高等代數(shù)與解析幾何課程整合的思考

田潔

摘 ?要：本文將簡(jiǎn)要探討數(shù)學(xué)整合的背景，探究高等代數(shù)和解析幾何整合的可行性，即符合自身的特點(diǎn)、專業(yè)的需要、符合教育改革的發(fā)展的，然后討論了課程內(nèi)容和改革體系，比如說(shuō)應(yīng)用問題、教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)代化、課堂、網(wǎng)絡(luò)課程、選修課程的結(jié)合等。之后便著重提出了整合的主要措施，把教材的編寫、啟發(fā)式教學(xué)、教材結(jié)構(gòu)問題等為出發(fā)點(diǎn)，介紹了應(yīng)該做的措施。整合應(yīng)注意的問題和對(duì)高等代數(shù)和解析幾何整合的建議也是很有必要的。

關(guān)鍵詞：高等代數(shù);解析幾何;整合

“高等代數(shù)”和“解析幾何”是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的經(jīng)典課程。從歷史來(lái)看，代數(shù)和幾何的發(fā)展一直都是相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的。從邏輯上而言，他們有不少相似或平行之處，因此把他們合并起來(lái)以此來(lái)節(jié)省課時(shí)。

一、教學(xué)整合的背景

當(dāng)前的高等代數(shù)和解析幾何的課程內(nèi)容已經(jīng)基本定型，兼具有邏輯的嚴(yán)密性和內(nèi)容的完整性。想要優(yōu)化數(shù)學(xué)課程體系，完成高等代數(shù)與解析幾何課程的整合，需要以高等代數(shù)為解析幾何的方法，以解析幾何作為高等代數(shù)的背景。

從高等代數(shù)和解析幾何的課程內(nèi)容來(lái)看，高等代數(shù)涉及的是多項(xiàng)式理論和線性代數(shù)，而解析幾何則主要講述的是向量代數(shù)以及各種圖形性質(zhì)。二者的內(nèi)容有密切相關(guān)的聯(lián)系。第一，高等代數(shù)中的線性空間和線性變換等概念的直觀來(lái)源是解析幾何中向量、幾何變換等概念。第二，高等代數(shù)中的矩陣計(jì)算、線性方程組求解及二次型理論能夠被運(yùn)用于解析幾何之中。因此，將兩門的課程合并為一門課程是學(xué)習(xí)和運(yùn)用它們的最佳途徑。

二、高等代數(shù)和解析幾何整合的可行性

1.高等代數(shù)和解析幾何整合是符合自身的特點(diǎn)

解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問題;高等代數(shù)討論的是從特殊到一般、從具體到抽象，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。兩門課程的內(nèi)容上有相當(dāng)一部分重復(fù)的內(nèi)容，比如說(shuō)：向量空間、線性相關(guān)、線性變換、特征方程、正交變換等。解析幾何中的三維向量空間是高等代數(shù)中的向量空間為基礎(chǔ)的推廣，解析幾何還為高等代數(shù)提供了一個(gè)直觀、實(shí)實(shí)在在的模型和背景，幾何中的線性變換產(chǎn)生了高等代數(shù)中的矩陣，如：把來(lái)自正交變換的高等代數(shù)中的正交矩陣想象成坐標(biāo)系繞著原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。

為了避免高等代數(shù)和解析幾何的合并會(huì)影響代數(shù)和幾何的教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)，可以借助數(shù)學(xué)軟件會(huì)出曲面的截面圖、側(cè)面圖、俯瞰圖等，幫助學(xué)生更好、更全面的了解三維空間及其他高維空間。

2.高等代數(shù)和解析幾何整合是專業(yè)的需要

高等代數(shù)和解析幾何是培養(yǎng)數(shù)學(xué)老師最重要的課程，但目前卻面臨著數(shù)學(xué)嚴(yán)格化和現(xiàn)代化的挑戰(zhàn)。為滿足新標(biāo)準(zhǔn)要求，必須壓縮傳統(tǒng)的內(nèi)容的課時(shí)，加強(qiáng)現(xiàn)代化內(nèi)容的課時(shí)，以提高教學(xué)效率。“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要思想，把代數(shù)和幾何的思想相互滲透，是結(jié)合數(shù)與形的重要步驟，能夠增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。

