淺論分類討論思想在數學學習中的運用

高峰官

摘 要： 分類討論思想是重要的數學思想方法之一.在數學教學中重視分類討論思想方法的運用，有助于促進學生思維品質的優化和解題能力的提高.本文主要探討了分類討論思想的內涵、原則及其操作步驟，并著重例談了中學數學學習中分類討論思想應用較多的幾種類型：概念型、性質型、參數型、圖形型、具體問題型等.

關鍵詞： 數學思想 分類討論 數學學習

課程標準將數學思想方法運用作為課程目標之一.正如數學家喬治·波利亞所言：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路.”在初中數學教學中逐步滲透數學思想方法，培養學生思維能力，優化學生思維品質，既符合新的課程標準，又是數學素質教育的一個切入點.中學數學涉及的數學思想方法主要有化歸、數形結合、分類討論、類比與聯想、數學模型等.

數學分類思想，就是根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數學思想.它既是一種重要的數學思想，又是一種重要的數學邏輯方法.分類討論思想，貫穿于整個中學數學的全部內容中，需要運用分類討論的思想解決的數學問題.就其引起分類的原因，可歸結為這樣幾種：①涉及的數學概念是分類定義的；②運用的數學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的；③數學問題中含有參變量，這些參變量的取值會導致不同結果的；④求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能.應用分類討論，往往能使復雜的問題簡單化.分類的過程，可培養學生思考問題的周密性和條理性，從而增強學生分析問題、探索規律的能力.

分類思想不像一般的數學知識那樣，通過幾節課的教學就可掌握.它根據學生不同的年齡特征，學生各學習階段的認知特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷豐富和掌握這一數學思想方法的內涵.

一、分類討論的基本原則

1.標準必須統一，否則會導致邏輯混亂；各種分類的集合必須彼此互斥，即各個分類沒有公共部分，否則會造成重復討論。

2.分類必須是全面而完整的，否則會有所遺漏。

3.對于需要多級討論的，必須逐級進行，不能出現越級討論的現象，否則會導致層次不清，乃至錯誤.此外，要在確保正確的基礎之上，盡量減少分類，使問題解決過程簡潔化.

二、分類討論的基本步驟

第一步：明確討論對象，并確定討論對象的范圍.

第二步：確定分類的標準，科學、合理進行分類.

第三步：對不同的分類逐一進行討論.

第四步：對各類討論結果進行歸納，并加以整合，最終得出整個問題的結論.

三、探究分類討論的幾種題型，增強學生思維的周密性和條理性

1.概念型分類討論

有些概念本身就是分不同情形加以定義的，教學時要引導學生在概念的學習過程及應用過程中領會概念具體的分類標準，進一步深化對分類討論思想的理解.例如在講解絕對值的概念時，需要分正實數、負實數和零三種情況分別給予定義.此外，一些數學問題的解決要根據絕對值的定義分情況加以討論.如已知|a|=5，|b|=3，求a■的值；再如整數分為奇數與偶數；三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形等.

2.性質型分類討論

數學中有一些定理、公式、法則和性質等內容是分情況給予表述的，或者有其特定的適用范圍，或者有一定的限制條件，因而在教學過程中，要讓學生注意領會公式、性質的限制條件，能夠在具體應用時根據這些限制條件確定分類標準進行討論.

如初中數學課程中，在探究在證明圓周角定理時，由于圓心的位置有在角的邊上、角的內部，角的外部三種不同的情況，因此應分三種不同情況分別討論證明.先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作圓周角頂點的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況分別解決圓心在圓周角的內部、外部這兩種情況.這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法.再如高中數學中，等比數列的求和公式就分為q=1和q≠1兩種情況；對數函數的單調性就分為a>1，a<1兩種情況；求一元二次不等式的解分為a>0，a<0，以及△>0，△=0，△<0共六種情況等.

3.參數型分類討論

參數廣泛地出現在數學的各種問題之中，參數的存在會對問題的解決產生種種影響.一個問題中的參數通常可以取幾個不同的數值，而在不同的取值時，所采用的解決策略和處理方式都不盡相同，因而會產生不同的結果.這就要求我們必須對參數取不同值時的各種情況分別加以討論.

例如一次函數y=kx+b的自變量的取值范圍是-2≤x≤6，相應的函數值的取值范圍是-5≤y≤-3，求這個一次函數關系式.需引導學生對k分兩種情況加以討論.再如函數y=ax■-ax+3x+1，與x軸只有一個交點，求a的取值.解決此問題時，應注意到這個函數可以是一次函數，也可以是二次函數，引導學生對a討論，培養學生思維的縝密性.

4.幾何圖形分類討論

數學中一些問題由于所涉及的圖形或圖像等元素具有不確定性，比如圖形本身的大小、形狀及圖形間的位置關系等有多種可能，需要根據具體的不同情況分別地加以探討，才能使問題得到全面而完整的解決.例如講解圓與圓的位置關系時，引導學生經過探究最終發現圓與圓的五種位置關系：外離、外切、相交、內切和內含.再如講解空間直線位置關系時，使學生經過探索后發現空間直線有相交、平行、異面三種位置關系等.

例如線段OA的一端點OD在直線a上（線段OA與直線a不垂直），以OA為一邊畫等腰三角形，并且另一頂點也在直線a上，請畫出所有這樣的三角形.引導學生協動手、探究、交流，得出這樣的三角形有四種情形.

再如如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的長為方程x2-14x+a=0的兩根，且AC-BC=2，D為AB的中點.（1）求a的值.（2）動點P從點A出發，以每秒2個單位的速度，沿A→D→C的路線向點C運動；動點Q從點B出發，以每秒3個單位的速度，沿B→C的路線向點C運動，且點Q每運動1秒，就停止2秒，然后再運動1秒……若點P、Q同時出發，當其中有一點到達終點時整個運動隨之結束.設運動時間為t秒.①在整個運動過程中，設△PCQ的面積為S，試求S與t之間的函數關系式；并指出自變量t的取值范圍；②是否存在這樣的t，使得△PCQ為直角三角形？若存在，請求出符合條件的t的值；若不存在，請說明理由.

5.具體問題型分類討論

數學與生活緊密聯系，在解決現實生活中的實際應用問題時，可能會遇到多種情形，需要我們根據具體情況作出具體分析，對各種情形分別進行討論.

例如某世博會紀念品的原售價為80元/個，今有甲、乙兩家店銷售這種紀念品，甲店用如下方法促銷：如果只購買一個紀念品，其價格為78元/個；如果一次購買兩個紀念品，其價格為76元/個；……一次購買的紀念品數每增加一個，那么紀念品的價格減少2元/個，但紀念品的售價不得低于44元/個；乙店一律按原價的75%銷售.現某團隊要購買這種紀念品x個，如果全部在甲店購買，則所需金額為y■元；如果全部在乙店購買，則所需金額為y■元.（1）求y■、y■與x之間函數關系式；（2）該團隊去哪家店購買紀念品花費較少？

可見，分類討論是一種重要的數學思想，也是一種邏輯方法，同時是一種重要的解題策略，體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.它能揭示數學對象之間的內在規律，有助于學生總結歸納數學知識，使所學知識條理化，從而有助于完善學生的認知結構.在數學學習中，有意識地運用分類討論思想解決一些數學問題，有助于訓練學生思維的條理性和概括性，這對優化學生的思維品質、提高學生的數學素養大有裨益.