在高數教學中有效融入數學建模思維方法

李霞

【摘要】本文通過實例講解了如何在高數教學中有效融入數學建模思維方法的培養，并有針對性地提出了在高數課堂上融入數學建模思維方法的建議.

【關鍵詞】高數教學;融入;數學建模思維方法

一、引 言

在數學課堂教學中融入數學建模思想方法，其目的是還原數學知識源于生活且應用于現實的本來面貌，以數學課程為載體，培養學生“學數學、用數學”的意識與創新能力.因此，數學教師有責任對數學教材加以挖掘整理， 進行相關的教學研究，從全新的角度重新組織數學課堂教學體系.數學知識形成過程，實際上也是數學思想方法的形成過程.在教學中， 注重結合數學教學內容，從它們的實際“原型”（源頭活水）和學生熟悉的日常生活中的自然例子， 設置適宜的問題情境， 提供觀察、實驗、猜想、歸納、驗證等方面豐富直觀的背景材料， 讓學生充分地意識到他們所學的概念、定理和公式，不是硬性規定的，并非無本之木，無源之水，也不是科學家頭腦中憑空想出來的，而是有其現實的來源與背景，與實際生活有密切聯系的.學生沿著數學知識形成的過程，就能自然地領悟數學概念的合理性，了解其中的數學原理，這樣既激發了學生學習大學數學的興趣，又培養了學生求真務實理性思維的意識.

二、高數教學中具體滲透數學建模思維方法

下面具體以講解二元常系數非齊次線性微分方程的特解形式為例穿插數學建模思維方法的過程，對于這部分內容是微分方程這一章節的重點，也是難點，有些同學對于如何設特解的形式一籌莫展.教材書上歸納總結了幾種情況下特解的設立，一般根據方程右邊f（x）的形式來設取，歸納表格如下：

f（x）的形式

特解的形式

f（x）=pn（x）

當q≠0時，y=Qn（x）

當q=0而p≠0時，y=Qn+1（x）

當p=q=0時，y=Qn+2（x）

f（x）=pn（x）·eλx

y=xkQn（x）eλx

當λ不是特征根時，k=0

當λ是特征根，且為單根時，k=1

當λ是特征根，且為重根時，k=2

f（x）=acosωx+bsinωx

y=xk（Acosωx+Bsinωx）

當±ωi不是特征根時，k=0

當±ωi是特征根時，k=1

數學建模思維方法的步驟是：提供觀察——歸納——提出假設——實驗驗證，那么在講解這部分內容的過程中提醒學生仔細觀察這個表格，看看這幾種情況間有沒有內在聯系，可否歸納總結.同學們通過認真觀察發現f（x）的第一種形式和第二種形式可以歸納在一起，f（x）=pn（x）形式可以轉化為f（x）=pn（x）·e0x，此時的λ=0，那么表格右邊特解的形式是否也可統一在一起呢？針對問題大膽提出假設，針對f（x）=pn（x）形式，二元常系數非齊次線性微分方程的特解可以設為y=xkQn（x）e0x，即為y=xkQn（x），根據λ是否為特征根確定k的取值：當λ不是特征根時，k=0;當λ是特征單根時，k=1;當λ是特征重根時，k=2，這樣特解的形式也是與第二種情況吻合的，如果假設成立，兩者可以歸納在一起，這樣也可以方便學生理解記憶.作出假設之后，就是進行實驗小心驗證，結果得到證實就可以加以總結并進行引用，具體通過例題進行驗證.

案例1：求微分方程y″+2y=4x2+6的一個特解.

這是教材書本上的一道例題，很明顯該題中的f（x）形式屬于表格中的第一種情況，書本上就是按照上面表格來進行求解的，我們不妨一起來看看.

該題中p=0，q≠0，故設y=ax2+bx+c，特解設的過程是比較簡單的，但是要記住結論有點麻煩.將設立的特解代入原微分方程中，得：

2a+2（ax2+bx+c）=4x2+6，

解得： a=2，b=0，c=1.

于是原方程的特解為：y=2x2+1.

下面來驗證一下是否可以統一為假設的特解的設立的結論，該微分方程中λ=0，

其所對應的齊次線性微分方程為：y″+2y=0，

特征方程為：r2+2=0，

特征根為：r1，2=±2i，

λ=0不是特征根，故設y=ax2+bx+c.

