積累活動經驗 發展“幾何直觀”

【摘 要】以蘇科版初中數學“圖形的平移”教學實踐為例，基于課程標準的教材理解與分析、教學設計思路與說明、教學過程實錄與點評，初步感悟活動經驗的積累是發展學生幾何直觀的有效路徑，發展學生的幾何直觀需下放“做權”和“學權”，方能體現學生的主體性。

【關鍵詞】七年級數學；圖形的平移；教學實踐；幾何直觀

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）14-0040-04

【作者簡介】孫朝仁，江蘇省連云港市教育科學研究所（江蘇連云港，222000）所長，江蘇省特級教師，蘇科版初中數學教材編委。

一、教材理解

圖形的變化是“圖形與幾何”部分的重要內容，它包括圖形的平移、旋轉和軸對稱，三者之間相互關聯。其中“圖形的平移”是蘇科版《數學》七年級下冊7.3節的內容。關于“圖形的平移”，在生活中的應用俯拾皆是，借助學生的活動經驗，能有效發展學生的幾何直觀能力。

教師針對教學問題所在，在《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“《標準》”）第一學段中的要求是：“感受具體情境中的平移現象；能辨認簡單圖形平移后的圖形。”小學三年級學生就能判斷電梯的上下運動、火車車廂的直線運動與汽車方向盤的運動、鐘擺的運動不同，前者是平移，后者是旋轉。在小學低年級設置圖形的平移，有兩個目的：一是孕育“空間觀念”的萌芽；二是認識圖形的運動有多種方式（平移、旋轉、軸對稱）。《標準》在第二學段的要求是：在方格紙上，經歷觀察和操作能識別圖形的平移，并能按水平或垂直方向將簡單的圖形平移；能從平移的角度欣賞生活中的圖案，并運用它在方格紙上設計簡單的圖案。小學四年級學生就能還原被打亂的幾塊積木或幾幅圖畫的平面畫面（方格紙上），并用平移或旋轉記錄還原的步驟。在小學高年級設置圖形的平移，有兩個目的：一是發展初步的“幾何直觀”；二是讓學生感悟圖形的運動是可以記錄的。而《標準》在第三學段的要求是：認識并欣賞平移在自然界和現實生活中的應用；能通過具體事例認識平移，并探索出它的基本性質；能運用圖形的平移進行圖案設計。教材中之所以設計“圖形的平移”這一內容，其關鍵在于展示“圖形變換”的過程，為后續旋轉變換、軸對稱變換奠定基礎。

蘇科版初中數學教材的編者則遵循承上啟下的原則，通過用“直尺和三角板畫平行線”的直觀形象，讓學生根據“將三角板沿直尺平移一定的距離所顯示的對稱點連線關系”的刻畫，引導學生回憶小學學過的相關知識。同時，課本安排了“做一做”“議一議”等畫圖操作與思考活動，以及通過能展現應用平移性質的例題呈現，幫助學生認識“一個圖形和它經過平移所得的圖形中，兩組對應點的連線平行（或在同一直線上）且相等”的性質，說明圖形平移是圖形運動變化的一種基本形式，其外在表征就是對稱點的平移，終歸于學生逐漸理解圖形平移的本質，這也是本節教學的核心目標，即引導學生初步認識圖形變換的思想方法。同時，本節在“平移概念”的基礎上，給出了圖形平移的基本性質。

教科書對“圖形的平移”的教學目標要求為：（1）通過生活實例認識平移，探索并歸納平移的基本性質，發展幾何直觀；（2）能運用平移的基本性質進行簡單的平移作圖和圖案設計，增強審美意識。安排的主要內容是：在具體操作中探索并歸納平移的基本性質。因此，將本節內容設計為1個課時：通過方格紙平移線段和四邊形，在操作、觀察、度量的基礎上尋找對應點連線之間的關系，猜想并歸納平移的基本性質。根據教學目標，結合本節的課時內容，筆者認為，在具體平移操作中，探索對應點連線之間的關系是本節課的重點。而用規范的數學語言歸納提煉平移的基本性質，滲透圖形變換思想則是本節課的難點。突出重點、突破難點的關鍵是讓學生畫圖操作、觀察猜想、度量分析并交流表達對應點連線之間的關系，借助“方格紙”這一載體，融入圖形變換思想。

