初中數(shù)學(xué)共點(diǎn)與中點(diǎn)問(wèn)題的探究

洛圓圓

摘 要：中考中共點(diǎn)問(wèn)題與中點(diǎn)問(wèn)題是一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，本文對(duì)此考點(diǎn)進(jìn)行探究。

關(guān)鍵詞：共點(diǎn)問(wèn)題，中點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)學(xué)思想與方法，旋轉(zhuǎn)、轉(zhuǎn)化、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）19-008-01

一、研究目的

本專(zhuān)題的探究是基于學(xué)生對(duì)四邊形的理解與掌握的基礎(chǔ)上的升華，在中考中的共點(diǎn)與中點(diǎn)問(wèn)題也是重點(diǎn)與難點(diǎn)，因此，本專(zhuān)題的探究?jī)?nèi)容在初中階段的學(xué)習(xí)中具有不容忽視的重要的地位。

本專(zhuān)題的內(nèi)容前面承接新人教版教材的三角形與中點(diǎn)全等的內(nèi)容，后面是變式相似的內(nèi)容，所以學(xué)好這個(gè)內(nèi)容為學(xué)好以后的圖形變式打下牢固的基礎(chǔ)，而且它在整個(gè)教材中也起到了承上啟下的作用。本內(nèi)容包含的一些作輔助線知識(shí)，是今后中考中的得分點(diǎn)。

本專(zhuān)題的內(nèi)容是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形及四邊形之后的升華部分，利用了等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形的特點(diǎn)，中線倍長(zhǎng)的思想，三角形中位線，平行線的性質(zhì)對(duì)本次研究的圖形進(jìn)行認(rèn)識(shí)并解決本專(zhuān)題的問(wèn)題。而本專(zhuān)題的后續(xù)是講公共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角三角形變?yōu)橐话愕牡妊切危斀且嗟取Ｍ瑫r(shí)也可變式為復(fù)雜的圖形：將等腰直角三角形轉(zhuǎn)化為正方形。那么在初三中考復(fù)習(xí)中，可以將變式3中的圖形證全等變式為證相似。同樣也可將正方形轉(zhuǎn)化為一般的矩形并用相似進(jìn)行解決。本節(jié)課不僅探究了兩線段的大小關(guān)系還要探究它們的位置關(guān)系，而對(duì)于頂角不是直角的圖形則要應(yīng)用三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。其變式多樣，適合于發(fā)展學(xué)生的思維，為大連地區(qū)中考的25題（由全等到相似）類(lèi)型題培養(yǎng)解決圖形類(lèi)問(wèn)題的思想方法。

二、研究過(guò)程

1、由基本題出發(fā)，問(wèn)題1已知：如圖1，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，A、B、D在同一條直線上，M、N、P分別是AD、AC、DE邊上的中點(diǎn)，試說(shuō)明MP和MN的關(guān)系。學(xué)生在探究問(wèn)題的時(shí)候有困難，于是教師給出提示問(wèn)題：1、圖中如何構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形；2、本題的基本型可否是有共點(diǎn)的兩個(gè)等邊三角形（如圖2）3、變式成有共點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角三角形時(shí)（如圖3），以上研究等邊三角形的結(jié)論還是否成立。

學(xué)生在研究圖2時(shí)，就有思路了，因?yàn)樗菚?shū)上課后習(xí)題，并且在練習(xí)冊(cè)中也經(jīng)常出現(xiàn)，對(duì)于圖2的研究過(guò)程及其變式參看圖3、4、5、6

進(jìn)而轉(zhuǎn)化為有共點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角三角形再進(jìn)行探究，如圖7、8、9、10。

有了這么多的基本圖形的解決做鋪墊，學(xué)生進(jìn)而對(duì)于問(wèn)題1的解決有了思路與解決方法，能夠很容易想到分別連接AE與CD構(gòu)造全等三角形，并且探究AE與CD的關(guān)系（位置與數(shù)量），從而利用三角形的中位線，得到了所要求的MN與MP的關(guān)系（圖11），從中總結(jié)了方法：找基本型，并體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，乃至由特殊到一般的數(shù)學(xué)理念。進(jìn)而對(duì)于問(wèn)題1的變式1：將等腰直角三角形DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至如圖12所示的位置，其他條件不變，上述結(jié)論仍然成立。旋轉(zhuǎn)到圖13結(jié)論不變。

對(duì)于問(wèn)題1也可進(jìn)行變式2，如圖14若將兩個(gè)等腰直角三角形△ABC和△DBE的銳角頂點(diǎn)B重合，M、N、P分別是AD、CB、BE邊上的中點(diǎn)，試說(shuō)明MP和MN的關(guān)系。學(xué)生很容易就聯(lián)系到問(wèn)題1的解決辦法做出輔助線（圖15）并且這道題構(gòu)造輔助線的方法還運(yùn)用了倍長(zhǎng)中線的思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。再與圖12進(jìn)行類(lèi)比，讓學(xué)生形成思想方法。

如果還想拓展學(xué)生的思維能力，可以再來(lái)一個(gè)變式3：如圖16若將兩個(gè)等腰直角三角形△ABC和△DBE的銳角頂點(diǎn)B重合，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，連接AF、DF，試說(shuō)明AF和DF的關(guān)系。本變式再次鞏固了本次探究問(wèn)題的解決思路與方法，真正掌握的同學(xué)一定會(huì)很快做出。

三、研究總結(jié)

本探究?jī)H僅是研究了有共點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角三角形的變式過(guò)程，并且共點(diǎn)處是兩個(gè)頂角的頂點(diǎn)，并且探究了其中兩個(gè)中點(diǎn)連線的兩條線段的關(guān)系。而對(duì)于共點(diǎn)處是兩個(gè)底角的頂點(diǎn)的研究又會(huì)如何，我們還會(huì)再次探究。