編好數學教學案，讓學生逐步“會學”

【摘 要】本文以因式分解為例，突出了初中數學教學案的編寫過程中的三個剖析：教學內容剖析、學情剖析、教學過程剖析。結合具體的教學過程，闡釋了如何從幫助學生理解知識、培養思維、提升自主學習能力這三個維度去設計和實施好教學案。

【關鍵詞】初中數學 教學案 知識 思維 自主學習能力

一、明確教學案編寫目的

經過反復學習、研討，我校數學教師逐步明確了數學教學案編寫的目的：（1）理解知識——深入探究數學知識發生、發展過程中的思想方法；（2）培養思維——兩種推理，即歸納與演繹的融合；（3）提升自主學習能力——從如何教會學生到如何引導學生學會學習。在明確編寫理念的基礎上，逐步構建教學案的框架：學習準備（課前導學、情境創設）——探索討論（探索討論、嘗試解決）——反思檢測（小結反思、自我反饋、拓展提高）。下面以蘇科版《數學》七年級下冊“9.5多項式的因式分解”第二課時——平方差公式為例，談談使用該教學案進行課堂教學的情況。

二、剖析教學的起點

（一）教學內容分析

因式分解是中學數學的基礎內容，它是分式約分計算、解方程及代數恒等變形等的基礎。本課是在學生已掌握多項式乘法公式和因式分解的提公因式法的基礎上，通過對乘法公式中的平方差公式的再認識，用平方差公式進行因式分解。因此，本課在知識上，要使學生理解并掌握運用平方差公式因式分解；在思想方法上，要培養學生的逆向思維、整體化思想。

（二）學情分析

知識基礎：學生已學會運用平方差公式進行整式乘法、計算求值，會用提公因式法進行因式分解，初步理解整式乘法和因式分解的關系。

思維基礎：學生習慣于順向思考；對公式中字母表示的意義認識還不夠深刻。

自主學習能力基礎：初中階段是學生自我監控學習各方面策略發展較快和提高較多的時期。因此，根據學生在自主學習方面的已有經驗和學習內容，在教學過程中應重視滲透學習策略。

（三）學習目標設計

（1）利用平方差公式進行因式分解并進行簡單應用。（2）經歷通過整式乘法逆向變形得出因式分解公式的過程，發展學生的逆向思考和推理問題的能力；通過因式分解具體問題的解決，培養學生的整體化思想。（3）通過實際情境及問題的具體探索過程，激發學生的學習興趣，學生通過反思小結等，逐步學會學習。

三、設計完整的教學過程

（一）情境創設

（出示圖片）這是我們學校美麗的一角。我們希望在教學樓前修一座半徑為3.5m的圓形花壇，花壇中央修一個半徑為1.5m的圓形噴水池，四周呈圓環形進行綠化，使得校園更美麗。你能比較快地求出圓環綠化區的面積S嗎？（結果保留π）

（設計意圖：由實際問題情境激發學生的興趣，培養學生用數學的意識。）

在“情境創設”板塊，設置引發學生問題意識、探究欲望的問題情境，激發學生學習的內驅力，使他們產生好奇心和學習欲望，為探索討論作準備。

（二）探索討論

師：解決這個數學問題，我們不需要考慮綠化、水池等具體物體，畫出圓環如圖，你能表示圓環面積S嗎？

生：S=π（3.52-1.52）。

師：下一步如何計算？

生：把公因數提出來。

師：怎樣快速求3.52-1.52這兩個數的平方差？這樣做的根據是什么？

生：3.52-1.52=（3.5+1.5）（3.5-1.5）。根據平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）求得的。

