高中數學圓錐曲線教學及在解題中的應用探析

賴春葵

【摘要】在高中數學教學中，圓錐曲線作為平面幾何學習的基礎，是非常重要的章節，但是考慮到其中部分內容相對較難，導致很多學生失去了學習興趣，甚至產生了畏懼感.因此，本文針對高中數學圓錐曲線教學進行了具體分析.

【關鍵詞】高中數學；圓錐曲線；定義；解題

由于高中數學當中的圓錐曲線題目具備較強的靈活性，并且還會將多種知識運用到解題之中，并且也是歷年以來高考數學的壓軸題，解答難度較大，并且得分偏低.所以，作為教師就應該注意到教學的有效性.

一、創設情境，提升圓錐曲線教學趣味

開展圓錐曲線教學我們不難發現，學生很難在學習活動當中融入圓錐曲線的學習過程.如果能夠為學生創設良好的情景，就能夠提升學生對于圓錐曲線知識的學習興趣.

比如，在教學過程中，對于“橢圓曲線的定義”就可以設置一個簡單的探究性活動，創設出情境：事先準備一根細繩，然后將其兩端固定在同一個點上，讓學生套上鉛筆，將繩子拉緊，然后移動筆尖，看看移動結束后畫出來的是怎樣的軌跡，然后再將細繩的兩端在兩個不同的點進行固定，將鉛筆套上，將繩子拉緊后移動筆尖，看看移動之后的軌跡.這樣的活動雖然很簡單，但是具備一定的可操作性，通過這樣的引入，學生也可以初步地認識到橢圓，同時，對于學習圓錐曲線的興趣也有一定的幫助.

二、重視綜合能力，努力為學生“減負”

在高考當中，圓錐曲線所涉及的考題基本上都屬于綜合類，其中包含了方程、代數、幾何等多個方面的知識.所以，在解決這一類型問題的時候，就應該讓學生嘗試著將問題簡單化，將問題細細劃分之后，再進行綜合性的考慮，這樣的解決問題能夠對于學生學習圓錐曲線有很大的幫助作用.

1.化繁為簡

凡事都擁有兩面性，就算是復雜的問題也是由多個簡單的問題共同組成的.所以，在較難的問題解決中，就可以多個角度綜合考慮，去發現問題的解決之點，避開“硬碰硬”.以下，通過實際的案例進行了具體的解答說明.

比如：在橢圓9a2+16b2=144上有A，B兩點，O為橢圓的中心，求點O到弦AB的距離.

分析 這里，需要掌握A，B兩點的坐標，如果直接求證，無論是A，B兩點的坐標還是說利用A，B兩點，都會變得非常復雜.所以，就可以從側面考慮，避過正面，通過直線OA或者是OB方程與橢圓方程之間聯立，就可以將A或者B的坐標直接求出來.

2.將陌生變為熟悉

絕大部分學生都會有一種感覺：對于老師已經講過的題目，其實自己已經會做了或者是覺得在老師講解之后，自己就可以做，但是一旦遇到了新的題目，就會出現手足無措的感覺.每一個題型，都需要僅僅圍繞一個中心點，也就是所謂的萬變不離其宗.所以，在遇到新題型或者是陌生的題型，首先自己不能夠慌，要嘗試著將陌生的題型轉變成為熟悉的題型，然后逐步去解決，這樣就能夠很好地完成老師規定的任務.

三、滲透數形結合思想，幫助學生完善解題思路

解析幾何在幾何問題解決中是利用代數的方法，這是最典型的數形結合.所以，讓學生擁有良好的數形結合思想，就可以妥當地解決圓錐曲線的問題.在平時的教學中，教師要懂得不斷地向學生滲透數形結合的思想，幫助學生完善幾何問題的解析思路.

第一，在解決圓錐曲線問題時，要讓學生腦海中時刻有圓錐曲線圖形的浮現，比如：曲線的焦點位置、拋物線開口的注意等，并且根據焦點位置以及開口的實際方向，就可以將直線同雙曲線抑或是拋物線的位置最終判斷出來，同時在思考中也可以結合具體的圖形，不僅避開了煩瑣的運算，同時也可以快速、準確地作出特殊情況的判斷.

