就《一個重要極限的證明策略》一文的商榷

彭乃馳 黨婷

【摘要】針對2009年發表于《保山學院學報》（原《保山師專學報》）第28卷第2期的《一個重要極限的證明策略》一文，提出了不同觀點，以期與原作者及同行交流.

【關鍵詞】重要極限；循環論證；探討

【中圖分類號】O142【文獻標識碼】A

《保山學院學報》（原《保山師專學報》）2009年第28卷第2期發表了湯茂林先生《一個重要極限的證明策略》（以下簡稱“《策略》”）一文，湯先生在文中提出了重要極限limx→0sinxx=1的不同于教材的七種證明方法，使筆者深受啟發.同時，筆者經過仔細思考認為《策略》一文中證法3至證法7可能存在循環論證的錯誤.本文首先介紹了循環論證并結合自己的教學實踐舉例說明，然后，詳細分析了《策略》一文在證法3至證法7中可能存在循環論證的地方，以期與原作者及同行交流.

循環論證是指要證明的結論已經被預設為前提，它是普通邏輯中無效論證的一種，在科學論證中是需要避免的.在教學過程中，常聽學生這樣說：“我不懂數學，所以不學數學.”筆者認為正確命題是：“不學數學，所以不懂數學.” 因此，學生再用“不懂數學”推出 “不學數學”，就導致了邏輯上的循環論證.這就是現實中一個典型的循環論證錯誤.

在高等數學中，學者們已經提出的常見的循環論證錯誤有：（1）利用洛必達法則證明重要極限limx→0sinxx=1（即《策略》一文的證法5）；（2）利用洛必達法則證明重要極限limx→0（1+x）1x=e；（3）利用牛頓—萊布尼茲公式證明積分第一中值定理.

筆者在從事高等數學教學的過程中發現學生甚至部分教師都比較容易出現循環論證錯誤，比如：

例（2009數三，第（18）題（Ⅰ））證明拉格朗日中值定理：若函數f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）上可導，則存在ζ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ζ）（b-a）.

錯證由柯西中值定理得：f（b）-f（a）g（b）-g（a）=f′（ζ）g′（ζ），取g（x）=x，則有 f（b）-f（a）b-a=f′（ζ）1，即f（b）-f（a）=f′（ζ）（b-a）.證畢.

分析由于柯西中值定理是由拉格朗日中值定理證明的，因此反過來再利用柯西中值定理證明拉格朗日中值定理就犯了循環論證的錯誤.

同樣地，本文認為《策略》一文中證法3至證法7也存在循環論證的錯誤，下面詳細分析，以期與原作者及同行交流.限于篇幅，在不改變原證明意思的前提下，對原證明做了一定改寫與省略.

“證法3：利用導數定義：limx→0sinxx=limx→0sinx-sin0x-0=（sinx）′|x=0=cos0=1”

分析該證法利用導數定義，證出重要極限limx→0sinxx=1，看似巧妙實則錯誤.原因是證明過程的第三個等號的成立依賴于導數公式（sinx）′=cosx，而該公式是用limx→0sinxx=1證明得來的，即《策略》的證法3出現了循環論證的錯誤：limx→0sinxx=1（sinx）′=cosxlimx→0sinxx=1.

“證法4：利用拉格朗日中值定理：limx→0sinxx=limx→0sinx-sin0x-0=limξ→0cosξ=10<ξ<1”

分析證明過程的第二個等號不但使用了拉格朗日中值定理而且使用了sinx的導數公式，該證法也出現了循環論證的錯誤.

“證法5：利用洛必達法則”

分析該證法存在的循環論證錯誤在文獻中已作詳細分析，不再重復.

“證法6：利用sinx泰勒公式：得sinx=x+o（x2），從而有limx→0sinxx=limx→0x+o（x2）x=1”

分析別忘記我們在求sinx泰勒公式時，其中一步是需要求出sinx在x=0處的各階導數值，這步需要利用到sinx的導數公式，該證法還是出現了循環論證的錯誤.

