談初中生數學抽象能力與數學概括能力的培養

徐海燕

[摘 要] 數學是研究數與形的學科，學生的數學抽象能力與數學概括能力的培養，應當成為學生數學學習能力培養的基礎. 初中數學抽象能力與概括能力的培養，應當以數學內容為載體，在基礎與途徑上做文章，具體包括基于數學概念與命題、基于數學建模與方法等.

[關鍵詞] 初中數學；數學抽象；數學概括；能力培養

在初中數學教學中，學生的能力培養是關鍵，而能力培養又不是一個空洞的概念，能力總是與一個學科具體的特點有著密切的聯系，理解這一點，那能力培養就不會成為一句空話. 數學是研究數與形的學科，數與形總是以抽象的形態出現在人們面前，而抽象的結果又是經過概括等過程產生的，因而學生的數學抽象能力與數學概括能力的培養，應當成為學生數學學習能力培養的基礎. 初中數學教學內容以概念、命題和規律為基礎，以數學建模和數學方法為途徑，因此數學抽象與數學概括能力的培養，應當以數學內容為載體，在基礎與途徑上做足文章.

基于數學概念與命題的抽象概

括能力

一般認為，數學概念就是在數學研究的過程中，基于對數學對象本質屬性而進行的抽象概括過程. 因此，概念學習本身就是抽象概括能力培養的過程. 基于這樣的認識，筆者以為，在初中數學教學中，應當在概念教學之時給學生提供豐富的事例，以讓學生能夠對這些實例進行充分地分析與綜合、歸納與演繹，這樣才能讓學生在對實例進行分析的過程中，領略一種共同屬性，而這便是概念的本質意義所在.

譬如，在“分式”（人民教育出版社《數學》八年級下冊）的教學中，分式概念的建立就是一個重要的教學內容，這種重要性不僅體現在分式概念是后續數學知識學習的基礎上，更體現在分式概念建立過程中可以進一步有效地培養學生的抽象概括能力上. 在教材中，通過學習一艘輪船在順水及逆水中航行的例子，給出輪船的航速及相關數據，要學生求出江水的流速. 在學生解答的過程中，自然會生出■和■的式子，從而引入分式的概念. 如果注意教材的編排，便會發現緊跟其后還有兩個例子：一是與長方形面積相關的例子；二為圓柱形容器的體積與水的高度的關系. 如果再仔細分析的話，還會發現這兩個例子中分別用數據和符號提出了問題，并要求學生求解. 這三個例子，建立在了學生原有熟悉的數學事例基礎上，因而從學生學習心理的角度來看，可以以原有的直覺進行加工，而三個例子的分析則可以讓學生在不同的情境中獲得同樣的分式認知，在此基礎上去綜合三個例子的共同點，并分析這些共同點與分數有什么相同點與不同點，便會發現分式（當然此時分式概念尚未給出）與分數具有相同的形式，但分式的分母上都含有字母. 這實際上便完成了一個概括的過程！而分式的定義“一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子■就叫做分式”本身就是抽象的結果——從實例抽象成具體的分式定義. 從這個時候起，“分式”這一概念就包括了定義所述的內容，并不斷運用于新的數學知識學習當中.

又如“函數”概念的建立，關鍵在于讓學生認識到變量之間的關系并用表達式描述之. 多年的教學經驗表明，函數概念的建立對于學生來說并不是一件輕而易舉的事情，而其中的原因又多是因為學生在函數概念建立的過程中未曾經歷一個充分的抽象與概括的過程. 筆者在教學過程中，先給學生設計了三個問題：（1）如果一汽車行進的速度是60 km/h，求其路程與時間的關系；（2）某容器內溶液的體積與溶液深度的關系；（3）某城市某年溫度與時間的關系. 對學生而言，根據三種情況下的關系列出相應的等式并不是一件難事，難的是對三者的分析，并在此基礎上概括出各例中兩個變量之間的關系. 這個時候往往需要教師的引導，并讓學生最終發現：兩個變量之間總存在一定的依存關系，一個變量總會隨著另一個變量而變化，并且在有的情形之下，變量存在變化范圍. 這實際上是一個概括的過程，在概括的基礎上可以引導學生進行抽象，從而得出對函數的初步理解. 比如，有學生會說：“如果一個變量隨著另一個變量而變化，那這個變量就叫做另一個變量的函數”，也有學生會說“如果兩個變量之間存在著對應的變化關系或依存關系，那一個變量就叫做另一個變量的函數”，這是一個初步抽象的過程，進一步的抽象與概括，可以引導學生將抽象出的本質屬性推廣到其他同類事物，進而形成科學的函數概念，并賦予一定的定義.

