加強數學思想方法教學

許婉如

摘 要： 數學思想方法是隱性的數學知識，是聯系顯性數學知識與學生數學能力的紐帶，是數學科學的靈魂.小學數學教學的重點應放在數學思想方法上.作為一位數學老師，作者積極嘗試在教學中滲透以下數學思想方法：化歸思想、數形結合思想、統計思想、假設思想等.

關鍵詞： 數學思想方法 化歸 數形結合 統計 假設

小學數學新課標指出：“數學思想方法是對數學規律的理性認識.學生通過數學學習，形成一定的數學思想方法是數學課程的一個重要目的，應在教學中加強滲透.”數學思想方法是隱性的數學知識，是聯系顯性數學知識與學生數學能力的紐帶，是數學科學的靈魂.數學的精髓不在于知識本身，而在于數學知識中所蘊含的數學思想方法；數學教學的目的不在于學生掌握多少數學知識，而在于掌握和運用數學思想方法解決實際問題的能力.因此，數學教學的重點應放在數學思想方法上.

一、滲透“化歸”的思想方法

所謂“化歸”可理解為“轉化”與“歸結”的意思，是指將有待解決或未解決的問題，通過轉化過程，歸結為一類已經解決或較易解決的問題，以求得解決.任何數學問題的解決過程，都是一個未知向已知轉化的過程，是一個等價轉化的過程.化歸是基本而典型的數學思想，教學時經常用到它，如化難為易、化繁為簡、化曲為直等.正確運用“化歸思想”進行教學，可以促使學生把握事物的發展進程，對事物內部結構、縱橫關系、數量特征等有較深刻的認識.

例如，求多邊形的內角和.學生在掌握三角形內角和之后，要計算多邊形的內角和，可以通過適當添加輔助線，將四邊形分割成兩個三角形，這樣就把所求的多邊形內角和的問題轉化為計算三角形內角和的問題，四邊形內角和=2×一個三角形內角和（180°），五邊形內角和=3×一個三角形內角和（180°），六邊形內角和=4×一個三角形內角和（180°），n邊形內角和=（n-2）×一個三角形內角和（180°）……

又如，學校買了3只籃球和5只足球共付164元，已知買1只籃球和2只足球共需61.5元，問：買1只籃球和1只足球各需多少元？

解法一：以1只籃球和2只足球共需61.5元為化歸的對象，把1只籃球和2只足球作為1份數是實施化歸的途徑，3份數：3只籃球和6只足球的價格為（61.5×3）元是化歸的目標，與3只籃球和5只足球的價格為164元進行比較，相差數為1只足球，故得1只足球的價格為（61.5×3-164）元.

解法二：設1只足球價格為X元，則1只籃球價格為（61.5-2x）元

根據題意列方程得3×（61.5-2x）+5x=164

本題中未知數1只籃球價格為化歸的對象，方程3（61.5-2x）+5x=164是化歸的目標，1只籃球的價格用61.5元減去2只足球的價格表示是實施化歸的途徑.

二、體現“數形結合”的思想方法

“數形結合”就是通過數（數量關系）與形（空間形式）的相互轉化、互相利用來解決數學問題的一種思想方法.它既是一個重要的數學思想，又是一種常用的數學方法.“數形結合”的思想方法，是理論與實際的有機聯系，是思維的起點，是學生建構數學模型的基本方法.“數形結合”可以借助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖，促進學生形象思維與抽象思維的協調發展，溝通數學知識之間的聯系，從復雜的數量關系中凸顯最本質的特征.

例如，教學“植樹問題”.模擬植樹，得出線上植樹的三種情況.

師：“？搖？搖”代表一段路，用“/”代表一棵樹，畫“/”就表示種了一棵樹.請在這段路上種上四棵樹，想想、做做，你有幾種種法？學生操作，獨立完成后，在小組里交流說說你是怎么種的？教師反饋，實物投影學生擺的情況：

①＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼兩端都種

②＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖或？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼一端栽種

③？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖＼？搖 ？搖兩端都不種

師生共同小結得出：兩端都種：棵數=段數+1；一端栽種：棵數=段數；兩端都不種：棵數=段數-1.

又如，爸爸今年的年齡是小明的4倍，爸爸比小明大27歲，爸爸和小明各多少歲？這類題對于四年級學生來說，往往較難解決，但如果老師能夠充分重視引導學生在讀懂題目的基礎上，畫出線段圖，則大部分學生都能夠順利解決.

