數學教學中應加強數學思想方法的滲透

莊添偉

摘 要 數學思想方法是數學的靈魂，數學思想是對數學知識和方法本質的認識，數學方法是解決數學問題，體現數學思想的手段和工具，加強數學思想方法的教學對于抓好雙基培養能力，提高學生的思維品質具有重要的作用。本文將對平時教學中一些基本的數學思想和數學方法加以歸納闡述。

關鍵詞 數學思想 數學方法 數形結合 化歸法

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

Mathematics Teaching Should Enhance the

Penetration of Mathematical Thinking

ZHUANG Tianwei

（Zhangzhou Pinghe Wuzhai Middle School， Zhangzhou， Fujian 363702）

Abstract Mathematical thinking is the soul of mathematics， mathematical thinking is a method of mathematical knowledge and understanding of the nature， mathematical methods to solve mathematical problems， mathematical ideas reflect the means and tools to strengthen the teaching of mathematical thinking ability to grasp the double base， improve the quality of student thinking has an important role. This paper summarizes and elaborates some basic mathematical ideas and mathematical methods in teaching.

Key words mathematical thinking； mathematical method； combination of number and shape； transformation method

數學教學內容始終反映著兩條線，即數學基礎知識和數學思想方法，數學教材中的每一章節乃至每一道題都體現著這兩條線的有機結合，沒有脫離數學知識的數學，數學思想方法，也沒有不包含數學思想方法的數學知識，在數學教材中，很多題目隱含著常用的數學思想方法，數學方法是聯系知識與能力的紐帶，對發展學生數學能力，提高思維水平都具有十分重要的作用。①在基本概念、定理公式及例題示范中，一定要講思想、講方法，因此，在教學中可進行以下幾個方面數學思想方法的滲透。

1 數學模型法

許多實際問題和數學問題的解決都依賴于能從中抽象出用數學符號語言或圖象語言刻劃表達的某種數學結構即建立數學模型，其中包括建立方程不等式、函數等。

例 1 函數 （） 的定義或為且滿足 （）= （）·+1，求 （） 的表達式。

分析：顯然 （） 的表達式可以含有，從方程的觀點看，已知等式可看成以 （） ， （）為未知量，，1為已知量的方程，由于一個方程含有兩個未知數，無法求解考慮再建立一個含有 （） ， （）的等式，與已知等式構成方程組，消元解方程組，即可求出 （） 的表達式。

解：以為自變量得等式 （） = （）·+1

由方程組 得 （） =

數學模型是由已知與未知構成的矛盾統一體，是從已知探索未知的橋梁，如何從問題的數量關系分析著手，運用數學語言，等號將問題的隱含的數量關系轉化為數學模型（方程、不等式、函數）這應貫穿于數學上。②

2 化歸法

化歸法，就是把問題進行變換轉化為容易解決和已經解決的問題的思想方法。

圖1 圖2

例 2 如圖1，在四邊形ABCD中，∠A = 60，AD+BC=AB=DC=1 求：四邊形ABCD的面積？

分析：很顯然是無法直接求出一般四邊形ABCD的面積。由AB=AD+BC使我們想到延長AD至E使DE=BC，連結BE，BD則△ABE為等邊三角形，容易求出S△ABE，由AB=DC和DE=BC可證△ABE≌△DBC，至此求四邊形ABCD的面積轉化為求S△ABE。

解：延長AD至E使ED=BC連接EB，DB，∵AB=AD+BC，DE=BC，∴AB=AD+DE=AE，又∵∠A = 60，∴△ABE是等邊三角形。S△ABE = AB·AE ×∠A = ∵△ABE是等邊三角形，∴AB=EB。又∵AB=DC，∴EB=DC而DE=BC，DBh公共邊，∴△BDE △DBC。

S四邊形ABCD=S△ABE=

3 數形結合思想

數學結合思想是通過數形間的對應關系來研究解決問題的思想方法，數形結合，即是“形”中覓“數”，“數”中思“形”，把要研究的問題的數量關系與空間圖形結合起來，華羅庚說：“數”缺“形”少直觀，“形”離“數”難入微如根據問題需要，可把數量關系的問題化為圖形的性質去求解，或把圖形性質問題化為數量關系來研究。③

例3：已知5cosA+6cosB=5，5sinA=6 sinB且A、B都是銳角，求+ B及sinA和cosB的值。

分析：不妨對兩三角等式作一下認真研究，5sinA是斜邊為5的直角三角形中銳角A所對的直角邊長，6 sinB是斜邊為6的直角三角形中銳角B反對直角邊長，二者相等，說明這兩條直角邊長可公共。相應地5cosA與6 sinB是這兩個直角三角形的另一直角邊長，其和為5，說明A、B在公共邊的兩旁，于是我們可構造如圖的△ABC。endprint

解：如圖2作△ABC使AB=AC=5，BC=6，過C作CD⊥AB于D，則CD=5sinA=6 sinB，AD=5cosA，BD=6sinB且5cosA+6 sinB=AB=5，∵AB=AC，有∠B=∠ACB，∠BAC+2∠B =150 B=90