師：（a+b）（a-b）=a2-b2。這是我們前面學過的平方差乘法公式，但今天是如何利用這公式的呢？

生：從右至左逆用平方差乘法公式。

師：如果數字3.5和1.5看成字母a、b，得到怎樣的公式？

生：可得公式a2-b2=（a+b）（a-b）。

師：平方差乘法公式逆向用，將平方差形式（多項式）化為乘積形式的變形稱為什么？

生：因式分解。

師：噢，原來只要將平方差的乘法公式逆向用，就得到平方差的因式分解公式。今天我們就來學習“多項式的因式分解——平方差公式”。前面我們已經學習了因式分解的哪種方法？

生：提公因式法。

師：今天這種利用平方差公式進行因式分解的方法，你們準備給它命名為什么方法？

生：運用公式法。

師：今天學習因式分解的第二種方法“運用公式法”，請把下列A組各多項式因式分解，并說說分別把什么看作了公式中的a、b？

A組：

（1）a2-16=a2-（ ）2=（a+ ）（a- ）

（2）64-b2=（ ）2-b2=（ +b）（ -b）

（3）a2-9b2=（ ）2-（ ）2=（ ）（ ）

師：利用平方差公式填空，使B組各式等號成立。

B組：

（1）（a+7）（a-7）=（ ）2

（2）（ ）（ ）=36-25b2

（3）9m2-n2=（ ）（ ）

（4）x2y2-z2=（ ）（ ）

B組的第（1）（2）兩題從左到右是什么變形？第（3）（4）兩題從左到右是什么變形？因式分解與整式乘法兩種變形有什么關系？

生：整式乘法、因式分解、因式分解與整式乘法是互逆的變形。

師：（1）（2）與（3）（4）是互逆的變形，但都運用了平方差公式。所以我們要養成這樣的習慣——對公式既要從左至右順著用，也要從右至左逆著用，學會逆向思考問題。

仔細觀察能用平方差公式因式分解的多項式有何特征？分解得到的結果有何特征？你能用文字語言來表達公式嗎？

生：左邊是多項式——（1）二項式；（2）兩項異號；（3）每一項都是平方式。右邊是乘積式——兩數和與這兩數差的積。文字語言表達——兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的積。

（設計意圖：“探索討論”板塊一般采用設置問題串的方式，在一系列相關問題引領下，導疑、導思、導學，引導學生逐步深入探究。問題串中，應注意認知的層次性、形式的多樣性，除了知識性問題、推理性問題外，還應有質疑性問題、引導學生提出問題的問題等，由此培養學生的創新意識和批判性思維。）

上述教學過程中，教師首先將數學對象從實際問題情境中分離出來，只考慮空間形式與數量關系，有助于培養學生的數學抽象概括能力。然后通過提取公因數，用平方差公式簡化計算，復習提公因式法；通過抽象度較低的具體數字運算，引出用平方差公式把兩數的平方差化為乘積式。接下來，從兩條路徑引出因式分解的平方差公式：一是逆向看平方差乘法公式，培養逆向思維；二是從具體數字到一般字母表達，培養學生從特殊到一般的抽象概括能力。再正面強化，逐步讓學生體會其中的a、b可以從數字、單獨字母到一般單項式。在知識上，深化認識整式乘法與因式分解之間的關系；在思維上，培養學生逆向思考的意識與習慣；在微觀上，引導學生學會觀察——對多項式而言，主要是項數、項的符號和次數。這樣，由具體問題歸納得到一般情形，培養了學生的宏觀思維。

（三）嘗試解決

1.把下列各式分解因式：

（1）4x2-y2 （2）0.16a2-46b2

2.下列多項式能用平方差公式因式分解嗎？為什么？如果能，請因式分解。

（1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2+y2

（4）x2+y2 （5）（x+y）2-4

師：觀察第（5）題的特征，它是二項式嗎？如何解決這問題？

生：把x+y看作一個整體，把它看成公式中的a，就可以看成是二項式進行因式分解了。

師：請同學們再想想看，公式中的a、b可以是些什么？

生：公式中的a、b可以是單項式（單獨的數字、字母，一般單項式），也可以是多項式。

師：觀察多項式25（a+b）2-9（a-b）2的特征，你會聯想用什么方法因式分解？分別把什么看成公式中的a與b？

生：分別把5（a+b）和3（a-b）整體地看成公式中的a與b。

師：你能說說運用平方差公式因式分解的一般步驟嗎？你認為還要注意什么問題？

生：（1）寫成平方差的形式；（2）運用公式寫成兩數和與差的積的形式；（3）化簡各因式。注意：各因式要分解到不能再分解為止。

師：把下列各式因式分解：

（1）-x2+81y2 （2）（x+2）2-9 （3）9（a-b）2-（a+b）2

師：在邊長為16.4cm的正方形紙片的四角各剪去一邊長為1.8cm的正方形，求余下的紙片的面積。

（設計意圖：在“嘗試解決”板塊，要精選例子，讓學生在問題的嘗試解決過程中深化所學的新知，檢驗學習的效果，從中發現存在的問題，并作出補救。也就是說，讓學生通過例子進一步深化理解相關的基礎知識、基本方法。）