“證法7：利用歐拉公式：由歐拉公式知sinx=eix-e-ix2i………（1）

可得：limx→0sinxx=limx→0eix-e-ix2xi=limx→0e2xi-12xieix=…=1”

分析（1）式由歐拉公式eix=cosx+isinx得來，歐拉公式又是怎么證明的呢？它的證明方法比較多，常見的有五種：復指數函數定義法、分離變量積分法、復數冪級數展開式法、變上限積分法和極限法.下面對這幾種證明方法的邏輯思路一一分析.

在復指數函數定義法中，定義復指數函數f（z）=ez=ex（cosy+isiny）時，條件之一是要求f（z）要在復數域內解析[7]，由柯西—黎曼條件就要求有

cosy=（siny）′，（cosy）′=-siny，

故導數公式（sinx）′=cosx成立，定義出的復指數函數才有意義，這種證明方法的邏輯思路為：（sinx）′=cosx定義復指數函數歐拉公式.

分離變量積分法中首先要對z=cosx+isinx求導，所以該法顯然是：（sinx）′=cosx歐拉公式.

復數冪級數展開式法要用到sinx冪級數展開式，同 “證法6”的分析，sinx冪級數展開式要依賴于sinx的導數公式，故該法是：（sinx）′=cosxsinx冪級數展開式歐拉公式.

變上限積分法中要用到積分公式∫11+x2=arctanx+C，這個公式是由導數公式（arctanx）′=11+x2得來，再想想反正切函數導數公式的來歷，我們就可以列出這種證明方法的邏輯思路：（sinx）′=cosx（tanx）′=sec2x（arctanx）′=11+x2∫11+x2=arctanx+C歐拉公式.

極限法中要用到極限limn→∞narctanx[]n=x，這個極限的成立是由于arctanx[]n～xn（n→∞），該法證明思路是：

limx→0sinxx=1limx→0tanxx=1limx→0arctanxx=1arctanx～x（x→0）歐拉公式.

從上面對歐拉公式的五種證明方法的分析，可見歸根到底其證明的邏輯思路要么是（sinx）′=cosx歐拉公式，要么是limx→0sinxx=1歐拉公式，再結合sinx的導數公式的證明，最后綜合起來我們得到了《策略》中證法7的證明邏輯思路為：

limx→0sinxx=1（（sinx）′=cosx）歐拉公式（1）式limx→0sinxx=1.

sinx的導數公式打上小括號表明有些證明思路（如極限法）可以跳過這一步，不使用此公式.證法7的證明邏輯思路表明，證法7在證明結論limx→0sinxx=1時，其實已經潛在地把該結論預設為前提，同樣出現了循環論證的邏輯錯誤.

在高等數學中，有些循環論證的錯誤比較隱蔽，學生甚至部分教師都容易出現這種錯誤.高等數學是一門結構嚴謹的學科，要正確認識和學習這門學科必須謹防循環論證.循環論證產生的根源在于對定理、公式等的來龍去脈理解不夠深刻.因此，要避免循環論證就必須理清知識結構，深刻理解公式定理的來龍去脈.以上是筆者經過思考并結合自己的教學實踐對《策略》一文中可能出現的循環論證問題進行的探討，是否正確，還請同行批評指正.

【參考文獻】

[1]湯茂林.一個重要極限的證明策略[J].保山師專學報，2009，28（2）：15-16.

[2]宋志潤.不是從循環中脫身，而是正確地進入循環[J].哈爾濱學院學報，2009，30（7）：1-6.

[3]楊濰旭，焦振華，張智豐.例說循環論證之謬誤[J].高等數學研究，2012，15（4）：115.

[4]陸斌.循環論證錯誤的分析[J].陰山學刊，2003（1）：224-225.

[5]畢文玲.謹防數學分析中循環論證的錯誤[J].南陽師范學院學報，2012，11（12）：85-86.

[6]李勁.歐拉公式eix=cosx+isinx的幾種證明及其在高等數學中的應用[J].河西學院學報，2008，24（5）：1-6.

[7]余家榮.復變函數[M].第三版.北京：高等教育出版社，2000.