淺析高中數學課堂中數形結合思想在函數解題中的運用

唐果敬

【摘要】隨著基礎教育改革的深入和素質教育的推廣，一些新的教育教學理念應運而生，同樣為了適應新形勢下教育和學習的需要，一些新的學習策略和學習思維也相伴而生。高中數學作為高中階段學習難度系數較大，知識點較多的學科，對于學生來說確實困難重重，學習效率和學以致用的能力普遍較低。本文中，筆者結合自身的教學經歷，探究了一些提升學生解題能力的方法，其中就以數形結合思想在高中數學解題中的應用為例，希望能對高中數學的教育教學發展起到一定的積極影響。

【關鍵詞】新形勢 高中數學 數形結合 教學質量 學以致用

新形勢下，高中數學的教學目的不是簡單的把數學公理、定理和公式等講授給學生，讓學生掌握住這些抽象的理論知識，而是讓學生在學習這里知識的同時能夠利用它們解決生活中的一些難題，做到活學活用，學以致用。換句話來說，在教學中不僅僅要傳授知識，更重要的是讓學生掌握住學習的方法，學會學習和學會解答疑難問題，做到“授人以漁，這樣才能培養學生的解題能力和解題思維，進而促進學生的全面發展。數形結合思想簡言之就是通過給出的已知信息和待求問題，并有效的整合學習的內容，實現數與形之間的信息轉化或者找出對應關系，進而簡化解題過程，化抽象模糊為具體形象，通常表現為以數助形，以形解數等形式。函數圖像在中學數學中占有很大比重，它包括兩個層次的要求，一是能準確繪出已知函數的圖像或能根據圖像得出函數基本性質；二是能夠應用函數圖像來解決實際問題，一般來說，前者較易掌握，而后者卻難度較大。很多問題如果借用函數圖像來分析，會有意想不到的效果，特別易于理解。因此作為教師要多引導學生在數學解題中利用函數圖像，讓學生逐漸形成用函數圖像分析問題、解決問題的能力。

一、數形結合在求函數定義域方面的應用

案例：求函數 的定義域.

解析：若要解決該函數的定義域，

則有 ，要解決此類不等式的解集，

需要借助圖像，如右圖：

由圖像可以看出，若要 ，

只需 或 ，再由 ，得出該函數的定義域即為： .

隨著學生做題熟練程度的增強，二次不等式的求解已不用再畫圖。因此在求函數定義域方面，多見于畫數軸選擇出取值范圍。

二、數形結合在求函數值域方面的應用

案例：求函數 的值域.

解析：看到所求函數為二次函數，由于函數

是非單調的，所以并不能代端點值去求出值域，

因此需要借助圖像來觀察，如右圖：

借助圖像的直觀表達可知道，具有區間范圍的

該二次函數的圖像應為黃色區域部分，此函數的最

小值是在對稱軸處取得，即當 時， 。

從而該函數的值域為： 。

對于此類問題是學生的常見出錯點，學生們習慣于直接帶入端點值得出其值域，因此對于給定區間上的二次函數值域問題，培養學生數形結合的思想是非常重要的。

三、數形結合在函數單調性方面的應用

案例：已知 在 上是減函數，求實數 的取值范圍。

解析：函數解析式中含有字母，因此函數在坐標系內的具體位置不能固定，需要畫圖分析，看何種情況才能滿足題干要求：

通過圖像分析可知：若要滿足函數在給定區間上為單調函數，只能是后兩種情況，也就是函數圖像的對稱軸不能出現在所給區間內，從而解題找到突破口。 所給函數對稱軸方程： ，由圖像分析可知，需有 ，從而 。該類問題常見于二次函數中，因其單調性與對稱軸的位置有關，故通常畫圖分析更能直觀得出題目所需情況，從而快速得出結論。

四、巧用數形結合，解決函數中的疑難問題

高中數學遇到的函數問題較多，隨著新課改的推行，函數問題考察的內容更為廣泛，考察的形式更為靈活，試題的難度系數越來越大，有些函數問題只從代數領域去分析已經找不到解題的捷徑了，眾所周知，函數關系與圖像是同時存在的，有時候還需要借助幾何圖形才能化繁為簡，找到解題的方法。

案例：方程4x2-2x+k=0的一個根大于-3且小于1，另一個根大于1且小于3，求k的取值范圍.

【解題過程】令y=4x2-2x+k，圖像如上

解得之-30

∴k的取值范圍是-30

新形勢下，對于高中數學的學習，其目的不再是對數學定理或者基礎知識的掌握，而是數學解題方法、解題思想和和解題能力的培養。其實，在數學教學和學習的過程中，數與形是最基本的概念，也可以說是其雙腿，兩者是對立統一，相輔相成的，“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，可謂是數中必有形，形中必含數。數形結合思想就是從數形兩者的關系入手，實現二者對稱信息的轉化，實現以數助形，以形解數。 總之，要想提升學生的解題能力，就必須要學生樹立數形結合思維，讓學生換個角度去分析問題和解決問題，這樣才能提升解題效率。函數圖像還有在其他方面的應用，如求方程的近似解、值域等，利用函數圖像解決問題的關鍵在于是數與形的結合，若要讓學生能夠靈活應用函數圖像解決實際問題，就必須使學生熟練掌握常見初等函數圖像及其性質，教師要做到對一些能夠利用圖像解決的問題進行歸納總結，使學生在解決這類問題時“有規可循”、“有據可依”，以達到用函數圖像解題的最佳效果。

【參考文獻】

[1]李楠.淺析數形結合思想在高中數學解題中的應用探究[J].數學學習與研究，2013（04）

[2]陳綺雯.淺談數形結合思想在高中數學解題中的應用[J].新課程，2012（11）