教學中需要注意的是，平移圖形不是目的，因此不能上成美術課；真正的目的是借助平移圖形的過程，探索、歸納平移的基本性質。因此，教師要緊緊圍繞探索圖形平移的性質展開活動，把握三個層次：一是確定平移方向和平移距離；二是尋找對應點連線之間的關系；三是說明對應點連線關系成立的理由。

二、設計思路

本節的教學設計思路體現兩個層次：一是在具體情境中，通過對生活現象的觀察、操作、分析提煉出平移的意義，明確平移過程中變與不變的因素；二是在平移多種圖形的操作過程中，感受平移性質的存在性和合理性，凸顯“平移變換”的現實價值。

1.情境創設，揭示圖形平移的內涵。

設計方案1：

（1）你能舉出生活中體現平移現象的例子嗎？

（2）游樂場內的“小火車”和“摩天輪”的運動一樣嗎？為什么？

經歷上述活動，你能嘗試描述“平移”現象嗎？

設計方案2：

（1）請畫出三角板沿直尺平移后的圖形。（兩人合作，交換畫圖）

（2）觀察思考所畫的圖形，你發現了什么？請嘗試給出平移的定義。

【設計說明】方案1讓學生舉出生活中平移現象的實例，目的是引發學生對平移印象的記憶，由此揭示學習的課題；判斷“小火車”和“摩天輪”運動的類型；旨在讓學生對各種運動現象進行分類、比對，使學生感知平移現象的特征，強化對圖形平移的感性認識。同時，設計“三角尺沿直尺移動”的操作活動，比較直觀，能讓學生感悟平移的意義以及平移過程生成的變與不變的因素（平移改變圖形的位置，但其形狀和大小不變），進而激發學生探求的迫切感。在課堂教學中，要讓學生自由操作、自主探究，自覺描述平移的概念。方案1感性思維表征偏多，適合思維基礎較薄弱的班級使用；而方案2則理性思維較重，可供思維相對活躍的班級選用。

2.觀察操作，探索平移的基本性質。

設計方案1：

在圖1中進行如下操作：

（1）請畫出點A、B、C分別向右平移4格后的對應點A′、B′、C′。

（2）連接點A′、B′，你發現了什么？你能將線段A′B′向上平移2格嗎？

（3）連接點B′、C′和點A′、C′，比較△ABC和△A′B′C′，你發現了什么？畫出△A′B′C′向上平移2格后的三角形。

（4）連接AA′、BB′、CC′，你有什么發現？寫下來并說明理由。

設計方案2：

（1）在方格紙上任意畫一個△ABC并將其向右平移4格，畫出平移后所得的△A′B′C′。

（2）再將△A′B′C′向上平移2格，畫出平移后所得的△A′′B′′C′′，并說說你的畫法。

（3）連接AA′、BB′、CC′，你有什么發現？寫出你的結論并說明理由。

（4）任意說出平移的方向和距離，讓同伴在方格紙上畫圖并檢驗其合理性。

【設計說明】方案1給出明確的操作指向（給定基本圖形且給出平移的方向和距離），由點的平移到線段的平移，再到三角形的平移。由于問題起點低，在具體范式的引領下，一般學生的思維都能夠得著，因此相對簡單些。方案2問題屬于半開放操作，由學生自己確定基本圖形，在操作指向的引領下，要求學生給出待生成的符合條件的兩個三角形。省去了點與線段平移鋪墊的環節，學生的操作思維跨度較大，增加了操作和思考的難度。在具體操作活動中，讓學生在畫圖中體會平移的方法，在探求平移方法的過程中歸結提煉平移的性質；借助思路回流和適當的直觀驗證，以此讓學生加深對性質的直觀感知和理性認識，進而生成“可視可觸”的平移本質。兩種方案思維起點不同，可根據實際學情選擇使用。