上述教學過程，教師先進一步讓學生體會公式特征，體會其中可以是單項式（包括數、字母），也可以是多項式，培養學生的整體化思想。學會拓展，是學習能力的一個重要方面。然后引導學生先觀察問題特征，再聯想相關公式并進行比較，最后要檢驗。再鞏固、深化運用平方差公式進行因式分解。筆者以為，就初中數學的知識學習而言，應達到基本概念理解深刻，基本技能熟練掌握。最后將問題引向實際應用。與“情境創設”相呼應：數學來自于實際問題，應用于實際問題解決，以此提升學生用數學的意識。

（四）小結反思

師：想一想，這節課你有什么收獲？學到了哪些知識？運用了哪些方法？有何感悟？

（設計意圖：在“小結反思”板塊，重點設置培養學生元認知水平的問題。在問題引領下，讓學生通過文字語言，反思自己學習中的得與失，調節自己的學習策略與方法。在問題引領下，引導學生反思自己學習中的得與失，從知識、思維方式等方面對所學進行整理、小結。養成反思習慣，是學習能力的重要標志。）

（五）拓展提高

師：因式分解：a4-81。觀察多項式的特征，你會聯想運用什么方法進行因式分解？題目中出現了4次方，如何解決？分別把什么看成公式中的a和b？

（設計意圖：緊扣所學知識與方法，根據學生情況，適當增加問題探究的深度與難度。本題的難點在于將a4看成（a2）2（比將4y2看成（2y）2難度大），兩次運用平方差公式把各因式分解到不能再分解為止。）

（六）自我反饋

“反思檢測”板塊包含小結反思、自我反饋、拓展提高三個欄目，分別從文本（陳述性知識）、基礎操練（程序性知識）、拓展提高（延伸性知識）對所學的知識、方法進行反思檢測，由此培養學生的反思習慣、自我檢測與評價能力，提升學生的元認知水平。

【參考文獻】

湯炳興，葉紅.初中數學教學案編寫的理念、框架與過程[J].數學通報，2012（2）.

（作者單位：江蘇省常熟市外國語初級中學）

生：左邊是多項式——（1）二項式；（2）兩項異號；（3）每一項都是平方式。右邊是乘積式——兩數和與這兩數差的積。文字語言表達——兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的積。

（設計意圖：“探索討論”板塊一般采用設置問題串的方式，在一系列相關問題引領下，導疑、導思、導學，引導學生逐步深入探究。問題串中，應注意認知的層次性、形式的多樣性，除了知識性問題、推理性問題外，還應有質疑性問題、引導學生提出問題的問題等，由此培養學生的創新意識和批判性思維。）

上述教學過程中，教師首先將數學對象從實際問題情境中分離出來，只考慮空間形式與數量關系，有助于培養學生的數學抽象概括能力。然后通過提取公因數，用平方差公式簡化計算，復習提公因式法；通過抽象度較低的具體數字運算，引出用平方差公式把兩數的平方差化為乘積式。接下來，從兩條路徑引出因式分解的平方差公式：一是逆向看平方差乘法公式，培養逆向思維；二是從具體數字到一般字母表達，培養學生從特殊到一般的抽象概括能力。再正面強化，逐步讓學生體會其中的a、b可以從數字、單獨字母到一般單項式。在知識上，深化認識整式乘法與因式分解之間的關系；在思維上，培養學生逆向思考的意識與習慣；在微觀上，引導學生學會觀察——對多項式而言，主要是項數、項的符號和次數。這樣，由具體問題歸納得到一般情形，培養了學生的宏觀思維。

