注重數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)

蘇東躍

摘 要： 如果說數(shù)學(xué)起源于人類生存的需要，或者起源于人類理智探索真理的需要的話，那么數(shù)學(xué)思想和方法就是伴隨著數(shù)學(xué)的產(chǎn)生而產(chǎn)生、伴隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而發(fā)展的。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識與方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識，是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略。數(shù)學(xué)方法是解決問題的手段和工具。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，只有掌握了數(shù)學(xué)思想方法，才算真正掌握了數(shù)學(xué)。因而，數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生必須具備的基本素質(zhì)之一。現(xiàn)行教材中蘊含了多種數(shù)學(xué)思想和方法，在教學(xué)中，我們應(yīng)充分挖掘由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法，設(shè)計數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容適時滲透、反復(fù)強(qiáng)化、及時總結(jié)，用數(shù)學(xué)思想方法武裝學(xué)生，使學(xué)生真正成為數(shù)學(xué)的主人。但是數(shù)學(xué)思想和方法的提出及研究是隨著數(shù)學(xué)教育的發(fā)展而逐步“熱”起來的。本文從教學(xué)的角度關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法，討論了數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的概念、原則，并進(jìn)行了實踐分析。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思想方法 教學(xué)原則 教學(xué)措施

所謂數(shù)學(xué)思想，就是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)的認(rèn)識，它是數(shù)學(xué)科學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)科固有的，是數(shù)學(xué)的靈魂；所謂數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問題的策略和程序，它是數(shù)學(xué)思想的具體化反映，是數(shù)學(xué)的根本。在一定的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)上，運用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識不斷積累的過程。當(dāng)這種積累達(dá)到一定程度時就會產(chǎn)生飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)方法起指導(dǎo)作用；而數(shù)學(xué)方法較之?dāng)?shù)學(xué)思想具有更大的靈活性，可促進(jìn)數(shù)學(xué)思想的發(fā)展。因此，人們通常將數(shù)學(xué)思想和方法看成一個整體概念——數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)方法論作為研究數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，數(shù)學(xué)的思想、方法，以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則的一門新興學(xué)科，在我國數(shù)學(xué)界特別是數(shù)學(xué)教育界獲得了廣泛重視。這些工作直接推動了我國數(shù)學(xué)教育界開展數(shù)學(xué)思想、方法及其教學(xué)的研究，解決了不少教學(xué)實際問題，極大地推動了我國數(shù)學(xué)教育改革的進(jìn)程，并成為我國數(shù)學(xué)教育中一項獨具特色而又富有深遠(yuǎn)意義的研究課題。

一、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)該遵循的基本原則

（一）滲透性原則。

數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)知識點匯成了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的兩條“河流”，二者既有聯(lián)系又有區(qū)別，具體的知識點是數(shù)學(xué)的外顯形式，易于發(fā)現(xiàn)，是一條“明河流”，任何一條數(shù)學(xué)分支無不是以它構(gòu)筑自己的“軀體”的；數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的內(nèi)在形式，是獲取數(shù)學(xué)知識、發(fā)展思維能力的動力工具，是一條具有潛在價值的“內(nèi)河流”，把握了它就等于找到了思維教育的突破口。正因為數(shù)學(xué)知識是“點石成金”以后的金，而數(shù)學(xué)思想方法是“點石”之指，這就要求我們在數(shù)學(xué)知識教學(xué)的同時，必須注重數(shù)學(xué)思想方法的有機(jī)滲透和充分發(fā)揮其自身具有的統(tǒng)帥作用。只有這樣，才能有助于學(xué)生形成一個既有肉體又有靈魂的活的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，從而不僅促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，而且推動學(xué)生思維品質(zhì)乃至整體素質(zhì)的提高。

所謂滲透，就是有機(jī)結(jié)合數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，采用教者有意、學(xué)者無心的方式，在多個場合反復(fù)向?qū)W生講解諸如分類、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法。通過逐步積累，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識由淺入深、由表及里，漸漸達(dá)到一定的高度。