3.操作思考，應用平移的基本性質

設計方案1：

平移圖2中的△ABC，使頂點A移動到點A′的位置，畫出平移后所得到的△A′B′C′。

設計方案2：

任意畫一個四邊形ABCD，并在其外部找一點A′，使頂點A移動到點A′的位置，畫出平移后得到的四邊形。

【設計說明】方案1的問題來自于課本例題，既是對前面所學的“平行的條件和性質”的回應，又是對平移基本性質應用的考量，還能為后續的“認識三角形”埋下伏筆。因此，教學中要用好它，用好本題的關鍵是讓學生“先說再做，做中追說”，從而體現例題教學的價值。本題教學的重點是運用圖形平移的基本性質作出符合題設條件的圖形；難點是如何運用圖形平移的基本性質確定另外兩個對應點；突破口是對“使頂點A移到點A′的位置”意義的理解（提供了平移的方向和距離）。方案2是由課本中的“議一議”改編而來，設計的視野開放，給學生提供廣闊的思考時空，滿足了不同層次學生的思維需要，有效解決了思維“滯脹”和思維“不足”的問題，其教育價值毋庸置疑。用好的關鍵是下放“學權”，相信學生能行。另外要觀照思路雙向回流，借用實物驗證和操作推演，方能讓學生不僅知其然，而且能知其所以然。

三、教學實錄

（一）情境創設，喚醒學生對平移的粗淺記憶

師：你能舉出生活中體現平移現象的例子嗎？說說看。

生1：起跑線上，50米短跑的同學。

生2：畫平行線時，被移動的三角尺。

生3：超市里，手扶電梯上行的人……

師：大家能用數學的眼光審視生活，老師很開心！游樂場內的“小火車”和“摩天輪”的運動一樣嗎？為什么？

生4（迫不及待地）：在直道上乘坐“小火車”屬于平移運動；乘坐“摩天輪”屬于旋轉運動。

師：你能猜出我們今天將要學習的課題嗎？

生（齊）：圖形的平移。（師一邊板書課題，一邊用體態語言認同學生的答案）。

師：你認為什么是圖形的平移？

生5：將圖形沿著某個方向移動一定的長度；（自覺補充）這樣的圖形運動，叫做圖形的平移。

師：這里說“長度”確切嗎？

生5：好像有點問題。

生（齊）：（借助課本）在平面內，將圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動，叫做圖形的平移。

師：在上述物體平移的過程中，你還發現了什么？

生（停頓片刻后）：物體的位置發生了變化，但其形狀和大小沒變。

師（追問）：圖形的平移也有類似的性質嗎？

生（齊）：是的。平移不改變圖形的形狀和大小，但改變其位置。

以生活中的平移現象為抓手，引動學生對平移的直觀印象；借助對運動現象的分類，讓學生抓住平移的外在表征并以此提煉圖形平移的定義以及平移過程中變與不變的因素。

（二）操作思考，揭示平移圖形的本質方法

出示如下問題：

（1）在方格紙上任意畫一個ABC并將其向右平移4格，畫出平移后所得的△A′B′C′。

（2）再將△A′B′C′向上平移2格，畫出平移后所得的△A′′B′′C′′，并說說你的畫法。

（3）連接AA′、BB′、CC′，你有什么發現？寫出你的結論并說明理由。

（4）任意說出平移的方向和距離，讓同伴在方格紙上畫圖并檢驗其合理性。

學生畫圖操作，并相互交流。

【設計說明】學生在小學時已經能在方格紙上畫簡單圖形平移后得到的圖形，因此解決前兩個問題并不困難。針對問題（3），學生經歷操作與觀察、猜想與度量、解釋與說理，獲得兩組對應點的連線平行且相等的關系。其實，在解決問題（3）之前，為引入“對應點”的概念，筆者借助動畫演示“三角尺沿直尺移動”的情景，讓學生指出移動前后哪些點是對應的，借助幾何直觀讓學生自然理解對應點的含義；為了顯示對應點的連線有可能在同一直線上的情形，再次回放“三角尺沿直尺”移動的情景，有了這些不可或缺的思維鋪墊，學生終于完滿獲得圖形平移的基本性質：一個圖形和它經過平移所得的圖形中，兩組對應點的連線平行（或在同一直線上）且相等。在作圖范例的引領下，借助模仿所獲得的經驗，學生自主解決了問題（4）并自覺驗證其合理性，收到良好的自得知識效果。在這一模塊運行的過程中，有的學生自覺總結圖形平移的方法：平移三角形就是平移線段，平移線段就是平移線段的端點。學生這種自發提煉的意識是難能可貴的，教師在教學中應倍加呵護這種積極的認知情緒和學習情感。