（三）嘗試解決

1.把下列各式分解因式：

（1）4x2-y2 （2）0.16a2-46b2

2.下列多項式能用平方差公式因式分解嗎？為什么？如果能，請因式分解。

（1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2+y2

（4）x2+y2 （5）（x+y）2-4

師：觀察第（5）題的特征，它是二項式嗎？如何解決這問題？

生：把x+y看作一個整體，把它看成公式中的a，就可以看成是二項式進行因式分解了。

師：請同學們再想想看，公式中的a、b可以是些什么？

生：公式中的a、b可以是單項式（單獨的數字、字母，一般單項式），也可以是多項式。

師：觀察多項式25（a+b）2-9（a-b）2的特征，你會聯想用什么方法因式分解？分別把什么看成公式中的a與b？

生：分別把5（a+b）和3（a-b）整體地看成公式中的a與b。

師：你能說說運用平方差公式因式分解的一般步驟嗎？你認為還要注意什么問題？

生：（1）寫成平方差的形式；（2）運用公式寫成兩數和與差的積的形式；（3）化簡各因式。注意：各因式要分解到不能再分解為止。

師：把下列各式因式分解：

（1）-x2+81y2 （2）（x+2）2-9 （3）9（a-b）2-（a+b）2

師：在邊長為16.4cm的正方形紙片的四角各剪去一邊長為1.8cm的正方形，求余下的紙片的面積。

（設計意圖：在“嘗試解決”板塊，要精選例子，讓學生在問題的嘗試解決過程中深化所學的新知，檢驗學習的效果，從中發現存在的問題，并作出補救。也就是說，讓學生通過例子進一步深化理解相關的基礎知識、基本方法。）

上述教學過程，教師先進一步讓學生體會公式特征，體會其中可以是單項式（包括數、字母），也可以是多項式，培養學生的整體化思想。學會拓展，是學習能力的一個重要方面。然后引導學生先觀察問題特征，再聯想相關公式并進行比較，最后要檢驗。再鞏固、深化運用平方差公式進行因式分解。筆者以為，就初中數學的知識學習而言，應達到基本概念理解深刻，基本技能熟練掌握。最后將問題引向實際應用。與“情境創設”相呼應：數學來自于實際問題，應用于實際問題解決，以此提升學生用數學的意識。

（四）小結反思

師：想一想，這節課你有什么收獲？學到了哪些知識？運用了哪些方法？有何感悟？

（設計意圖：在“小結反思”板塊，重點設置培養學生元認知水平的問題。在問題引領下，讓學生通過文字語言，反思自己學習中的得與失，調節自己的學習策略與方法。在問題引領下，引導學生反思自己學習中的得與失，從知識、思維方式等方面對所學進行整理、小結。養成反思習慣，是學習能力的重要標志。）

（五）拓展提高

師：因式分解：a4-81。觀察多項式的特征，你會聯想運用什么方法進行因式分解？題目中出現了4次方，如何解決？分別把什么看成公式中的a和b？

（設計意圖：緊扣所學知識與方法，根據學生情況，適當增加問題探究的深度與難度。本題的難點在于將a4看成（a2）2（比將4y2看成（2y）2難度大），兩次運用平方差公式把各因式分解到不能再分解為止。）

（六）自我反饋

“反思檢測”板塊包含小結反思、自我反饋、拓展提高三個欄目，分別從文本（陳述性知識）、基礎操練（程序性知識）、拓展提高（延伸性知識）對所學的知識、方法進行反思檢測，由此培養學生的反思習慣、自我檢測與評價能力，提升學生的元認知水平。

【參考文獻】

湯炳興，葉紅.初中數學教學案編寫的理念、框架與過程[J].數學通報，2012（2）.

（作者單位：江蘇省常熟市外國語初級中學）

生：左邊是多項式——（1）二項式；（2）兩項異號；（3）每一項都是平方式。右邊是乘積式——兩數和與這兩數差的積。文字語言表達——兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的積。

（設計意圖：“探索討論”板塊一般采用設置問題串的方式，在一系列相關問題引領下，導疑、導思、導學，引導學生逐步深入探究。問題串中，應注意認知的層次性、形式的多樣性，除了知識性問題、推理性問題外，還應有質疑性問題、引導學生提出問題的問題等，由此培養學生的創新意識和批判性思維。）

