如何將數(shù)形結合思想滲透于課堂中

陳剛

【關鍵詞】數(shù)形結合 數(shù)學思想 抽象性

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）09A-

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在多年的數(shù)學教學經(jīng)歷中，常常會遇到這樣的學生：一開始不會做題，慢慢發(fā)展到不想做題，然后再發(fā)展到不想聽課，不想上數(shù)學課，最后干脆就是逃避數(shù)學，認定自己學不好數(shù)學。面對這樣的情形，筆者查閱了相關的資料，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生這種學習狀況的內(nèi)因是一種叫做“習得性無助”的心理，外因是學生無數(shù)次的數(shù)學失敗積累出來的一種錯誤認知。根據(jù)積極心理學專家的理論分析認為，這是學生受困于一種固定的思維習慣導致的。這個觀點引發(fā)了筆者對數(shù)學教學的重新思考。對于數(shù)學教學而言，到底是什么樣的習慣性數(shù)學思維，讓學生陷入了學習的困境呢？

數(shù)學的本質(zhì)是抽象的，教師在教學中也大多從抽象的理論出發(fā)，試圖讓學生建立概念，但學生往往不能獲得真實的體驗，對數(shù)學的抽象理論望而卻步，難以獲得成就感。有沒有另外一種形式來滿足學生對數(shù)學抽象性的突破呢？筆者發(fā)現(xiàn)，數(shù)學的抽象性并不是無法顛覆的，其中一個非常感性的數(shù)學思想就可以作為一把鑰匙，打開抽象與感性之門，而這把鑰匙就是數(shù)形結合。

數(shù)形結合是一種數(shù)學思想，也是針對數(shù)學問題的一種有效的解決方法。從數(shù)學形式來說，主要是指數(shù)與形之間一一對應的關系，這種關系是一種直觀與抽象的對應，通過對抽象的數(shù)學語言的演繹闡釋，實現(xiàn)抽象概念與具體形象、具體表象的聯(lián)系和轉化，最終使數(shù)學化難為易，化抽象為形象。

在小學數(shù)學教材中，數(shù)形結合的數(shù)學思想隨處可見，為小學生滲透數(shù)形結合的思想方法提供了有利的客觀條件。另外，對于小學生而言，正是系統(tǒng)學習數(shù)學的初級階段，關于數(shù)與形并沒有明顯的分隔，是建構數(shù)形結合思想的最佳時期。基于此，筆者發(fā)現(xiàn)，如果教師能夠在數(shù)學課堂中將抽象的數(shù)學理論通過數(shù)形結合，由數(shù)到形，再由形到數(shù)，找到一個攀登的“腳手架”，將會有利于學生數(shù)學思維的生長，并由此提高數(shù)學學習的興趣。那么，如何將數(shù)形結合思想方法落實到課堂教學中呢？這里的數(shù)形結合包括四個維度：數(shù)形分工、數(shù)形對應、數(shù)形聯(lián)系、數(shù)形變換。筆者根據(jù)自己的教學實踐，從這四個維度入手談談自己的體會和思考。

一、抓好數(shù)形分工，促進概念建構

數(shù)與形的結合能夠有效增強學生對概念的認知建構，促進學生對數(shù)學本質(zhì)的理解。在教學中，教師要在引導學生把握數(shù)形結合思想時，就要從數(shù)形分工開始，讓學生對數(shù)與形的各自功能有個大致的了解，而后形成清晰的認知。

例如，在教學蘇教版三年級下冊《小數(shù)的意義》時，學生已經(jīng)基本掌握了一位小數(shù)的本質(zhì)意義，在學習兩位小數(shù)時，筆者進行了如下教學設計：讓學生齊讀“成功等于百分之一的靈感加上百分之九十九的勤奮”，并告知學生這里的分數(shù)可以通過百格圖和十格圖來呈現(xiàn)，從而與小數(shù)建立聯(lián)系（如圖1）。根據(jù)百分數(shù)與小數(shù)的關系，學生很快能將其轉化為小數(shù)，但對小數(shù)的意義的理解就未必能夠達到直觀形象。為了讓學生在頭腦中建立兩位小數(shù)的直觀概念，筆者通過圖形的比對，讓學生能夠更深入地理解其實質(zhì)。

通過比對和分析，學生將小數(shù)與分數(shù)通過數(shù)形來進行補充和優(yōu)化，使學生對數(shù)形的分工有了更為清晰的自我認知，實現(xiàn)了對小數(shù)意義的直觀建構，為進入深層次的數(shù)形關系的對應做好了鋪墊。

