Fechner心理函數的修正及拓展

王攀鋒

摘 要：目的 對Fechner函數進行數理修正和拓展。方法 數理推導與理論論證結合。結果 在對Fechner函數假設和各變量進行重新修正和定義后，推導出了在數理上更為科學的新Fechner函數方程以及對Fechner函數的新解釋，特別是數理解釋。結論 通過對新Fechner函數及相關函數的內部驗證，證明Fechner函數在數理上的缺陷是存在的。

關鍵詞：Fechner；函數；拓展

在心理測量領域，一個基本的現實難題是，如何平衡刺激量的連續性與心理反應量的連續性，由此引申出來的臨床測驗問題是，如何在這種"連續性"中精確確定心理反應量質性區別的臨界值。在實測中，大致存在以下幾種情況：1）以不變尺度去度量變化的心理量。由于同一測驗對不同被測群體測試效度可能不一致，"尺度不變"的假定并不一定成立，例如在測謊（lie-detect）實踐中常用的GKT（guilty knowledge test）測試中，就經常存在作案者和無辜者測量效度的差異，在這種情況下，確定的心理量質性區別臨界值在常模參照測驗中對被測群體和常模群體信息的完備程度要求就非常高。2）以連續尺度度量非連續變化的心理量。這種臨界值測量的難度和測量誤差的大小往往取決于心理量非連續性的程度、趨勢以及常模樣本的大小。這從文章之后討論到的Fechner函數能很直觀地看到這種問題的存在。3）以非連續尺度度量非連續變化的心理量時，臨界值的測量會受制于這兩種非連續性的對應程度。這相當于篩子過濾東西，過密或過粗都無法精確篩選到目標。

如果按照這樣的組合方式似乎應該還有其它的形式，于是有假設一：心理反應量的連續性是相對的，非連續性是絕對的。

首先，機體受生理結構單元的限制，無法實現心理反應量在大精度上表達的連續性，也無法實現對連續性刺激變量在大精度上加工的連續性，而實際上大精度并不具有進化優勢。

其次，這一假設可以從weber定律和fechner定律上得到佐證。Weber定律認為，在中等強度刺激下，差別閾限△I與原刺激I之比為常數C。（Reber， A.S.）在weber定律基礎上導出的fechner函數為S=kln（I/I0）。由于I0為絕對閾限，那么結合weber定律和fechner定律可知，在任何情況下，連續刺激量都不會引起連續性的感覺變化，這反過來意味著fechenr定律的積分推導方式與weber定律是矛盾的。

因為函數可積需滿足以下前提之一：（1）設f（x）在區間[a，b]上連續，則f（x）在區間[a，b]上可積；（2）設f（x）在區間[a，b]上有界，且只有有限個間斷點，則f（x）在區間[a，b]上可積。

由于Fechner定律假定感覺最小變化ΔS存在，并在主觀上相等，即ΔS并不是以函數曲線上的點來定義的，那么相對連續變化的刺激強度I就不會存在連續變化的感覺強度S。如果嚴格按照weber定律和fechner關于最小變化ΔS的假定來推導，經過計算處理（推導過程略）可以得到一個離散型fechner函數 ：Sn=aln（Un/IO），n∈0、1、2、3……N，a=ΔS/[ln（k+Δs）-lnk]，k的意義同原fechner函數。而（a-k）經洛必達法則處理后為（k+ΔS）/k，由于Fechenr假定ΔS存在（ΔS>0），因此恒有a>k，故原Fechenr函數值的理論值偏小。之前有討論到當以連續尺度度量非連續變化的心理量時，測量精度會受到心理量非連續性程度及變化趨勢的影響，由（a-k）=（k+ΔS）/k知，ΔS越小，N值越大，函數圖形可以近似平滑曲線處理的范圍越大，函數值理論偏差越小。而實際的量表制定中，以連續尺度去度量非連續變化的心理量時，非連續心理量其測量值分布的范圍和變化趨勢，很可能會使量表制定者很自然地將其當成連續變量來處理，從而影響了量表的測量精度。

再者，從weber定律、Fechner函數只對中等強度的刺激具有普遍的適用性，可以引出如下解釋：假定weber定律中關于差別閾限與原刺激成比率的說法恒正確，那么由于機體感受刺激I的范圍是有界的，如果保持比率C不變，在I趨向于邊界值時，ΔI=IN-IN-1 將越界，除非C不再是常數。