第二，在幾何問題解題時，最主要的一點內容是動點軌跡方程的求證.在這一類型的問題解決過程中，就需要利用曲線、幾何等等方面的綜合知識，其本質就是將圖形化成代數、將曲線化成方程，以此來了解曲線的性質.在動點軌跡方程的求證中，最常用的方式有：定義法、幾何法、直接法以及參數法等，但是在軌跡方程求證的步驟中包含了：直角坐標系的建立，設置出坐標點，將方程式列出，進行化簡處理，再將點的范圍確定好，這些都是日常教學中需要注意并且應該加強訓練的地方.

比如，已知雙曲線C：2x2-y2=2與點P（1，2）.

（1）過點P作一條直線l，確定l斜率的取值范圍，使得C與l之間分別存在一個、兩個以及沒有交點.（2）如果存在Q（1，1），嘗試著判斷以Q為中心點的弦是否存在.

圖 1

本題命題的目的在于：第一個提問是為了考查雙曲線與直線之間相交的交點個數，歸結于方程組的解答；第二個問題主要是對圓錐曲線與直線問題的第二種方法——“差分法”進行處理.

考查知識點：在二次方程根當中對于根的個數進行判斷，兩點連線的斜率公式、中點坐標公式.

易錯分析：在第一個提問當中，容易忽略二次項系數的討論；在第二個提問當中，算得Q為中心點的弦的斜率為2，那么就認定直線是存在的.

方法與技巧：在面對弦長的中點問題的時候，常常是利用“差分法”設而不求，將弦所在的直線斜率、弦的中點坐標相互地聯系起來，就可以進行相互的轉化.

延伸練習：雙曲線x2a2-y2b2=1上有一個點P，F作為一個焦點，那么將PF作為直徑的圓同x2+y2=a2的位置是（ ）.

A.內切 B.內切或者外切

C.外切D.相離或者相交

四、高中數學解題中圓錐曲線定義的應用

1.利用定義來進行求證

在高考當中最常見的題目是：在題目的求證當中，常常會遇到通過第二定義的應用來證明拋物線焦點弦作為直徑的圓與準線相切抑或是與相應的準線相離、將雙曲線焦點弦作為直徑與相應的準線相交等等題型.

2.利用定義來求軌跡

在解題當中，圓錐曲線定義使用最為平凡，也是最典型的求軌跡的方式之一.比如：已知定圓O1和O2，其半徑分別為a，b，并且，有動圓M內切于O1，外切于O2，通過適當坐標系的建立，試著將M 的軌跡方程求出來，并且對于軌跡屬于何種曲線加以說明.

對于這一類型題目的解決很明顯會應用到圓錐曲線的定義，在解決的過程當中也不會很復雜，主要是利用O1O2的中心點O當作原點，以O1O2所在的直線為x軸建立平面坐標系，這樣就可以得到O1，O2的坐標，然后將動圓的半徑假設為r，通過動圓M內切于O1，外切于O2，就可以得到MO1和MO2，最后再利用兩者的關系，就可以將M點的軌跡求證出來，確定焦點O1，O2，也就是雙曲線的左支（x小于0），根據半徑之間的關系，就能夠將軌跡方程得到.

比如：在典型的例題應用當中，橢圓x2a2+y2b2=1（其中a>b>0）中有兩焦點F1，F2（如圖2所示），P為橢圓上任意一點，從焦點引∠F1PF2的外角平分線的垂線，試著求出Q的軌跡.

所以，OQ=12AP=a.

這樣，就可以將Q的軌跡為圓確定出來，這就是最常見的圓錐曲線定義的應用題目之一.

五、結 語

在圓錐曲線的問題解決當中，只有快速、準確地找準問題所在，能夠熟練地掌握并且運用每一種圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質以及圖形.所以，在高中數學的圓錐曲線教學當中進行拓展性的練習對于學生的能力水平提升非常的關鍵，同時也是高中數學知識學習當中不可缺少的重要部分.

【參考文獻】

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