二、體驗數(shù)形對應，提升抽象思維

在數(shù)形結合的數(shù)學思想中，能夠揭示其數(shù)學關系本質(zhì)的是這樣一個關鍵的數(shù)學維度：數(shù)形對位。數(shù)與形雖然看似存在于不同的系統(tǒng)中，但數(shù)系統(tǒng)中的某一項組成要素與形系統(tǒng)中的某一項組成要素存在著某種一一對應的關系。教師在教學中，要讓學生感受到這種數(shù)形對應，從而體驗到數(shù)形對應，這樣就能在頭腦中自然而然地建立數(shù)形對應的數(shù)學關系，提升數(shù)學思維的品質(zhì)。

例如，在教學蘇教版二年級下冊《1000以內(nèi)數(shù)的認識》時，學生已經(jīng)通過例題初步理解了數(shù)的意義，此時筆者設計了一項獨立的作業(yè)，其目的是要學生能夠經(jīng)歷從“具體的數(shù)”到“半具體半抽象的數(shù)”再到“抽象的數(shù)”這樣一個過程。筆者先讓學生寫出803這個數(shù)，然后在計數(shù)器上撥出803，再讓學生圈畫出803（如圖2）。

學生在寫803這個數(shù)時，是從數(shù)的角度來認識803，而在計數(shù)器上撥出803這個環(huán)節(jié)則是要學生理解數(shù)的意義，在圍擺出803這個環(huán)節(jié)，則是從生活的角度讓學生理解803，在這個數(shù)的意義理解中，重點和難點的把握是對中間這個零的認識。如何突破這個難點，也是筆者要學生體驗數(shù)形對應的關鍵。為此筆者設疑讓學生思考：在寫803這個數(shù)時十位上的零能否省略？計數(shù)器上的“0”在哪里？表示什么意思？圈小棒的時候，你如何表示這個“0”？學生通過直觀地圈畫和動手撥出來算珠數(shù)，不知不覺中從多個角度理解了803這個數(shù)的概念，而且能夠通過三個直觀的操作把具體的小棒圖和半抽象半具體的計數(shù)器、還有抽象的三位數(shù)中的各個數(shù)位做了系統(tǒng)的整合，建立了一個有效的一一對應的數(shù)位關系，由此突破了數(shù)的意義的理解難點，在學生的頭腦中能夠清晰地建立起“八個一百，零個十，三個一”的數(shù)的直觀概念，突破了思維瓶頸，打開了數(shù)學思維的空間。

從以上環(huán)節(jié)可以看到，教師要善于抓住數(shù)與形的對應關系，讓學生切身體驗和感知，為下一步的數(shù)形聯(lián)系做好準備。

三、加強數(shù)形聯(lián)系，揭示數(shù)學本質(zhì)

數(shù)形結合經(jīng)過前兩個維度的奠基，由數(shù)形的各自分工過渡到數(shù)形的關系對應，逐漸開始進入數(shù)形的相互聯(lián)系階段，這個階段也是揭示數(shù)學本質(zhì)的關鍵階段。在這個環(huán)節(jié)中，教師要抓住數(shù)與形的本質(zhì)特性，而后進行有機連接的呈現(xiàn)過程，使學生能夠體驗其知識建構系統(tǒng)的形成過程，并由此進行比對分析，獲得清晰的感知，體會數(shù)與形之間的相互作用和相互影響，從而深刻理解數(shù)學的抽象本質(zhì)。

