初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題思想的應(yīng)用分析

霍加敏

【摘要】數(shù)形結(jié)合解題思想是初中數(shù)學(xué)解題中最常用且最方便的解題方法之一。與其它解題方法相比數(shù)形結(jié)合解題方法有著直觀(guān)、形象、易接受的優(yōu)點(diǎn)。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中老師要多引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，鍛煉其分析問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 解題方法 數(shù)形結(jié)合

引言

數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，研究萬(wàn)物的數(shù)量關(guān)系和空間形態(tài)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最大特點(diǎn)。然而數(shù)學(xué)學(xué)科基本就是數(shù)與形的兩大基礎(chǔ)概念，要充分聯(lián)系數(shù)與形才能高效解題，準(zhǔn)確解答。因此，數(shù)形結(jié)合的解題方法就是結(jié)合數(shù)與形的連接點(diǎn)，是數(shù)學(xué)解題方法中的比較高效的解題方法。那么數(shù)形結(jié)合的解題方法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

一、數(shù)形結(jié)合思想的重要性———提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)水平

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，圖形是學(xué)生常常接觸而又相對(duì)抽象的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。如何將數(shù)學(xué)問(wèn)題與各類(lèi)圖形相關(guān)聯(lián)呢？這就用到了上文提到的“數(shù)形結(jié)合”的概念。教師需要首先對(duì)學(xué)生的意識(shí)進(jìn)行培養(yǎng)，對(duì)數(shù)形結(jié)合的概念進(jìn)行滲透，逐漸灌輸學(xué)生在解題中用圖形說(shuō)明問(wèn)題的思路和概念。其次，在實(shí)際教學(xué)中教師應(yīng)適當(dāng)?shù)刂v授一些生活中的圖形知識(shí)，例如：中考中折紙、扇形與圓錐之間的聯(lián)系，圖形的鑲嵌等。在教學(xué)中多設(shè)計(jì)一些數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題，讓學(xué)生將理論知識(shí)應(yīng)用于解決問(wèn)題中，鍛煉學(xué)生的邏輯思維，增強(qiáng)學(xué)生的自信，更有利于學(xué)好數(shù)學(xué)。

二、初中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的廣泛應(yīng)用

1借助數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生合理理解數(shù)學(xué)概念的法則。數(shù)軸是數(shù)學(xué)中重要的學(xué)習(xí)工具，它能將許多數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀(guān)化，教學(xué)中我們應(yīng)合理利用數(shù)軸輔助學(xué)生學(xué)習(xí)相反數(shù)、絕對(duì)值等數(shù)學(xué)知識(shí)。在實(shí)數(shù)軸上，到原點(diǎn)距離相等且在原點(diǎn)的兩側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)是相反數(shù)，而表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是絕對(duì)值。通過(guò)數(shù)軸這個(gè)形，學(xué)生很容易理解有關(guān)數(shù)的概念。

2數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)中用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的橋梁。初中數(shù)學(xué)中，幾何學(xué)習(xí)離不開(kāi)代數(shù)的計(jì)算，例如在角、線(xiàn)段、平行線(xiàn)的教學(xué)中，除了要求學(xué)生會(huì)認(rèn)角、會(huì)表述角、會(huì)看線(xiàn)段、表述線(xiàn)段、會(huì)認(rèn)平行線(xiàn)中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角等幾何

知識(shí)外，還要求學(xué)生對(duì)其中的角、線(xiàn)段進(jìn)行正確計(jì)算。又如在直角三角形教學(xué)中，代數(shù)中的勾股定理、三角函數(shù)知識(shí)是解決幾何問(wèn)題的重要手段。因此，靈活變通地利用數(shù)形結(jié)合思想能有效地解決幾何難點(diǎn)問(wèn)題。