上述教學過程中，教師首先將數學對象從實際問題情境中分離出來，只考慮空間形式與數量關系，有助于培養學生的數學抽象概括能力。然后通過提取公因數，用平方差公式簡化計算，復習提公因式法；通過抽象度較低的具體數字運算，引出用平方差公式把兩數的平方差化為乘積式。接下來，從兩條路徑引出因式分解的平方差公式：一是逆向看平方差乘法公式，培養逆向思維；二是從具體數字到一般字母表達，培養學生從特殊到一般的抽象概括能力。再正面強化，逐步讓學生體會其中的a、b可以從數字、單獨字母到一般單項式。在知識上，深化認識整式乘法與因式分解之間的關系；在思維上，培養學生逆向思考的意識與習慣；在微觀上，引導學生學會觀察——對多項式而言，主要是項數、項的符號和次數。這樣，由具體問題歸納得到一般情形，培養了學生的宏觀思維。

（三）嘗試解決

1.把下列各式分解因式：

（1）4x2-y2 （2）0.16a2-46b2

2.下列多項式能用平方差公式因式分解嗎？為什么？如果能，請因式分解。

（1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2+y2

（4）x2+y2 （5）（x+y）2-4

師：觀察第（5）題的特征，它是二項式嗎？如何解決這問題？

生：把x+y看作一個整體，把它看成公式中的a，就可以看成是二項式進行因式分解了。

師：請同學們再想想看，公式中的a、b可以是些什么？

生：公式中的a、b可以是單項式（單獨的數字、字母，一般單項式），也可以是多項式。

師：觀察多項式25（a+b）2-9（a-b）2的特征，你會聯想用什么方法因式分解？分別把什么看成公式中的a與b？

生：分別把5（a+b）和3（a-b）整體地看成公式中的a與b。

師：你能說說運用平方差公式因式分解的一般步驟嗎？你認為還要注意什么問題？

生：（1）寫成平方差的形式；（2）運用公式寫成兩數和與差的積的形式；（3）化簡各因式。注意：各因式要分解到不能再分解為止。

師：把下列各式因式分解：

（1）-x2+81y2 （2）（x+2）2-9 （3）9（a-b）2-（a+b）2

師：在邊長為16.4cm的正方形紙片的四角各剪去一邊長為1.8cm的正方形，求余下的紙片的面積。

（設計意圖：在“嘗試解決”板塊，要精選例子，讓學生在問題的嘗試解決過程中深化所學的新知，檢驗學習的效果，從中發現存在的問題，并作出補救。也就是說，讓學生通過例子進一步深化理解相關的基礎知識、基本方法。）

上述教學過程，教師先進一步讓學生體會公式特征，體會其中可以是單項式（包括數、字母），也可以是多項式，培養學生的整體化思想。學會拓展，是學習能力的一個重要方面。然后引導學生先觀察問題特征，再聯想相關公式并進行比較，最后要檢驗。再鞏固、深化運用平方差公式進行因式分解。筆者以為，就初中數學的知識學習而言，應達到基本概念理解深刻，基本技能熟練掌握。最后將問題引向實際應用。與“情境創設”相呼應：數學來自于實際問題，應用于實際問題解決，以此提升學生用數學的意識。

（四）小結反思

師：想一想，這節課你有什么收獲？學到了哪些知識？運用了哪些方法？有何感悟？

（設計意圖：在“小結反思”板塊，重點設置培養學生元認知水平的問題。在問題引領下，讓學生通過文字語言，反思自己學習中的得與失，調節自己的學習策略與方法。在問題引領下，引導學生反思自己學習中的得與失，從知識、思維方式等方面對所學進行整理、小結。養成反思習慣，是學習能力的重要標志。）

（五）拓展提高

師：因式分解：a4-81。觀察多項式的特征，你會聯想運用什么方法進行因式分解？題目中出現了4次方，如何解決？分別把什么看成公式中的a和b？

（設計意圖：緊扣所學知識與方法，根據學生情況，適當增加問題探究的深度與難度。本題的難點在于將a4看成（a2）2（比將4y2看成（2y）2難度大），兩次運用平方差公式把各因式分解到不能再分解為止。）

（六）自我反饋

“反思檢測”板塊包含小結反思、自我反饋、拓展提高三個欄目，分別從文本（陳述性知識）、基礎操練（程序性知識）、拓展提高（延伸性知識）對所學的知識、方法進行反思檢測，由此培養學生的反思習慣、自我檢測與評價能力，提升學生的元認知水平。

【參考文獻】

湯炳興，葉紅.初中數學教學案編寫的理念、框架與過程[J].數學通報，2012（2）.

（作者單位：江蘇省常熟市外國語初級中學）