基于“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的數(shù)學(xué)概念教學(xué)

王伯龍

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》（以下簡稱《標準》）明確指出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過程和本質(zhì).數(shù)學(xué)課程“要講推理，更要講道理”，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索的活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念逐步形成的過程.

去年十月，學(xué)校組織了一次課堂教學(xué)大賽，筆者在這次課堂教學(xué)活動中，以人教A版《數(shù)學(xué)》選修21第二章第二節(jié)“橢圓的定義”為課題上了一節(jié)基于“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的數(shù)學(xué)概念生成課，受到了聽課教師的好評.本文概述本課的教學(xué)過程實錄，并附以自己的一些思考，以期專家同行的不吝賜教.

1教學(xué)過程實錄

1.1創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

多媒體展示圖1.

師：請同學(xué)們觀察太陽系中的行星的運行軌道，你能說出這些行星的運行軌跡是什么曲線嗎？

生：橢圓.

師：你是怎么知道的？

生：地理課上老師講的，科普書籍上介紹的.

師：大家還能舉一些生活中見到的橢圓形的例子嗎？

學(xué)生舉出好多的例子，如油罐車的油罐橫截面的外輪廓線，…….

師：同學(xué)們知道的還不少，老師也得向你們學(xué)習(xí).（學(xué)生臉上露出了微笑）

同學(xué)們對橢圓已經(jīng)有了初步的了解，這節(jié)課我們一起來探究“橢圓的定義”.（板書課題）

圖1圖2

12展示問題，探索新知

多媒體展示圖2.

師：請同學(xué)們觀察握力器的圖片的形狀，老師這

里有一個握力器模型，你能給大家演示一下將它如何變成橢圓嗎？

生：（演示）擠壓.

追問：橢圓是怎樣生成的？

生（眾）：圓經(jīng)過壓縮變成橢圓.

師：很好！把一個圓均勻壓縮后，好像變成了橢圓，那么它到底是不是橢圓呢？請同學(xué)

們研究下列問題.

圖3

（多媒體展示）引題：如圖3，在圓x2+y2=16上任取一點P，過P作x軸的垂線

段PD，D為垂足.當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡方程是什么？你能猜想

出點M的軌跡是什么嗎？（教材第41頁例2改編）

求動點軌跡問題，學(xué)生在“圓”和“曲線與方程”章節(jié)中已有認知基礎(chǔ)，對引題中求動

點M的軌跡方程應(yīng)該沒有太大的困難.教師巡視指導(dǎo)學(xué)有困難的學(xué)生，不一會兒，絕大部分

的學(xué)生有了結(jié)果，求出點M的軌跡方程是x2+4y2=16，但對軌跡是什么圖形，有些學(xué)

生猜想是橢圓，有些學(xué)生感到茫然.

教師用“幾何畫板”演示，讓點P慢慢的繞圓周運動，線段PD的中點M（設(shè)置成追蹤

點）所形成軌跡的形狀（如圖4），同學(xué)們異口同聲：“橢圓”.

圖4圖5

師：很好！我們知道，圓的定義是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡，即在圓的

定義中有一個定點，一個定長.那么，橢圓是否也可以通過定點、定長來定義呢？

（學(xué)生思考交流）

生：可以，因為橢圓由圓壓縮而來的.

師：有道理.

追問：定義橢圓需要幾個定點？有沒有定長？

有些學(xué)生猜想是兩個定點，而有些學(xué)生說不可能是一個，但具體是幾個，不知所措，此時，教師用“幾何畫板”演示：點P沿著圓的半徑PO滑到點M的過程中，圓心O沿著x軸向兩邊分別滑向點F1，F(xiàn)2（如圖5），半徑PO滑到MF1，MF2的位置.

師：在上面的演示中，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：有兩個定點F1，F(xiàn)2，MF1和MF2的長都等于圓半徑的長.

師：好！我們來驗證一下你的觀察是否正確，教師用“幾何畫板”中的“度量”工具度量出MF1和MF2的長都是4.

生：我還發(fā)現(xiàn)MF1+MF2=8.

追問：你是怎么想到的？

生：從課本上看到的（眾生笑）.

師：很好！你有課前預(yù)習(xí)的好習(xí)慣，請保持.剛才，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)點M在圖5的位置時，有MF1+MF2=8.那么，點M在橢圓周上其它位置是否也有MF1+MF2=8.

圖6

教師用“幾何畫板”演示：讓點P沿著圓周緩緩運動，則點M就沿著橢圓周運動（如圖6），線段MF1和MF2的長度隨著點M的位置的變化而改變，但始終有MF1+MF2=8.