（三）探索應用，深化認識圖形平移的性質

操作：平移前文圖2中的△ABC，使頂點A移動到點A′的位置，畫出平移后所得到的△A′B′C′。

師：你認為畫圖操作的關鍵是什么？

生（齊）：確定平移的方向和距離。

師（追問）：平移的具體方向和距離是什么？

生6：平移的方向就是由點A移到點A′的位置，距離是AA′的長度。

師：你是怎么知道的？

生6：是從題干“使頂點A移動到點A′的位置”中理解到的。

師：你能說說畫圖的具體方法嗎？

生6：連接AA′；分別過點B、C畫AA′的平行線BD、CE。

生7：分別在BD、CE上截取BB′=AA′，CC′=AA′；連接A′B′、B′C′、A′C′。△A′B′C′就是平移后所得到的三角形。

師：請驗證你畫圖的合理性。

【設計說明】大部分學生通過度量驗證，有個別學生借助與同伴圖形疊合的方式驗證，另有兩名學生借助平行四邊形的性質說理驗證。這讓教師相信學生不僅能行，而且能做得很好。

（四）拓展運用，衍生數學審美文化的理趣

活動：請以三角形為基本圖形，借助平移變換的方式，設計一個精美的圖案，比比看誰的作品棒。

【設計說明】美術是學生的最愛，每個孩子臉上寫滿了快樂，遠比純作圖題來得實惠。有的自己畫，有的合作設計；有的在方格紙上操作，有的在卡紙上創作，那種高興是發自內心的。時間不長，學生就展示出精彩紛呈的作品，精美的設計反映出學生良好的創造能力和對圖形平移理解的通透性。就此結課，讓有文化品位的小畫家回顧創作思路，既固化了新知，又渲染了審美情感。

四、教學感悟

1.發展學生的幾何直觀需借助經驗的積累。

教學中的核心問題是發展學生的幾何直觀，在“做”中累積活動經驗并滲透圖形變換的思想。徐利治先生曾指出，“只有做到直觀上的懂才算真懂”；波利亞認為，“學習任何東西的最好途徑是自己去發現、自己去領悟”；建構主義的觀點是，“知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的”。這就要求我們在教學的過程中，要從學生的數學現實出發，讓學生借助生活經驗的直觀性，獲得對新知的感性認識；在數學化的幫助下，抽象出新知的理性本質；然后在探究活動中深化認知，經歷思路回流和新知反哺，體悟終身受用的方法和思想。

2.發展學生的幾何直觀需下放“做權”和“學權”。

就認識論層面而言，人對新知的接納是一個循序漸進的過程，需要下放“學權”，讓學生自己去發現與領悟；就方法論層面而言，人對新知的吸收是一個漸次積累的過程，需要下放“做權”，讓學生自主去探求與建構；就課程論層面而言，學生掌握知識，不能死記硬背，而應聯系生活與學科，在“做”中理解并揭示本質，在應用中深化認識并體現方法。《標準》指出，“平移”是現實生活中廣泛存在的現象，不僅是探索圖形性質的必要手段，而且是解決現實生活中的具體問題以及進行數學交流的工具。在直觀的基礎上，體會平移的應用價值和豐富的內涵，認識和欣賞平移，探索平移的基本性質，促進觀察、分析、歸納等一般能力和審美意識的發展。不論是探究活動中的平移操作還是思路雙向回流，都是抓住“做”的直觀性，培育圖形變換意識，發展“幾何直觀”。

【參考文獻】

[1]朱桂鳳，孫朝仁.圖式語言：培養學生幾何直觀的良方[J].中學數學教學參考，2013（09）.

[2]汪健.理解教材精心設計主動學習——蘇科版七年級數學上冊“絕對值”解讀及教學實錄片段與感悟[J].中學數學，2014（10）.