例談挖掘教材例習題

于瓊

【摘要】教材例習題歷來是高考題題基的來源，許多高考題是由教材例習題加工整合而成的。因此我們在實際教學中必須重視教材的例習題，深入挖掘教材是我們教學和備考應具備的能力。下面本人僅就人教B版必修2《圓的一般方程》一節中的例題3（P93）和必修五橢圓和拋物線兩節節的課后習題為例加以探究，以達拋磚引玉之目的。

【關鍵詞】重視教材 ?挖掘教材 ?發散思維 ?求知欲和探索欲

【中圖分類號】G634 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】A ? ? ?【文章編號】2095-3089（2015）05-0241-01

教材例習題歷來是高考題題基的來源，許多高考題是由教材例習題加工整合而成的。因此我們在實際教學中必須重視教材的例習題，深入挖掘教材是我們教學和備考應具備的能力。下面本人僅就人教B版必修2《圓的一般方程》一節中的例題3（P93）和必修五橢圓與拋物線兩節的課后習題為例加以探究，以達拋磚引玉之目的。

題目：已知曲線是與兩定點O（0，0），A（3，0）距離的比為的點的軌跡，求這個曲線方程，并畫出曲線。

解：在給定的坐標系中，設M（x，y）是曲線上的任意一點，點M在曲線上的條件是：，由兩點之間的距離公式，上式用坐標表示為，兩邊平方并化簡得曲線方程x2+y2+2x-3=0，即 （x+1）2+y2=4，所以所求曲線是圓心為C（-1，0），半徑為2的圓。作圖（略）。

分析：本題典型性強，體現了解析幾何中坐標法求動點軌跡方程，即建系、設點、列式、化簡、證明。驗證的基本步驟又考查了前面剛學過的圓的標準方程和一般方程及坐標平面內兩點之間距離運算公式，同時也激發了學生探究欲。曲線究竟是何曲線？我們是否認識？教師可以引導學生去追根尋底：既然本題讓你畫出曲線，結論應該是我們已熟知的曲線，如：直線、圓、拋物線的等等。而通過師生互動，交流合作，動手運作，結果令學生欣喜，原來如此！同時也為以后學習橢圓和雙曲線方程做了鋪墊。

教師可接著讓學生思考：如果將距離之比改為或者2，其結果又是什么曲線呢？學生分兩組接著做，最后得出結論都是圓。同時學生們洋溢著興奮的笑臉。

教師再問：通過上述學習，你們有什么啟發和感悟？請研討，并說出你們的想法。

我在實際教學中體驗到了學生的結論：平面內與兩定點距離之比等于常數的點的軌跡（或者曲線）是圓，其中常數為不等于1的正數。趁熱打鐵，我給出下列課后思考題：

已知曲線是與兩定點F1（-c，0），F2（c，0）（其中c>0）的距離之比為常數t（t≠0）的點的軌跡，求這個曲線方程，并指出是何曲線？第二天我得到了一些學生的答案：

解：設曲線上任一點M（x，y），由已知得，，

平方并化簡得：

可驗證它表示以為圓心，半徑 ?的圓。

再如：高中課本中必修五中一習題：經過拋物線y2=2px的焦點F，作一條直線垂直于它們的對稱軸和拋物線相交于pl、p2兩點，線段plp2叫做拋物線的通徑，求通徑plp2的長。

通過計算可得通徑plp2的長為2P（解法略）稍一引申，這兩點縱坐標之積yly2等于什么？容易得yly2=-p2，再圍繞這一中心課題作進一步研究

改編1，與對稱軸不垂直的焦點弦的兩端的縱坐標之和等于什么？

其結論就是課本題目：過拋物線y2=2px的焦點的一條直線和這條拋物線相交，兩交點的縱坐標為yl、y2，求證：yly2=-p2.它是拋物線焦點弦的一個性質。

改編2，過拋物線焦點的一條直線與它交于兩點P、Q，通過點P和拋物線頂點的直線交準線于一點M，求證直線MQ平行于拋物線的對稱軸。這是課本第32頁第13題，它是應用上述性質進行解題的實例。

改編3，問“yly2=-p2有什么幾何意義？”經過作圖，分析可證過拋物線的焦點弦的兩端作準線的垂線，兩垂足與焦點的連線互相垂直，這實際上是拋物線焦點弦的又一性質

鑒于教材中的絕大部分例習題，條件完備、答案固定的特點，教師備課時有必要根據教學將部分習題改編成“開放題”。

再如必修五教材第112頁一道題，在橢圓 上求一點使它與兩個焦點的連線互相垂直。

隱去結論改編成“橢圓 上是否存在一點，它與兩個焦點連線互相垂直？若存在求出該點、若不存在說明理由”即成為一道探究題。接著再將條件進行轉換，改編為：“是否對任意橢圓都存在橢圓上一點與兩焦點的連線互相垂直？”即成為一道具有開放型習題。

通過這樣的挖掘，為學生才智的發揮和創新提供了契機。具有較強的探索性和針對性，激發了學生求知欲和成就感。

通過上面兩個例子的闡述，使學生提高了對數學典型題目探究能力，并激發了求知欲和探索欲。培養了一題多變、舉一反三、觸類旁通的研究數學問題思維方式和良好習慣，對克服題海戰術是非常有益的，因此在我們實踐數學中應加以提倡。由于我們的學生的時間和精力是有限的，所以在有限的時間盡量取得最大的成效：教師應引導學生養成對重點知識、重點題目，尤其是教材例習題深入挖掘、聯系、變形的能力，培養發散思維意識，發揮典型題目的最大功效。舉一反三，甚至找到一類問題的處理方法，同時派生出一些重要性質，進一步加深對知識的理解和鞏固，提高我們的數學修養。

最后，祝各位同仁和學生們成功。