3在坐標(biāo)系中，利用函數(shù)圖像得出函數(shù)性質(zhì)，并解決實(shí)際問(wèn)題，從而提高學(xué)生能力。函數(shù)的知識(shí)貫穿整個(gè)初中數(shù)學(xué)的教學(xué)，在初中數(shù)學(xué)中占很重要的部分，從七年級(jí)的反比例函數(shù)、八年級(jí)的一次函數(shù)到九年級(jí)的二次函數(shù)，在知識(shí)由淺入深的學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合思想始終在逐步滲透。在教學(xué)中，從圖像到性質(zhì)，再到解決實(shí)際問(wèn)題，都體現(xiàn)數(shù)與形的完美結(jié)合。尤其是二次函數(shù)是整個(gè)初中教學(xué)的難點(diǎn)，中考最后一道大題就是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是數(shù)形結(jié)合思想的最充分的體現(xiàn)之處。從二次函數(shù)的圖像中可判斷出a、b、c的符號(hào)及對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。在拋物線(xiàn)的平移、旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中可看出對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化情況，繼而可求出變換后的拋物線(xiàn)解析式。只有熟練掌握a、b、c在圖像中的作用，并且對(duì)圖像在坐標(biāo)系中與X軸Y軸交點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等代數(shù)知識(shí)熟練掌握，才能對(duì)二次函數(shù)活學(xué)、活用。只有在平時(shí)的教學(xué)中逐步引導(dǎo)學(xué)生空間的形與抽象的數(shù)巧妙結(jié)合，才能真正提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

三、數(shù)形結(jié)合的教學(xué)實(shí)例在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1數(shù)形結(jié)合解題方法在函數(shù)解題中的應(yīng)用

例 ：若關(guān)于 x 的方程 x2+ 2kx + 3k = 0 的兩根都在 -1和 3 之間，求 k 的取值范圍.

解：令 f（x） = x2+ 2kx + 3k，由題意及二次函數(shù)的圖象可知：

f（ - 1） > 0， （- 1）2+ 2k（ -1） +3k >0，

f（3） > 0， 即 32+ 2k·3 + 3k > 0，

f（ - k） ≤0， （- k）2+ 2k（ - k） + 3k≤0。

解得 -1 < k≤0 或 k≥3.

點(diǎn)評(píng)：在學(xué)習(xí)一些一元二次不等式或者一元二次方程時(shí)，可以借助圖象分析，這樣解題更加直觀(guān)，更加快捷，而且錯(cuò)誤率也比較低。

2.數(shù)形結(jié)合解題思想在應(yīng)用題中的應(yīng)用

應(yīng)用題一直是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)題型，數(shù)形結(jié)合的解題思想可在應(yīng)用題解題中表現(xiàn)得淋漓盡致。

例如：有一個(gè)公司推出一種產(chǎn)品，其中 x（件）是產(chǎn)品推銷(xiāo)的數(shù)量，y（元）是推銷(xiāo)費(fèi)用，其關(guān)系圖如下已表示了公司每月付給推銷(xiāo)員推銷(xiāo)費(fèi)的兩種方案，看圖解答下列問(wèn)題：

（1）求 y1與 y2的函數(shù)解析式；

（2）解釋圖中表示的兩種方案是如何付推銷(xiāo)費(fèi)的？

（3）如果你是推銷(xiāo)員，應(yīng)如何選擇付費(fèi)方案？

解：（1）y1=20x，y2=10x+300

（2）y1是不推銷(xiāo)產(chǎn)品沒(méi)有推銷(xiāo)費(fèi)，每推銷(xiāo)10件產(chǎn)品得推銷(xiāo)費(fèi)200元，y2是保底工資 300 元，每推銷(xiāo) 10 件產(chǎn)品再提成 100 元。

（3）如果推銷(xiāo)員的業(yè)務(wù)能力強(qiáng)，可以保證平均每月推銷(xiāo)多于 30 件時(shí)，就選擇 y1的付費(fèi)方案；否則，選擇 y2的付費(fèi)方案。

評(píng)注：只要借助圖象分析，就能直觀(guān)的顯現(xiàn)這種應(yīng)用題規(guī)律，有圖像可知在上方的說(shuō)明它的函數(shù)值較大，反之較小，那么當(dāng)兩圖象相交時(shí)，這一點(diǎn)就說(shuō)明在交點(diǎn)處的函數(shù)值是相等的。那么通過(guò)這種數(shù)形結(jié)合的分析解題方式就能很好地解決應(yīng)用題。

四、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合的思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中時(shí)時(shí)都會(huì)出現(xiàn)。在教學(xué)中一旦讓學(xué)生掌握了數(shù)形結(jié)合的解題思想，鍛煉了學(xué)生的分析思維能力的同時(shí)也提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。因此作為一線(xiàn)初中數(shù)學(xué)教師，我們要不時(shí)地教授學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的解題思想。

【參考文獻(xiàn)】

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