師：通過“幾何畫板”直觀演示，我們發(fā)現(xiàn)：“橢圓周上任意一點M到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和始終等于8.”你能否進行嚴格的論證？

（學(xué)生思考，討論）

生：由上面的演示易知，F(xiàn)1（-23，0），F(xiàn)2（23，0）.設(shè)M（x，y），由于點M在橢圓上，所以點M的坐標必滿足方程x2+4y2=16，即y2=16-x24.于是，MF1+MF2=（x+23）2+y2+（x-23）2+y2=（3x+8）22+（8-3x）22

=3x+82+8-3x2=8.

師：真棒！你通過代數(shù)計算的方法檢驗了我們直觀演示的結(jié)果.

13歸納提升，形成定義

師：通過上面的探索，你能給橢圓下個定義嗎？

生：平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于定長的點的軌跡叫橢圓.

追問：大家滿意嗎？

生：應(yīng)加上定長大于兩定點F1，F(xiàn)2間的距離.

師：為什么要加上“定長大于兩定點F1，F(xiàn)2間的距離.”

（學(xué)生思考討論，遇到困難時，教師指導(dǎo)）

生：如果定長等于兩定點F1，F(xiàn)2間的距離時，動點的軌跡是線段F1F2；定長小于兩定點F1，F(xiàn)2間的距離時，不成軌跡.

師：好極了！下面我們給出橢圓的定義.

（板書）平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.

1.4應(yīng)用新知，解決問題

請同學(xué)們應(yīng)用本節(jié)課所獲得的知識，解決下面問題.（最好獨立完成，遇到困難時，可以交流討論）

問題1：你能用橢圓的定義畫出一個橢圓嗎？

問題2：如果點M（x，y）在運動過程中，總滿足關(guān)系式x2+（y+3）2+x2+（y-3）2=10，則點M的軌跡是什么曲線？為什么？

圖7

問題3：如圖7，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

2教學(xué)反思

“橢圓定義”是繼“圓定義”后的又一平面曲線的一個概念，《標準》對“橢圓定義”的學(xué)習(xí)要求是：“經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，掌握其定義.”本文基于數(shù)學(xué)本質(zhì)對“橢圓定義”做教學(xué)設(shè)計，以下一些方面值得反思.

2.1以生為本，對教材二次開發(fā)

橢圓的定義，在教材中是這樣引入的：“把細繩的兩端拉開一段距離，移動筆尖的過程中，細繩的長度保持不變，即筆尖到兩個定點的距離之和等于常數(shù).”圍繞這個方法產(chǎn)生許多教學(xué)設(shè)計.或是讓學(xué)生按教材上的敘述方法，動手畫出橢圓，或是用課件演示，按定義畫出橢圓，但定義是怎樣想到的？兩個定點從何而來？似乎是“魔術(shù)師的帽子里突然跳出一只兔子”，不可理喻.為此，本設(shè)計改變了教材原有的編排順序，將橢圓定義后的例2進行改編，然后前置，作為探索主線，從學(xué)生已有圓的認知基礎(chǔ)出發(fā)，設(shè)置適合的問題使學(xué)生親身經(jīng)歷觀察、操作、探究、猜想、驗證等活動，感知橢圓概念的形成原本是自然的，水到渠成的.

2.2情境化的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

《標準》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體實例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，了解知識的來龍去脈.特別是數(shù)學(xué)概念的引出，新教材關(guān)注與其它學(xué)科，周圍環(huán)境，日常生活等實例的聯(lián)系，通過設(shè)置豐富的問題情境，對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的視野，加強知識之間的相互聯(lián)系，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識有非常重要的作用.本設(shè)計在橢圓概念的引入和定義的探索中注重情境化，使學(xué)生學(xué)有余力，輕松自如.

2.3多媒體的使用，為本課的教學(xué)增添了亮點

課后評議中，老師們一致認為課堂設(shè)計總體思路清晰，“幾何畫板”的有效使用，直觀形象地呈現(xiàn)了圖形的動態(tài)變化過程，使學(xué)生能很好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，進而探索數(shù)學(xué)結(jié)論，交流，討論，師生對話等多樣的學(xué)習(xí)方式，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，主動性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成了學(xué)生積極思考，樂于探索的好習(xí)慣.

（板書）平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.

1.4應(yīng)用新知，解決問題

請同學(xué)們應(yīng)用本節(jié)課所獲得的知識，解決下面問題.（最好獨立完成，遇到困難時，可以交流討論）

問題1：你能用橢圓的定義畫出一個橢圓嗎？

問題2：如果點M（x，y）在運動過程中，總滿足關(guān)系式x2+（y+3）2+x2+（y-3）2=10，則點M的軌跡是什么曲線？為什么？

圖7

問題3：如圖7，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

2教學(xué)反思

“橢圓定義”是繼“圓定義”后的又一平面曲線的一個概念，《標準》對“橢圓定義”的學(xué)習(xí)要求是：“經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，掌握其定義.”本文基于數(shù)學(xué)本質(zhì)對“橢圓定義”做教學(xué)設(shè)計，以下一些方面值得反思.