數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)之所以采用滲透法，是由它本身的特點決定的。從知識和思想方法的關(guān)系來看，數(shù)學(xué)思想方法是隱含在知識里、體現(xiàn)在知識應(yīng)用過程中的，它不像知識那樣可以具體編排在某一個章節(jié)，靠教師專門講授幾節(jié)課就可以理解。數(shù)學(xué)思想方法是滲透在全部數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之中的。從學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律來看，數(shù)學(xué)思想方法的掌握不像知識的理解可以短期內(nèi)完成，而要經(jīng)歷一個過程，包括從略微“了解”到甚為“理解”及至“掌握”或“會運用”的過程。從學(xué)生的個別差異看，存在認(rèn)識不同步的現(xiàn)象，所以數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)以滲透性原則為主線。

（二）漸進(jìn)性原則。

漸進(jìn)性原則有三方面的含義：漸進(jìn)、反復(fù)和層次性。

數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)是融合在數(shù)學(xué)知識之中的，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要不失時機(jī)地抓住機(jī)會，不斷地一點一滴地再現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法，逐步加深學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識。

數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)必須結(jié)合兩個實際，即教材實際和學(xué)生實際。不同的教材內(nèi)容有不同的要求，要講究層次，不能超越，要多次反復(fù)，小步前進(jìn)。

這里需要注意的是，在教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法時，開始起點要低，但“低”是為了“高”。通過一個階段的學(xué)習(xí)，應(yīng)該在原有基礎(chǔ)上有所提高，要求學(xué)生“學(xué)會”，并使學(xué)生“會學(xué)”，在思維素質(zhì)方面有所發(fā)展。因此，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)以漸進(jìn)為出發(fā)點。

（三）明確性原則。

從數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的整個過程看，只是長期、反復(fù)、不明確地滲透，會影響學(xué)生從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的飛躍，妨礙學(xué)生有意識地掌握和領(lǐng)會。滲透性和明確性是數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)辯證的兩個方面。因此，在反復(fù)滲透的過程中，利用適當(dāng)機(jī)會，對某種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行概括、強(qiáng)化和提高，對它的內(nèi)容、名稱、規(guī)律、應(yīng)用等適度明確化，當(dāng)為明智之舉。

當(dāng)前，在各科、各年級的數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)容很顯薄弱，一些重要的數(shù)學(xué)思想方法都沒有比較明確和系統(tǒng)的闡述。比如，數(shù)形結(jié)合法、類分法、化歸思想等均蘊含在表層知識教學(xué)之中，隱藏于幕后。教師選擇適當(dāng)?shù)臅r機(jī)，在教學(xué)中予以明確是必要的，也就是說，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)以明確性原則為目標(biāo)。

（四）學(xué)生參與原則。

所謂參與，就是要求學(xué)生在教學(xué)過程中充分發(fā)揮主體作用，遵循認(rèn)知規(guī)律，運用器官（五官、手、腦），通過自己的學(xué)習(xí)勞動，探索數(shù)學(xué)思想方法的真諦。

我國目前流行的提法是：教師是教學(xué)的主導(dǎo)，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。提法很全面，但學(xué)生主體的能動作用遠(yuǎn)未發(fā)揮，升學(xué)壓力使學(xué)生成了反應(yīng)靈敏的模仿解題機(jī)器。原因在于，學(xué)生總認(rèn)為教師出的題目都是可以做的，獨立思考能力被抑制了。所以在此強(qiáng)調(diào)幾句：“數(shù)學(xué)教師不能充當(dāng)數(shù)學(xué)知識施舍者的角色。”“沒有人能教會學(xué)生，數(shù)學(xué)素質(zhì)是學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中獲得的。”“教師和教科書不應(yīng)該是至高無上的權(quán)威。”“把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動權(quán)交給學(xué)生。”在數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中，應(yīng)以學(xué)生參與原則為根本。endprint