從線段圖中，我們可以形象地看出，小明今年的年齡用1份線段表示，爸爸的年齡就可以用這樣的4份表示，爸爸比小明大的27歲是這樣的3份，由此可以引導學生求出1份線段表示的年齡是：27÷3=9（歲），即小明今年的年齡是9歲，爸爸的年齡是：9×4=36（歲）.

教師巧妙利用線段圖幫助學生學習，讓學生有可以憑借的工具，借助“數形結合”將文字信息與學習基礎耦合，使得學習得以繼續，使得學生思維發展有了憑借，也使得“數形結合”的思想方法真正得以體現.

三、完善“統計”的思想方法

“統計”的基本思想是：從局部觀測資料的統計特征推斷整個系統的狀態，或判斷某一論斷以多大的概率保證其正確性，或者算出發生錯誤判斷的概率.統計方法是由“局部到整體”、“由特殊到一般”的科學方法.小學數學中，安排了很多獨立的單元進行統計知識的教學，在其他領域知識的學習中，都不同程度地應用了統計知識，作為知識呈現的載體和解決問題的方法進行教學[4].

例如，課程標準新增加了“統計與概率”的內容，學習的核心目標是發展學生的“統計觀念”和“隨機觀念”.學生在學習“統計與概率”的過程中，熟悉了它的基本思想方法，從而逐步形成統計觀念.有一位學生課后向教師質疑問難：“經常看到這樣的敘述：中國13億人口.為什么不說：中國大約有13億人口？事實上，中國的人口不可能是完整的13億呀，零頭沒說明啊？”教師及時贊賞了這位學生的懷疑精神，舉例子說明并引導他明白：日常生活中我們經常會聽到“某地區受災面積達到60%”、“估計第三世界人口的增長率為每年4%”、“這場足球賽，巴西隊贏的可能性比較大”、“今天北京地區的降水概率為70%”等語言，這實際上就是人們對客觀世界某些現象的一種描述，其中涉及大量的數據.學生在學習過程中，不僅整理和分析信息的能力得到了增強，而且隨著學習的深入，逐步形成了尊重事實，用數據說話的科學態度.

四、應用“假設”的思想方法

“假設”思想是先對題目中的已知條件或問題作出某種假設，然后按照題中的已知條件進行推算，根據數量出現的矛盾，加以適當調整，最后找到正確答案的一種思想方法.假設法是小學數學中比較常用的方法，實際上也是轉化方法的一種.假設法實際上是根據原來的數據、數量關系和邏輯關系，做一些數據的改變，把原問題轉化成新的問題，而且新的問題易于理解和解決，是一種迂回戰術[5].

例如，小明有1角、5角的硬幣共35枚，一共是9元5角，問兩種硬幣各多少枚？這是一道“雞兔同籠”的數學問題.分析與解答：9元5角=95角，假設這35枚都是1角的，那么總錢數就應該是：1×35=35（角），比實際95角少了：95-35=60（角），這是因為把其中5角的硬幣都當成1角了.有一枚5角硬幣，少算了5-1=4（角），少算的60角中有幾個這樣的4角，就有幾個5角硬幣.60÷4=15（枚），1角硬幣：35-15=20（枚）.答：5角硬幣有15枚，1角硬幣有20枚.

假設都是5角硬幣，該怎樣解呢？學生自己嘗試解答：假設這35枚都是5角的，那么總錢數就應該是：5×35=175（角），比實際95角多了：175-95=80（角）.這是因為把其中1角的硬幣都當成5角了.有一枚1角硬幣，多算了5-1=4（角），多算的80角中有幾個這樣的4角，就有幾個1角硬幣.80÷4=20（枚），5角硬幣：35-20=15（枚）.答：5角硬幣有15枚，1角硬幣有20枚.

此外，在數學教學中還要注意有目的、有選擇、適時地滲透集合思想、符號化思想、模型思想等.小學數學思想方法的教學是循環往復、螺旋上升的過程，往往是幾種數學思想方法交織在一起.教學實踐表明，加強數學思想方法的教學對于提高教學質量，改變“重結論、輕過程，重形式、輕思想”的現狀，培養高素質人才有著深遠而重大的現實意義.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.小學數學新課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]王嘉年.淺談數學中的化歸思想[J].山東教育，2002（35）.

[3]袁桂珍.數形結合思想方法及其運用[J].廣西教育，2004（15）.

[4]范文正.幾種基本統計思想的現實意義[J].統計與決策，2002（8）.

[5]徐遠親.用假設法解應用題[J].小學生之友，2002（2）.