2.1以生為本，對教材二次開發(fā)

橢圓的定義，在教材中是這樣引入的：“把細繩的兩端拉開一段距離，移動筆尖的過程中，細繩的長度保持不變，即筆尖到兩個定點的距離之和等于常數(shù).”圍繞這個方法產(chǎn)生許多教學(xué)設(shè)計.或是讓學(xué)生按教材上的敘述方法，動手畫出橢圓，或是用課件演示，按定義畫出橢圓，但定義是怎樣想到的？兩個定點從何而來？似乎是“魔術(shù)師的帽子里突然跳出一只兔子”，不可理喻.為此，本設(shè)計改變了教材原有的編排順序，將橢圓定義后的例2進行改編，然后前置，作為探索主線，從學(xué)生已有圓的認知基礎(chǔ)出發(fā)，設(shè)置適合的問題使學(xué)生親身經(jīng)歷觀察、操作、探究、猜想、驗證等活動，感知橢圓概念的形成原本是自然的，水到渠成的.

2.2情境化的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

《標準》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體實例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，了解知識的來龍去脈.特別是數(shù)學(xué)概念的引出，新教材關(guān)注與其它學(xué)科，周圍環(huán)境，日常生活等實例的聯(lián)系，通過設(shè)置豐富的問題情境，對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的視野，加強知識之間的相互聯(lián)系，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識有非常重要的作用.本設(shè)計在橢圓概念的引入和定義的探索中注重情境化，使學(xué)生學(xué)有余力，輕松自如.

2.3多媒體的使用，為本課的教學(xué)增添了亮點

課后評議中，老師們一致認為課堂設(shè)計總體思路清晰，“幾何畫板”的有效使用，直觀形象地呈現(xiàn)了圖形的動態(tài)變化過程，使學(xué)生能很好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，進而探索數(shù)學(xué)結(jié)論，交流，討論，師生對話等多樣的學(xué)習(xí)方式，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，主動性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成了學(xué)生積極思考，樂于探索的好習(xí)慣.

（板書）平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.

1.4應(yīng)用新知，解決問題

請同學(xué)們應(yīng)用本節(jié)課所獲得的知識，解決下面問題.（最好獨立完成，遇到困難時，可以交流討論）

問題1：你能用橢圓的定義畫出一個橢圓嗎？

問題2：如果點M（x，y）在運動過程中，總滿足關(guān)系式x2+（y+3）2+x2+（y-3）2=10，則點M的軌跡是什么曲線？為什么？

圖7

問題3：如圖7，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

2教學(xué)反思

“橢圓定義”是繼“圓定義”后的又一平面曲線的一個概念，《標準》對“橢圓定義”的學(xué)習(xí)要求是：“經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，掌握其定義.”本文基于數(shù)學(xué)本質(zhì)對“橢圓定義”做教學(xué)設(shè)計，以下一些方面值得反思.

2.1以生為本，對教材二次開發(fā)

橢圓的定義，在教材中是這樣引入的：“把細繩的兩端拉開一段距離，移動筆尖的過程中，細繩的長度保持不變，即筆尖到兩個定點的距離之和等于常數(shù).”圍繞這個方法產(chǎn)生許多教學(xué)設(shè)計.或是讓學(xué)生按教材上的敘述方法，動手畫出橢圓，或是用課件演示，按定義畫出橢圓，但定義是怎樣想到的？兩個定點從何而來？似乎是“魔術(shù)師的帽子里突然跳出一只兔子”，不可理喻.為此，本設(shè)計改變了教材原有的編排順序，將橢圓定義后的例2進行改編，然后前置，作為探索主線，從學(xué)生已有圓的認知基礎(chǔ)出發(fā)，設(shè)置適合的問題使學(xué)生親身經(jīng)歷觀察、操作、探究、猜想、驗證等活動，感知橢圓概念的形成原本是自然的，水到渠成的.

2.2情境化的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

《標準》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體實例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，了解知識的來龍去脈.特別是數(shù)學(xué)概念的引出，新教材關(guān)注與其它學(xué)科，周圍環(huán)境，日常生活等實例的聯(lián)系，通過設(shè)置豐富的問題情境，對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的視野，加強知識之間的相互聯(lián)系，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識有非常重要的作用.本設(shè)計在橢圓概念的引入和定義的探索中注重情境化，使學(xué)生學(xué)有余力，輕松自如.

2.3多媒體的使用，為本課的教學(xué)增添了亮點

課后評議中，老師們一致認為課堂設(shè)計總體思路清晰，“幾何畫板”的有效使用，直觀形象地呈現(xiàn)了圖形的動態(tài)變化過程，使學(xué)生能很好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，進而探索數(shù)學(xué)結(jié)論，交流，討論，師生對話等多樣的學(xué)習(xí)方式，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，主動性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成了學(xué)生積極思考，樂于探索的好習(xí)慣.