事實上，數學命題與數學概念從形式上看有著明顯的區別，但從生成過程上來看，同樣具有抽象與概括等思維過程，因此數學概念與命題得出的過程既是抽象與概括的過程，又是培養學生抽象與概括能力的過程.

基于數學建模與方法的抽象概

括能力

相對于數學概念與命題而言，隱藏在它們后面的數學建模等思想與方法，與數學抽象與概括也有著密切的關系，換句話說，數學建模與方法也是培養學生抽象與概括能力的好時機.

筆者在教學中曾經嘗試給學生這樣一個例子：已知a，b，x，y均屬于正實數，且a，b滿足a2+b2=1的關系，x，y滿足x2+y2=1的關系. 試證明：ax+by≤1. 這是筆者在中考復習過程中給學生提供的一個例子. 在傳統的解題思路中，教師往往會滿足于學生的一種解題思路，也就是說，目的只放在問題本身得到解決上. 可事實上，如果本題能夠從抽象與概括的角度，通過一個問題背后的多種解決思路，讓學生經由不同的抽象過程，然后概括出此問題的所有解題思路背后的解題思想，那就可以有效地提升學生的數學學習能力，自然，這種數學學習能力的提升，是以概括和抽象能力的培養為基礎的.

實際教學中，筆者引導學生從多角度對本題進行思考，即先進行抽象. 如先從代數的思路去思考，便可以得出這樣的關系：a2+x2≥2ax，b2+y2≥2by，于是可以得出a2+x2 +b2+y2≥2（ax+by），從而得出ax+by≤1. 這種代數思路一般來說學生比較熟悉，因此可以作為第一種教學思路，可以作為學生面對此問題時的第一思維.endprint

此時可以先引導學生進行反思，即引導學生思考這一解題思路是如何得出的. 在這個過程中，可以重點引導學生思考從問題到思路的抽象過程，即重在培養學生的抽象意識——因為之前已經進行過抽象，抽象能力已經得到鍛煉，但學生未必會形成抽象意識，這種意識往往是通過反思得到強化的.

在此基礎上，再引導學生從幾何的角度思考，結合單位圓的知識，將a，b，x，y看做是單位圓中分別對應著直徑的兩條弦，這樣，a和b、x和y與各自對應的直徑就組成了一個直角三角形（如圖1），此時借助ax+by=AB·CD（這個關系在數學上是一個基本規律，初中階段可能未有涉獵，但可以提供給學生，也算是培養學生運用陌生工具進行探究的能力），顯然，CD≤AB，即CD≤1，因此原結論也就得到了證明.

如果學生此時的抽象能力和概括能力得到明顯體現，那還可以再向學生提問：不是可以從其他角度進行思考嗎？一般來說，學生此時難以想到其他方法，但如果教師結合題中a2+b2=1和x2+y2=1的特征，引導學生從三角函數的關系進行思考，就能讓學生的思維拓展到將a，b，x，y設成關于某兩個角的正弦與余弦函數，那就可以引導學生利用三角函數的關系使本題得到求解（具體過程略）.

這樣，在學生面前就出現了三種解題方法，這三種方法可以交由學生進一步分析并概括，分析的結果顯然是這三種解題思路的角度完全不同，因而在學生面前解題視角就是多元的，而一旦學生概括出多元的解題思路，那對于學生來說就是一種數學學習能力的提升.

數學抽象與數學概括能力培養

的思考

課程改革至今已經進行了十多年，有效教學的討論也進行了好幾年，最終其實都是為了培養學生的能力. 就初中數學教學而言，需要培養的自然就是數學學習能力，只是數學學習能力是一個宏觀的概念，其是由多種能力組成的，其中，數學抽象與數學概括能力是能力培養的基礎.

研究表明，數學抽象能力決定著學生的數學認識，而概括則是思維能力的根本，沒有概括就談不上思維能力的培養. 筆者經過研究，發現能力的培養不能是一句空話，尤其是抽象能力與概括能力的培養，一定要借助最為基本的數學內容來進行. 沒有內容的教學，就沒有方法的運用，也就沒有能力的培養. 需要注意的是，數學教師在教學的過程中，不僅要關注學生對知識的掌握程度，更要關注學生在掌握知識的過程中，運用到了哪些方法，可以培養什么樣的能力. 也就是說，要將能力因素作為教學設計的一條主線，只有這樣，包括抽象能力與概括能力在內的能力培養才能落到實處.endprint