例如，在教學蘇教版五年級下冊《分數(shù)的意義》時，學生經(jīng)過一輪學習之后，對抽象的概念有了歸納和演繹推理的數(shù)學思維經(jīng)驗，基本能夠從抽象的模仿角度進行意義的理解和表達，但可惜不能建立直觀概念，習慣于這樣理解各種情境中的分數(shù)意義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份。這樣的理解顯然不利于知識的正向遷移，容易造成思維誤區(qū)。為此筆者嘗試從數(shù)與形的相互作用這個角度切入課堂教學，嘗試將分數(shù)的“數(shù)”轉化為“圖式”，這樣學生可以從直觀形象的角度來理解分數(shù)，改變學生理解分數(shù)局限于數(shù)學言語的這個課堂困境。教學時，筆者進行了這樣的教學設計和嘗試：先讓學生根據(jù)自己所學的分數(shù)知識，說說對以下幾個分數(shù)的理解：（1）頭部的長度約占身高的八分之一。（2）長江干流五分之三的水體受到了污染。（3）死海表層的水中含鹽量達到了十分之三。學生認為，八分之一就是將單位“1”平均分成八份，表示這樣的一份；那么結合具體情境，就是將人的身高平均分成8份，而頭部表示這樣的1份。那么單位“1”是什么呢？（是人的身高）如果用圖式來表示，該怎么表示呢？（學生畫出線段圖將其清晰地展現(xiàn)出來）長江干流五分之三的水體受到污染，這表示將長江的所有干流平均分為5份，受到污染的是其中的3份。那么誰是單位“1”，如何來畫出直觀圖來表示？學生畫出一個正方形，其中的長江干流就代表這個正方形，畫出草圖并講述其中分數(shù)的意義。將死海的含鹽量平均分成了10份，而表層的含鹽量則占到了其中的3份，在這里的單位“1”是什么呢？（是死海的含鹽量）如果用一個圖式來表示，你怎么表示呢？（將整幅圖分成10份，涂色的3份則表示十分之三）

通過以上環(huán)節(jié)的引導，學生對數(shù)與形之間的有機融合有了較為清晰的建構和認知，這樣就能夠順利把握數(shù)與形之間的相互作用，為下一步的數(shù)形轉換提供了非常好的契機。

四、實施數(shù)形變換，拓展數(shù)學應用

在數(shù)形結合的四個維度中，數(shù)形變換是數(shù)形結合思想方法的最終落腳點，也是最終要實現(xiàn)的數(shù)學本質(zhì)所在，有利于促進數(shù)學應用。教師在教學中要適當點撥指導，進行多個角度的把握，實施數(shù)形變換，拓展數(shù)學應用。

例如，在教學蘇教版四年級下冊《三角形的三邊關系》時，學生學習并初步掌握了形如a+b>c這樣的三角形判斷公式，課后有這樣一道習題：判斷以下幾個線段是否能夠拼成一個三角形并說出你的理由。（1）3cm，4cm，5cm；（2）3cm，3cm，3cm；（3）2cm，2cm，6cm；（4）3cm，3cm，5cm。

顯然，這道題并不復雜，像是一個簡單的計算技能作業(yè)。從三角形的角度來看，這是一道簡單的代數(shù)題，學生只要掌握了三角形三邊關系的判定公式，就可以輕而易舉地將這道題目順利解答了。但是這樣一來，我們就將錯過對學生進行數(shù)形結合教育的有利時機。為此，筆者抓住數(shù)與形的變換這個關鍵點，將三角形的三邊關系這個知識向著直觀的幾何知識轉換，帶領學生進入了這樣的探究和嘗試，以此建構幾何的空間觀念，讓學生理解“空間觀念的變化也可以是由數(shù)促進的”：筆者先讓學生說說自己的算法并進行討論。有學生提出，只要將每兩個數(shù)相加然后與第三個數(shù)比較，就可以得到答案。但也有學生認為這樣很麻煩，每道題目都要加三遍，可以找一個更為簡便的方法。那么怎么才能更快捷方便地得到答案呢？學生討論后提出，只要算出最短的兩條邊之和就可以了，因為如果最短的兩條邊之和能夠大于第三邊，那么其余的兩條邊之和一定能夠大于第三邊。如，三邊為3cm，4cm，5cm的這個三角形，我們是否可以理解為只要三邊是三個連續(xù)的自然數(shù)，就一定可以組成三角形呢？學生提出，并不是這樣的，并舉例反證。筆者再引導學生觀察：（3cm，4cm，5cm）是什么三角形？（3cm，3cm，3cm）呢？你發(fā)現(xiàn)了什么特點？（3cm，3cm，3cm是等邊三角形；3cm，3cm，5cm是等腰三角形）

通過以上教學嘗試，學生能夠從各自的經(jīng)驗背景出發(fā)，推導出三角形三邊關系的數(shù)學邏輯和知識假設，并使其更合乎規(guī)范化，更重要的是，學生還能夠從數(shù)與形的轉換這個角度來理解和體驗三角形三邊關系的意義建構，從而培養(yǎng)并形成一種從數(shù)到形再從形到數(shù)的問題解決的思維模式，使數(shù)學學習顯得更具有數(shù)學意義。

（責編 林 劍）