（五）系統(tǒng)性原則。

數(shù)學(xué)思想方法的形成必須經(jīng)過循序漸進(jìn)的過程，經(jīng)過反復(fù)提煉、歸納、概括，才能使大多數(shù)學(xué)生真正領(lǐng)會。歸納概括既是數(shù)學(xué)思想方法，又是數(shù)學(xué)思維方法，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法的主要手段是感知、歸納、概括，而掌握數(shù)學(xué)思想方法的深層目的恰恰是為了創(chuàng)造性的培養(yǎng)，所以，能靈活運用歸納、概括達(dá)到具有獨創(chuàng)性，也就真正掌握了數(shù)學(xué)思想方法。在課后小結(jié)、單元小結(jié)與測驗或總復(fù)習(xí)與檢測時，應(yīng)該十分注意用數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)、歸納、概括和聯(lián)系教材，并指導(dǎo)命題工作。這樣就能整理出比較清晰的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的序列，從而形成數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)，以利充分發(fā)揮它的整體效益，同時對檢測與提高大有好處。因此，在數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中，應(yīng)以系統(tǒng)性原則為歸宿。

二、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的具體措施

幾十年來，科學(xué)技術(shù)以空前的速度發(fā)展著；以計算機(jī)的運行為標(biāo)志的信息時代，也是數(shù)學(xué)大發(fā)展的時代；科學(xué)的數(shù)學(xué)化和社會的數(shù)學(xué)化都在加速。這使人們越來越深切地感受到，越來越多的場合需要數(shù)學(xué)式的思維。當(dāng)今的科學(xué)家們都認(rèn)為懷特海的預(yù)言將會提前實現(xiàn)。

所謂數(shù)學(xué)地理解問題，就是指數(shù)學(xué)的思考方式，用數(shù)學(xué)的精神、思想、方法觀察問題、分析問題、解決問題。它包括諸如：抽象化、運用符號、建立模型、邏輯分析、推理計算，從數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷、優(yōu)化，以及善于運用計算機(jī)進(jìn)行實驗，等等。從這點看，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)顯然應(yīng)被看成數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)，自然應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中加以充分體現(xiàn)。

把數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，是大綱體現(xiàn)義務(wù)教育性質(zhì)、提高學(xué)生素質(zhì)的一大舉措。由于數(shù)學(xué)的思想方法的呈現(xiàn)形式是隱蔽的，學(xué)生是難以從教材中獲取的，這就要求我們在教學(xué)過程中能站在方法論的高度，講出學(xué)生在課本的字里行間看不出來的“奇珍異寶”，講出決策和創(chuàng)造的方法，精心提煉、著意滲透、反復(fù)孕育、經(jīng)常應(yīng)用、小步子推進(jìn)、分層到達(dá)。為此，我們需要認(rèn)真理清數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)和數(shù)學(xué)思想方法體系，把握好幾個重要途徑。

（一）在知識發(fā)生過程中，適時滲透數(shù)學(xué)思想方法。

對于數(shù)學(xué)而言，其知識的發(fā)生過程，實際上就是思想方法的發(fā)生過程。因此，如概念的形成過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程、方法的思考過程、問題的發(fā)現(xiàn)過程、規(guī)律的被揭示過程，等等，都蘊含著向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法、訓(xùn)練思維的極好機(jī)會。

對于學(xué)生來說，其最常見的困難之源是：一項工作、一個發(fā)現(xiàn)、一個規(guī)律……很少以創(chuàng)始人當(dāng)初所用的形式出現(xiàn)，它們已經(jīng)被濃縮了，隱去了曲折、復(fù)雜的思維過程，呈現(xiàn)出整理加工的嚴(yán)密、抽象、精煉的結(jié)論，而促使其誕生的那些思想方法卻往往隱為內(nèi)在形式，成為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的具有潛在價值的“內(nèi)河流”。我們教學(xué)工作的一項重要任務(wù)，就是揭開數(shù)學(xué)這種嚴(yán)謹(jǐn)、抽象的面紗，將發(fā)現(xiàn)過程中的活生生的數(shù)學(xué)“返璞歸真”地教給學(xué)生，讓學(xué)生親自參與“知識再發(fā)現(xiàn)”的過程，經(jīng)歷探索過程的磨礪，汲取更多的思維營養(yǎng)。

