CDIO教育理念下概率論與數理統計課程教學改革的幾點思考

張翠杰 劉廣瑄

【摘要】數學教育的目的不僅在于為學生提供一門專業知識的傳授，更是培養學生的數學邏輯思維能力的一種訓練，提高學生數學素養.在新的教育模式下，概率論與數理統計課程改革的重要性和必要性是不言而喻的.本文從幾個方面談了談概率論與數理統計課程教學改革的幾點想法.

【關鍵詞】教學改革;CDIO工程教育模式;實踐教學

培養創新型人才，是當今世界教育改革的潮流.而培養創新型人才必須依托于創新教育模式.工程教育是為國家輸送工程技術人才的重要渠道.但日前工程人才短缺已凸顯出來.為了培養更多的工程人才，各個院校都相繼進行工程教育改革.CDIO工程教育模式等各種新型教育模式就是在這樣背景下產生的.與此同時，概率論正突破傳統的應用范圍向各個領域滲透，和其他學科的交互作用日益活躍.英國的邏輯學家和經濟學家杰文斯曾對概率論大加贊美：“概率論是生活真正的領路人，如果沒有對概率的某種估計，那么我們就寸步難行，無所作為.”因此，對概率論與數理統計課程的教育和學生概率統計素質的培養顯得尤為重要.

一、前 言

CDIO工程教育理念最初是由麻省理工學院和瑞典皇家工學院等四所大學合作創立的，其中“CDIO”代表著構思（Conceive）、設計（Design）、實施（Implement）和運作（Operate），讓學生以主動的、實踐的、課程間的聯系為方式來學習工程技術，是倡導“做中學”的一種教學理念.CDIO工程教育模式要求以教師為引導，以學生為主體，加強實踐教學，注重培養學生的創新意識和創新能力.

概率論與數理統計是高等院校中一門重要的公共基礎課之一，但它又不同于高等數學、線性代數等其他數學類的公共基礎課.它是研究隨機現象、揭示隨機現象的統計規律性的一門實用性很強的數學學科.而隨機現象廣泛存在于現實生活的各個領域、各個方面.因此這門學科在很多領域都有著廣泛的應用.同時它又不同于那些直接貼近于工程項目的專業課程，概率論與數理統計這門課程又屬于基礎數學類課程，為學生傳承著數學的思想和以數學為工具解決實際問題的方法.具體地說，概率論與數理統計課程為學生講授處理隨機現象的基本思想和基本方法，培養學生運用概率統計的理論和方法來分析和解決實際問題的能力.

在教育改革的潮流下，概率論與數理統計課程問題凸顯出來.在以往課程教學中只偏重例題和公式的講解，而忽視了基本概念的講解、理論思想的講解和實踐應用環節的訓練，使學生為考試而學習，學后無用，致使學生在實踐中遇到概率統計問題時往往束手無策，無法用概率統計的方法分析問題.有的學生可能考試后的第二天就全忘了，實際上學生并沒有真正的理解概念，吃透概念.要培養創新型人才，適應新型的教育理念，就不能再沿用以往的教學方法和教學模式，概率論與數理統計課程改革的重要性和必要性是不言而喻的.

二、注重數學思想和方法的教學改革

對于一門數學課程的講授的關鍵來說，就是應該把數學課程的思想即貫穿課程始終的精髓講解出來.數學思想是理論的基礎，是數學理論的精髓所在，即其本質的東西.

最能體現出數學思想，無非就是“概念”的講授.“概念”往往是最不好講的，如何把它的本質抽出來，又如何把它的本質通俗易懂地、生動活潑地、更具有吸引力地展現給學生.這應該是每個教師一直努力的目標.為了這個目標，教師需要不停地探索，不停地收集各種資料，參看各種資源.對于一個概念，是先拋出一個問題，啟發式地引出概念的定義，還是直接給出概念，用一個例子去解釋它的本質，可能還要教師具體問題具體分析了.比如說講解“相關系數”這個概念，光是給出公式，學生是不能真正吃透概念的.要講好這個概念，我認為要從為什么要引入這個概念出發.雖然協方差也能反映兩個隨機變量之間的關系，但是要受變量所用的度量單位的影響.比如考慮隨機變量（X，Y），X表示人群的體重，Y表示人群的身高，如果度量單位發生變化，X，Y將會翻倍，根據協方差公式Cov（aX， bY）=abCov（X，Y），相應的協方差就會翻倍.因此要引入相關系數，它是不受度量的單位的影響，是一個無量綱的量.