這是數形結合的應用，它是一種重要的解題思想方法，主要是通過觀察已知條件，聯想幾何模型，從而構造出符合條件的幾何圖形，這種方法常常可化“虛”為“實”化難為易。

4 函數與方程思想

函數與方程均為中學數學的重要內容，同時也是解決一類數學問題經常用到的基本數學思想。

例4 如果圓柱軸截面周長L這定值，那么圓柱體積的最大值是多少？

解：設圓柱的底面半徑為r，則圓柱高H =

∴V圓柱=·= · ·

≤ （）2=（）3

∴當=，即 = 時V圓柱最大=

與函數概念密切聯系的是方程，因此方程的思想與函數的思想也是密切相關的。④

5 變量變換法

在學習指數函數，對函數及三角函數知識時，都有求復合函數的值域、單調區域，最值等問題。解決這類問題都要用變量變換法，這是教學中又一種廣泛應用的思想方法，在學習三角函數性質后，學生可進一步探索如何用變量變換法解決較復雜的問題。

例：求函數 （）= 的最大值和最小值。

分析：學生學習了三角函數性質后，初遇此題還難以著手，此時可將問題退縮到特殊情況來尋求解題思路，這也是一種常用的思想方法，此時把題目改成 （）=讓學生求解。學生利用“三角化”一章所學知識，容易想到變形 （）=，從而設=的項，進行變量變換，使原函數化為以t為自變量的二次函數即可，這就為解答原題鋪平了道路。

6 分類思想

分類思想是一切科學研究的基本思想，分類應掌握不重復，不遺漏考慮問題要全面。

例：已知拋物線 = +（+3）+4的開口向下，它與軸交于點A與點B，與軸交于點C，如果△ABC是等腰三角形，是否存在的值；使這一拋物線關于軸對稱？若存在，請找出的值，若不存在，請說明理由。

分析，由已知可得C（0，4），若令=0，便可解得=3，=，不妨設A（3，0），B（，0）（<0），則AB、BC均可以用表示，AC=5，再由等腰三角形，分別考慮AB=AC，AB=BC與AC=BC三種情況，便可求出三個不同的值，從而只能考慮+3的值是否為0就行了。

解：因為當=0時，=4，所以C點坐標為（0，4）。

由+（+3）+4=0得=3，=，∴A（3，0），B（，0），又因為拋物線開口向下，<0，所以AB =∣3 + ∣= ，AC = 5，BC=

（1） 如果AB=BC，即=5，解得=

∵+3=≠0，∴拋物線關于軸不對稱。

（2） 如果AB=BC，即=，得=

∵+3=≠0，∴拋物線關于軸不對稱。

（3） 如果AC=BC，即=5，得=或=

因為+3=0，所以拋物線關于軸對稱。

綜上可知，存有=，使拋物線關于軸對稱。

注釋

① 吳炯圻，林培榕.數學思想方法.廈門大學出版社，2001：348-349.

② 蔡曄.中考·奧賽全程對接.機械工業出版社，2007.

③ 吳小菲.2000年中學生數理化.機械工業出版社，2000.

④ 項昭義，周春荔.全國金牌奧賽.京華出版社，2011endprint

解：如圖2作△ABC使AB=AC=5，BC=6，過C作CD⊥AB于D，則CD=5sinA=6 sinB，AD=5cosA，BD=6sinB且5cosA+6 sinB=AB=5，∵AB=AC，有∠B=∠ACB，∠BAC+2∠B =150 B=90

這是數形結合的應用，它是一種重要的解題思想方法，主要是通過觀察已知條件，聯想幾何模型，從而構造出符合條件的幾何圖形，這種方法常常可化“虛”為“實”化難為易。

4 函數與方程思想

函數與方程均為中學數學的重要內容，同時也是解決一類數學問題經常用到的基本數學思想。

例4 如果圓柱軸截面周長L這定值，那么圓柱體積的最大值是多少？

解：設圓柱的底面半徑為r，則圓柱高H =

∴V圓柱=·= · ·

≤ （）2=（）3

∴當=，即 = 時V圓柱最大=

與函數概念密切聯系的是方程，因此方程的思想與函數的思想也是密切相關的。④

5 變量變換法

在學習指數函數，對函數及三角函數知識時，都有求復合函數的值域、單調區域，最值等問題。解決這類問題都要用變量變換法，這是教學中又一種廣泛應用的思想方法，在學習三角函數性質后，學生可進一步探索如何用變量變換法解決較復雜的問題。

例：求函數 （）= 的最大值和最小值。

分析：學生學習了三角函數性質后，初遇此題還難以著手，此時可將問題退縮到特殊情況來尋求解題思路，這也是一種常用的思想方法，此時把題目改成 （）=讓學生求解。學生利用“三角化”一章所學知識，容易想到變形 （）=，從而設=的項，進行變量變換，使原函數化為以t為自變量的二次函數即可，這就為解答原題鋪平了道路。