問題同樣存在于fechner函數，由于fechenr函數是通過對ΔS/ΔS=k/I求積分得到，如果假定ΔS存在，那么Fechner函數真正意義上的集合只包括函數曲線拉格朗日中值點的集合，這樣在中等強度刺激之外的刺激，取拉格朗日中值點時，就可能導致I越界，情況類似于weber定律。

當然，Fechner關于最小可覺差和對數關系的假定都遭了人們的質疑（Heidelberger， M.Masin， &S.C.； Zudini， V.； Antonelli， M.）。如今絕大多數的研究者從實驗驗證的角度出發，似乎更愿意相信stevens冪定律（power？law）才是更加真實的心理物理關系，或者Fechner對數函數僅僅只是心理物理函數家族中的一員（Murray， D.J.）。stevens冪定律的認可度主要來源于其實踐性，可以說Fechner定律與Stevens定律的得出過程是完全相反的。但兩者都沒有進一步闡述是何種原因促成了Fechner函數適用范圍的有限性和stevens定律適用范圍的一般性。針對這種差別一般不外乎兩種情況：1、機體對不同強度范圍的刺激存在不同的反映機制；2、反映機制相同，但機制本身對不同強度范圍的刺激處理能力存在差異。

關于情況一，可以從Fechner函數與Stevens定律之間的聯系得到佐證：首先，并不能簡單假定機體在任意刺激強度下的心理加工過程都一樣；其次，信號的強度使機體產生感覺，信號負載的信息同樣能使機體產生感覺；再者，機體承受極限和心理承受極限往往并不是同尺度的，也很難保證其變化及趨勢的同步，當刺激趨向機體承受極限或絕對閾限及以下時，人們報告的感覺很難保障是對刺激強度本身的直接反映。

關于這一點直觀地反映在stevens定律（stevens，s，s或stevens，s，s，and galanter，1957，R=csn）→（Ekman，G，1959，Corso，J.F1963，R=C（s-b）n）→（Borg，G，1961、1962或Marks，L，E.，and Stevens，J.C.1968，R=a+c（s-b）n的整個基于實踐檢驗的修正過程中，從常量b擴展到的常量a和b，這恰恰暗示了感覺系統可能并非只有一個。在這里a值相當于另一個感覺系統的閾限s0。也有研究認為，實際上人們經常將知覺和感覺的概念交叉使用（e.g.，Coren，Ward and Enns，1994；Passer and Smith，p.110，definition in Pashler and Yantis）（Eds），2002.）。由于每個刺激值都具有噪音和信號的雙重屬性，不同刺激范圍之間的交界處附近意味著主體對刺激的感覺趨勢將發生轉變。但所有這些公式都無法滿足變量單位的等式關系和冪函數對無量綱量的要求。而經過不同刺激值之間的換算，可以證明stevens定律只不過是Fechner函數的特例。即在中等強度刺激之外的刺激形成的感覺本身也是一種強有力的刺激。

關于情況二：可以從最適發展期和特征覺察器的概念得到啟示。在心理測量中，一般都強調身心狀體、環境、測驗難度、項目通俗度等對測試的影響，以保障被試在注意力集中的情況下正確地完成對測驗項目的加工，實際上這都是在說明被試對測驗項目的加工能力對測驗的影響巨大。但在weber定律和Fechner定律及絕大部分心理測量中，都自然地假定，被試對不同強度刺激的處理能力都是一樣的，限制了對測驗數據的解釋。在特定地的生活環境下，對個體而言，不同強度和類型的刺激出現的概率是不一樣的，人體的感覺器官及其對應的中樞處理機制的刺激處理能力也會出現差異，于是有盲人的聽覺和觸覺會比一般人強，音樂家可以聽音繪譜。因此，由于現實刺激中，中等強度的刺激出現的概率往往最大，這樣在weber定律和fechner定律中，在中等強度之外的刺激區域，比率常數C和k自然可能不一樣。

參考文獻：

[1]Hatze.目的論的解釋韋伯定律和數學生物學的運動單位大小法律公告.1979（41）：407-425.

[2]海德堡.從內部自然：古斯塔夫Theodor Fechner和他的心理物理的世界觀.Transl.c . Klohr.美國匹茲堡：匹茲堡大學出版社.