1.展開概念——不要簡單給定義。

概念是思維的細(xì)胞，是濃縮的知識點，是感性認(rèn)識飛躍到理性認(rèn)識的結(jié)果，飛躍的實現(xiàn)要經(jīng)過分析、綜合、比較、抽象概括等思維的邏輯加工，依據(jù)數(shù)學(xué)思維方法的指導(dǎo)。因此，概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)完整地體現(xiàn)這一生動的過程，引導(dǎo)學(xué)生揭示隱藏于知識之中的思維內(nèi)核。心理學(xué)認(rèn)為，人對事物的第一次接觸是最敏感的，教學(xué)成功與否，關(guān)鍵是喚起對舊知識的回憶，搜索到新知識的清澈的源頭，并通過事物的發(fā)生和發(fā)展過程的教學(xué)，掌握活的數(shù)學(xué)概念。

2.延遲判斷——不要過早下結(jié)論。

判斷可以看做是壓縮了的知識鏈，數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、法則、公式、關(guān)系、規(guī)律等都是一個個具體判斷。教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極參與這些結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)過程，弄清每個結(jié)論的因果關(guān)系，從而使學(xué)生看到某個判斷時，就像回憶自己參加有趣的活動那樣津津樂道。當(dāng)然，延遲判斷，必定拉長了建立理論的教學(xué)時間，但磨刀不誤砍柴工，以后應(yīng)用就靈活自如了。

3.激活推理——不要呆板地找關(guān)聯(lián)。

激活推理就是要使已有判斷上下貫通、前后遷移，盡可能從已有判斷中生發(fā)眾多的思維觸覺，促成思維鏈條的高效運轉(zhuǎn)，不斷在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下推出一個個新的判斷、新的思維結(jié)果。

（二）通過小結(jié)和專題講座，提煉、概括數(shù)學(xué)思想方法，有計劃地安排數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的習(xí)題課。

揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系是小結(jié)的功能之一。由于同一內(nèi)容可表現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)思想方法，而同一數(shù)學(xué)思想方法又常常分布在許多不同的知識點里，因此在課后小結(jié)、單元小結(jié)或總復(fù)習(xí)時，就應(yīng)該在縱橫兩方面整理出數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)。

根據(jù)數(shù)學(xué)思想方法形成過程中的成熟程度，可實施開設(shè)專題講座課，講清來龍去脈、內(nèi)涵外延、作用功能等。這是使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，同時更進(jìn)一步地認(rèn)識外顯形式的數(shù)學(xué)知識的有效途徑。

1.定義法：A是n階矩陣，A的伴隨矩陣A*有行列式|A|的代數(shù)余子式所構(gòu)成，即A*=（A■）n×n。在具體使用時要注意：

（1）求個元素的代數(shù)余子式Aij時，切記各余子式前面的正負(fù)號；

（2）A■應(yīng)排在A※的第j行第i列上，即恰好是通常排序方式的轉(zhuǎn)置形式。

在線性代數(shù)中，定義尤為重要。可以這樣講，定義在線性代數(shù)中居核心地位。在有許多問題百思不得其解時都要回到定義上來，才能找到答案。因此，定義既是線性代數(shù)問題的源泉，又是其最終的歸宿。

例1：設(shè)A是n階矩陣，且A的秩R（A）

證：因為R（A）

2.公式法：A是n階矩陣，關(guān)于A的伴隨矩陣A*的基本關(guān)系式為AA*=A*A=|A|E，其中E是n階單位矩陣。

例2：設(shè)A是n階矩陣，且A的秩R（A）=n-1，求證：R（A*）=1。

證：因為R（A）

3.化歸法：教材中是在研究逆矩陣時給出伴隨矩陣的概念的，并且給出了求逆矩陣方法之一“當(dāng)n階矩陣A可逆時，A-1=A*”，由此可得出A*=|A|A-1。也就是說，當(dāng)A可逆時，A※的問題可轉(zhuǎn)化為逆陣來研究，因為A-1的性質(zhì)相對來講我們是比較熟悉的。