數學思想也體現在公式的講解上，教師必須講明白公式是干什么的，解決什么問題的，只有讓學生明白這一點，才能真正明白這個公式怎么去用.全概率公式是概率論中的一個基本公式，可能教師反復地強調它是非常重要的，而忽略了它的本質的東西.它是用于計算較復雜事件的概率問題，將復雜事件的概率化為在不同情況或不同原因或不同途徑下發生的簡單事件的概率的求和問題.公式指出： 在復雜情況下直接計算P（B）不易時，可根據具體情況構造一個劃分Ai， 使事件B發生的概率是各事件Ai（i=1，2，…）發生條件下引起事件B發生的概率的總和.如果學生真正明白全概率公式的本質用途的話，那么就能通過綜合分析一事件發生的不同原因、不同情況或不同途徑來找到樣本空間的一個劃分，從而利用全概率公式來求得這個復雜事件發生的概率.

數學思想和數學方法往往要借助啟發式教學、案例式教學等這些教學手段來體現.比如說講解最大似然估計法時，我們可以首先說一個例子：某同學與一位獵人一起去打獵，假設同學打中的概率為0.1，獵人擊中的概率為0.9，若一只野兔從前方躥過， 只聽一聲槍響， 野兔應聲倒下， 讓學生猜測是誰打中的？這樣就把學生的注意力吸引過來了.學生肯定會猜測是獵人打中的.由于只發一槍便打中，而獵人命中的概率大于這名同學命中的概率， 故一般會猜測這一槍是獵人射中的.這實際上就是一個參數估計問題，參數p有兩個可能取值，對于事件A“只發一槍就打中”已經發生了，我們認為事件發生的可能性應該很大.因此我們就找p的值使得事件A發生的概率達到最大.這就是最大似然估計的思想，也就是在已經得到實驗結果的情況下，尋找使這個結果出現的可能性最大的那個θ作為θ的估計θ^.這樣學生對最大似然估計法有所了解，在深入講解時，學生就更容易理解.

三、注重以學生為本的教學改革

在經典的教育模式下，往往是以老師為主體，教師在教學過程中占有主要的地位.隨著教育模式的改革，無論是CDIO工程教育模式還是卓越工程師教育培養模式，為了順應課程教學的模式，提高學生的主動性和積極性，都要求以教師為引導，以學生為主體.

在課堂教學中，教師要時刻牢記以學生為本，要切實地改變教學方法，重新設計教學環節，既要做到有知識性和趣味性，又要有思想性和應用性.教師應該選擇具有代表性的有關課程的應用案例，最好和學生的專業相關，指導學生去思考、討論、解答，使學生充分地認識到概率論與數理統計這門課程的實用性，培養學生的建模能力.

積極改變習題課的上課模式，不再以教師講授為主，而是把主動權交給學生.習題課分成兩個部分，一部分是對這一章的重點題型、重點方法的講解與訓練，主要以學生練習為主、教師精講為輔的模式開展.另一部分是討論題部分，主要是以概率為工具來解決一些貼近實際生活的例子，討論題多提前布置下去，把學生分成幾個小組，上課時主要以學生講解討論為主，老師只是作適當的引導和點評.總之，習題課就是以“教師精講，學生多練”為模式，鼓勵學生多說、多練、多動腦，切實地讓學生參與到課堂上來，更好地融入課堂教學中來.從而激發學生的學習熱情，增強學生的團隊精神和集體榮譽感，培養學生的競爭意識與綜合素質.