兩種方法設立的特解形式相同，至此可以說明假設的特解形式得以驗證，即兩種情況可以統一在一起，這樣便于學生在理解的基礎上記憶，而不用考慮p，q是否等于0的情況，這種方法的優點主要在于與f（x）的第二種形式完美統一在一起，它們之間有著一定的內在聯系性.重新整理一下，二元常系數非齊次線性微分方程的特解形式的設立可以歸納如下：

f（x）的形式

特解的形式

f（x）=pn（x）·eλx

f（x）=pn（x）·e0x

y=xkQn（x）eλx

當λ不是特征根時，k=0

當λ是特征根，且為單根時，k=1

當λ是特征根，且為重根時，k=2

注：λ=0時同樣成立

f（x）=acosωx+bsinωx

y=xk（Acosωx+Bsinωx）

當±ωi不是特征根時，k=0

當±ωi是特征根時，k=1

這樣在講解過程中就培養了學生的觀察能力、邏輯思維、歸納總結能力，并激發了學生學習數學的興趣和積極性，他們會覺得原來學數學這樣有趣，這是一個發現、探索的過程，而數學的發展就是在數學家通過類似的這樣一個發現、探索的過程不斷發現數學概念、定理的，通過學習學生能感覺出數學的文化底蘊，以及數學家發現數學定理的艱辛，那么自己在不斷探索的過程中就有了動力與激情，無意中就培養了學生不畏艱難的奮斗精神，而這對于鍛煉學生的毅力等品質有很大的幫助.

三、高數課堂融入數學建模思維方法的建議

1.增強融入意識，明確主旨

數學課堂教學的任務不僅僅是完成知識的傳授， 更重要的是培養學生用數學思想方法解決實際問題的能力，這是數學教育改革的發展方向，“學數學”是為了“用數學”.數學建模思想方法融入數學課堂教學，與現行的數學教學秩序并不矛盾， 關鍵是教師要轉變觀念， 認識數學建模思想方法融入數學課堂教學的重要性， 以實際行動為課堂教學帶來新的改革氣息.在平時的教學中， 要把數學教學和滲透數學建模思想方法有機地結合起來.同時，應充分認識到數學應用是需要基礎（數學基礎知識、基本技能和基本思想方法）的，缺乏基礎的數學應用是脆弱的， 數學建模思想方法融入數學課堂教學中，并不是削弱數學基礎課程的教學地位，也不等同于上“數學模型”或“數學實驗”課，應將教學目標和精力投入到數學基礎課程的核心概念和內容， 數學建模思想方法融入過程只充當配角作用， 所用的實際背景或應用案例應自然、樸實、簡明、扼要.

2.化整為零，適時融入

在大學數學課堂教學過程中適時融入數學建模思想和方法，根據章節內容盡量選取與課程相適應的案例，改革“只傳授知識”的單一教學模式為 “傳授知識、培養能力、融入思想方法”并重的教學模式，結合正常的課堂教學內容或教材，在適當環節上插入數學建模和數學應用的案例，通過“化整為零、適時融入、細水長流”，達到“隨風潛入夜，潤物細無聲”的教學效果.

3.化隱為顯，循序漸進

數學建模思想方法常常是以隱蔽的形式蘊含在數學知識體系之中，這不僅是產生數學知識、數學方法的基礎，而且是串聯數學知識、數學方法的主線，在知識體系背后起著“導演”的作用.因此，在教學過程中應適時把蘊含在數學知識體系中的思想方法明白地揭示出來，幫助學生理解數學知識的來龍去脈.在新知識、新概念的引入，難點、重點的突破，重要定理或公式的應用，學科知識的交匯處等，采用循序漸進的方式，力爭和原有教學內容有機銜接，充分體現數學建模思想方法的引領作用.同時，注意到數學建模思想方法融入是一個循序漸進的長期過程， 融入應建立在學生已有的知識經驗基礎之上，在學生的最近發展區之內，必須在基礎課程教學時間內可以完成，又不增加學生的學習負擔.可以根據教學內容側重突出建模思想方法的某一個環節，不必拘泥于體現數學建模的全過程， 即“精心提煉、有意滲透、化隱為顯、循序漸進”.

4.激發情趣，適度拓展

數學建模思想方法融入數學課堂教學目的是提高學生“學數學、用數學”的意識，激發學生的學習興趣.因此，教師應結合所學內容，選擇適當的數學問題，親自動手進行建模示范，在學生生活的視野范圍內，針對學生已有的數學知識水平、專業特點，收集、編制、改造一些貼近學生生活實際的數學建模問題，注意問題的開放性與適度拓展性，盡可能地創設一些合理、新穎、有趣的問題情境來激發學生的好奇心和求知欲，使學生體驗應用數學解決問題的成功感.

總之，作為新時期的數學教育工作者， 我們的教學必須適應學生發展的需要，在數學課堂教學過程中， 既要注重數學知識的傳授，更要重視能力的培養和數學思想方法的滲透，只有三者和諧同步發展，才能使我們的教學充滿活力，為學生數學應用能力的提高做一些有效而實際的工作.

【參考文獻】

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