6 分類思想

分類思想是一切科學研究的基本思想，分類應掌握不重復，不遺漏考慮問題要全面。

例：已知拋物線 = +（+3）+4的開口向下，它與軸交于點A與點B，與軸交于點C，如果△ABC是等腰三角形，是否存在的值；使這一拋物線關于軸對稱？若存在，請找出的值，若不存在，請說明理由。

分析，由已知可得C（0，4），若令=0，便可解得=3，=，不妨設A（3，0），B（，0）（<0），則AB、BC均可以用表示，AC=5，再由等腰三角形，分別考慮AB=AC，AB=BC與AC=BC三種情況，便可求出三個不同的值，從而只能考慮+3的值是否為0就行了。

解：因為當=0時，=4，所以C點坐標為（0，4）。

由+（+3）+4=0得=3，=，∴A（3，0），B（，0），又因為拋物線開口向下，<0，所以AB =∣3 + ∣= ，AC = 5，BC=

（1） 如果AB=BC，即=5，解得=

∵+3=≠0，∴拋物線關于軸不對稱。

（2） 如果AB=BC，即=，得=

∵+3=≠0，∴拋物線關于軸不對稱。

（3） 如果AC=BC，即=5，得=或=

因為+3=0，所以拋物線關于軸對稱。

綜上可知，存有=，使拋物線關于軸對稱。

注釋

① 吳炯圻，林培榕.數學思想方法.廈門大學出版社，2001：348-349.

② 蔡曄.中考·奧賽全程對接.機械工業出版社，2007.

③ 吳小菲.2000年中學生數理化.機械工業出版社，2000.

④ 項昭義，周春荔.全國金牌奧賽.京華出版社，2011endprint

解：如圖2作△ABC使AB=AC=5，BC=6，過C作CD⊥AB于D，則CD=5sinA=6 sinB，AD=5cosA，BD=6sinB且5cosA+6 sinB=AB=5，∵AB=AC，有∠B=∠ACB，∠BAC+2∠B =150 B=90

這是數形結合的應用，它是一種重要的解題思想方法，主要是通過觀察已知條件，聯想幾何模型，從而構造出符合條件的幾何圖形，這種方法常常可化“虛”為“實”化難為易。

4 函數與方程思想

函數與方程均為中學數學的重要內容，同時也是解決一類數學問題經常用到的基本數學思想。

例4 如果圓柱軸截面周長L這定值，那么圓柱體積的最大值是多少？

解：設圓柱的底面半徑為r，則圓柱高H =

∴V圓柱=·= · ·

≤ （）2=（）3

∴當=，即 = 時V圓柱最大=

與函數概念密切聯系的是方程，因此方程的思想與函數的思想也是密切相關的。④

5 變量變換法

在學習指數函數，對函數及三角函數知識時，都有求復合函數的值域、單調區域，最值等問題。解決這類問題都要用變量變換法，這是教學中又一種廣泛應用的思想方法，在學習三角函數性質后，學生可進一步探索如何用變量變換法解決較復雜的問題。

例：求函數 （）= 的最大值和最小值。

分析：學生學習了三角函數性質后，初遇此題還難以著手，此時可將問題退縮到特殊情況來尋求解題思路，這也是一種常用的思想方法，此時把題目改成 （）=讓學生求解。學生利用“三角化”一章所學知識，容易想到變形 （）=，從而設=的項，進行變量變換，使原函數化為以t為自變量的二次函數即可，這就為解答原題鋪平了道路。

6 分類思想

分類思想是一切科學研究的基本思想，分類應掌握不重復，不遺漏考慮問題要全面。

例：已知拋物線 = +（+3）+4的開口向下，它與軸交于點A與點B，與軸交于點C，如果△ABC是等腰三角形，是否存在的值；使這一拋物線關于軸對稱？若存在，請找出的值，若不存在，請說明理由。

分析，由已知可得C（0，4），若令=0，便可解得=3，=，不妨設A（3，0），B（，0）（<0），則AB、BC均可以用表示，AC=5，再由等腰三角形，分別考慮AB=AC，AB=BC與AC=BC三種情況，便可求出三個不同的值，從而只能考慮+3的值是否為0就行了。

解：因為當=0時，=4，所以C點坐標為（0，4）。

由+（+3）+4=0得=3，=，∴A（3，0），B（，0），又因為拋物線開口向下，<0，所以AB =∣3 + ∣= ，AC = 5，BC=

（1） 如果AB=BC，即=5，解得=

∵+3=≠0，∴拋物線關于軸不對稱。

（2） 如果AB=BC，即=，得=

∵+3=≠0，∴拋物線關于軸不對稱。

（3） 如果AC=BC，即=5，得=或=

因為+3=0，所以拋物線關于軸對稱。

綜上可知，存有=，使拋物線關于軸對稱。

注釋

① 吳炯圻，林培榕.數學思想方法.廈門大學出版社，2001：348-349.

② 蔡曄.中考·奧賽全程對接.機械工業出版社，2007.

③ 吳小菲.2000年中學生數理化.機械工業出版社，2000.

④ 項昭義，周春荔.全國金牌奧賽.京華出版社，2011endprint