以學生為主的教學改革，也要注重考核制度的改革.以往考核就是最后期末的一張卷子，最后及格就及格了，不及格就不及格，平時的表現幾乎不起任何作用，增加學生對最后考試的重視，而忽視平時學習過程中的表現，更有甚者，得過且過，總覺得有時間，總想等到期末的時候再努力，可殊不知到期末前，發現內容太多，拉下的功課已經不容易補上了.基于這種情況，我們多次進行階段性考試，隨時關注學生知識點掌握的情況，根據階段性考試反映出的問題，積極調整課堂的教學進度.同時也增加考核制度中平時所占的比重，讓考核制度更能反映學生的學習情況.

四、注重與實際問題相連的教學改革

新型教育模式，重點放在學生能力的培養.在選講例題和討論題中，一定要注意給學生留一些實際的例子或者貼近生活的例子，讓他們了解如何用數學的知識，用概率統計的知識來解釋實際的問題.學生最初碰到這些題目時，往往一籌莫展，毫無頭緒，無從下手.但通過這方面的練習將有助于提升學生的數學素養和運用數學解決問題的能力.

對于例題和討論題的選擇上應該由易到難.比如說我們在講完伯努利概型時，我們就可以給同學留下如下貼近生活的討論題：

例題：在平常的生活中，人們常常用“水滴石穿”“只要功夫深，鐵杵磨成針”來形容有志者事竟成，但是，也有人認為這些是不可能的.如果從概率的角度來看，就會發現這是很有道理的.這是為什么？

這是一個很小的用概率來解釋問題的例子.這個例子實際上就是如下的問題：

設在一次實驗中，事件A發生的概率為ε>0，獨立重復該試驗n次，求事件A至少發生一次的概率.

同時我們也可以給出如下貼近生活的例子：

例題：春節燃放煙花爆竹是延續了兩千余年的民族傳統，早已成為我國悠久歷史文化的一部分，但是燃放煙花爆竹也常常引發意外，造成慘劇.假設每次燃放煙花爆竹引發火警的概率是十萬分之一.如果春節期間北京有100萬人次燃放煙花爆竹，計算沒有引發火警的概率.

以上這兩個例子都很簡單，用到的知識并不多，但是卻能反映出用概率來解決問題.這兩個例子無非就是說明了：小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發生的，但在長期的大量的重復獨立試驗中，它又幾乎是必然會發生.但是通過這些實際的例子，可以讓學生能更好地理解“小概率原則”.當然隨著課程的進展，到課程后面就可以找一下綜合一點的題目.尤其是講解統計部分，這種實際問題更是很多的.

五、在新型教育模式下年輕教師的發展

首先，年輕教師要注重數學史的學習.數學史記錄了數學的起源，只有了解了數學發展史才能理清數學發展的起源，才能更好地把握數學課程的精髓所在.另外數學史中含有關于數學家的一些小故事，如果能合理地應用到課堂上，可能會激發學生的學習積極性和學習主動性.對于年輕教師，應該適當學習一些數學史的內容，尤其是概率論的發展史，這樣教師對課程內容的理解可能會更加深刻一些，對概率課程的講解可能更游刃有余一些.

其次，年輕教師要注重所教課程與專業課程的銜接.目前教師只對自己講授的課程比較熟，而對該課程與其他相關課程的聯系很陌生.這樣各門課程的教師都各自教各自的，對于聽課的學生接受到的也是支離破碎的內容，學生更難以將各個課程聯系到一起，更難以將所學的內容真正為我所用.

最后，年輕教師要注重人格魅力的修煉.教師不僅要傳授知識，更重要的是傳授嚴謹治學的精神.教師的精神面貌對學生來講很重要.教師應傳承一種陽光、活力、青春、永不言敗的精神，比起知識的傳授，這種精神上的引導顯得更為重要.另外，教師除了有良好的精神面貌之外，還要有深厚的學術底蘊，扎實的學術知識和寬廣的學術范疇，是身為師者“傳道，授業，解惑”的根本.

【參考文獻】

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[4]王偉，等.基于CDIO理念的概率論與數理統計教學改革研究[J].中國科教創新導刊，2012（28）.