展學生的抽象思維能力，最終腦中成圖，就像武俠小說中到達 “無劍”的境界，此時“無圖”勝“有圖”。

（責編羅艷）

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