例3：設(shè)A是n階矩陣，且A的秩R（A）=n，求證：R（A*）=n。

證：因為R（A）=n，所以A可逆，|A|≠0。由AA*=|A|E知，A和A*均是可逆陣，故R（A*）=n。（或兩邊取行列式，得|A|·|A*|=|A|n，于是|A*|=|A|n-1≠0，即R（A*）=n。）

4.論“秩”法：設(shè)A是n階矩陣，則A*的秩只有三種取值。

例4：設(shè)A是n階不可逆矩陣，|A|關(guān)于a■的代數(shù)余子式A■≠0，求齊次方程組A*x=O的通解。

解：因為|A|=0，A■≠0知R（A）=n-1，那么R（A*）=1。于是A*x=O的解空間是n-1維。又因為AA*=|A|E=O知A=（a■a■…a■）的每一列都是方程組A*x=O的解。由于n-1維向量（a■，a■，…，a■）T，（a■，a■，…，a■）T，…，（a■，a■，…a■）T線性無關(guān)，那么延伸為n維向量a■=（a■，a■，…，a■）T，a■=（a■，a■，…，a■）T，…，a■=（a■，a■，…，a■）T仍然線性無關(guān)，就是A*x=O的基礎(chǔ)解系。因此通解是：k■a■+k■a■+…+k■a■，k■（i=1，2，3）是任意實數(shù)。

（三）通過“問題解決”，概括和深化數(shù)學(xué)思想方法。

問題是數(shù)學(xué)的心臟。數(shù)學(xué)問題的解決過程，實質(zhì)就是命題不斷變換和數(shù)學(xué)思想方法反復(fù)運用的過程；數(shù)學(xué)思想方法則是解決數(shù)學(xué)問題的觀念性成果，它存在于數(shù)學(xué)問題的解決之中，數(shù)學(xué)問題的步步轉(zhuǎn)化，無不遵循數(shù)學(xué)思想方法的方向。因此，通過問題解決構(gòu)造數(shù)學(xué)模型、提供數(shù)學(xué)想象，伴以實際操作，誘發(fā)創(chuàng)造動機(jī)，就把數(shù)學(xué)遷入了思維活動之中，并不斷在學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過程中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)知識、掌握方法、形成思想，促進(jìn)思維能力的發(fā)展。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)思維的內(nèi)核，它比具體的數(shù)學(xué)知識具有更強(qiáng)的抽象性和概括性，很難找到固定的形式，只能體現(xiàn)為一種意識或觀念。因此，它不是一招一式、一朝一夕可以完成的，而是要日積月累、長期滲透，才能水到渠成。教學(xué)中要有意識、有目的地結(jié)合數(shù)學(xué)知識，發(fā)掘、提煉、歸納、概括數(shù)學(xué)思想方法，使其成為由知識轉(zhuǎn)化為能力的紐帶，形成優(yōu)良思維品質(zhì)的橋梁，進(jìn)行科學(xué)思維活動的導(dǎo)航器。

在教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法時，教師千萬不要包辦代替，應(yīng)當(dāng)把“球”交給學(xué)生讓他們自己去學(xué)，使他們自己會“踢”。“思想應(yīng)在學(xué)生的頭腦中產(chǎn)生，而教師的活動像個助產(chǎn)士”，這才符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律。

參考文獻(xiàn)：

[1]王光明，曾崢.數(shù)學(xué)教與學(xué)基本理論及其發(fā)展.北京：中國工人出版社，2001.

[2]任樟輝.數(shù)學(xué)思維論.廣西：廣西教育出版社，1999.

[3]汪安圣.認(rèn)知心理學(xué).北京：北京大學(xué)出版社，1996.

[4]張奠宙，唐瑞芬，劉鴻坤.數(shù)學(xué)教育學(xué).江西：江西教育出版社，1991.