3.高等代數(shù)和解析幾何整合符合教育改革的發(fā)展

數(shù)學(xué)教師的素質(zhì)和新課程的嚴(yán)重不適應(yīng)已經(jīng)隨著基礎(chǔ)教育的不斷深化，成為了當(dāng)前教學(xué)改革的主要問題。因此，如何改變數(shù)學(xué)專業(yè)的課程設(shè)置，轉(zhuǎn)變模式培養(yǎng)和提供學(xué)生的綜合素質(zhì)是當(dāng)前教學(xué)的重要問題。一方面，教學(xué)大綱對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)水平的要求發(fā)生了很大的變化，教育需要教會(huì)學(xué)生的不僅是對(duì)于各種數(shù)學(xué)解題方法的運(yùn)用，還應(yīng)該幫助學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)的思想，重視數(shù)學(xué)的概念、定理、公式的來(lái)龍去脈，其中包含的數(shù)學(xué)思想和方法，關(guān)注各基礎(chǔ)學(xué)科的關(guān)聯(lián)。另一方面，越來(lái)越多的學(xué)生更關(guān)注畢業(yè)以后的就業(yè)去向，因此讓自身成為能夠符合職業(yè)選擇中的應(yīng)對(duì)各種挑戰(zhàn)的高水平人才。當(dāng)前教育的改革整體趨勢(shì)是要關(guān)注學(xué)科間的關(guān)聯(lián)，關(guān)注不同領(lǐng)域的內(nèi)在聯(lián)系。而數(shù)學(xué)作為溝通理工學(xué)科的重要工具，其教學(xué)的重點(diǎn)并不應(yīng)該僅僅只放在對(duì)于學(xué)生知識(shí)的傳授和技能的培養(yǎng)之上，而更應(yīng)該追求學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)思維的掌握，以此來(lái)推動(dòng)學(xué)生自身乃至數(shù)學(xué)界的發(fā)展。當(dāng)今對(duì)于高等代數(shù)和解析幾何課程的整合正是追求過(guò)程與方法、知識(shí)與技能、情感態(tài)度價(jià)值觀的三方面目標(biāo)和諧發(fā)展，充分的、真實(shí)的展現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的發(fā)生和發(fā)生過(guò)程。

三、課程內(nèi)容和改革體系

1.兩者的有機(jī)結(jié)合

課程的整合并不是想象中那種簡(jiǎn)單的把兩門課程合在一起進(jìn)行教學(xué)，特別是高等代數(shù)和解析幾何屬于不同的課程。如何將兩門課程的教學(xué)內(nèi)容有機(jī)地融合在一起，并且也不顯得那么突兀，是當(dāng)前課程整合面臨的主要問題。對(duì)于高等代數(shù)和解析幾何課程的整合，當(dāng)前普遍的想法是將代數(shù)作為解決問題的工具，將幾何作為了解代數(shù)的背景資料和應(yīng)用場(chǎng)所，盡量的用幾何解釋或者幾何模型來(lái)解釋代數(shù)概念，使之淺顯易懂。

2.應(yīng)用問題

高等代數(shù)和解析幾何整合后課程對(duì)應(yīng)用的要求都在于，數(shù)學(xué)方法對(duì)提高學(xué)生能力的應(yīng)用和數(shù)學(xué)方法在實(shí)踐中的應(yīng)用，其中包括在各門學(xué)科中的廣泛應(yīng)用。不同專業(yè)的學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)有不同程度的需求，因此有必要按照不同的專業(yè)設(shè)置不同的整合教材給學(xué)生使用，同時(shí)教授一些基礎(chǔ)建模的知識(shí)來(lái)幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用掌握。其次，還需要找到生活中對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用材料來(lái)幫助學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，幫助學(xué)生將抽象的概念具體化，提高學(xué)生的抽象思維能力。例如：我國(guó)近些年來(lái)的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)得到了飛速的發(fā)展，而在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中影響生產(chǎn)成本的因素有很多，其中最主要的成本之一是運(yùn)輸成本，企業(yè)一方面希望企業(yè)能夠盡可能的離原料產(chǎn)地較近，另一方面又希望盡可能地與市場(chǎng)較近，因?yàn)檫@樣能夠有效地節(jié)約運(yùn)輸?shù)某杀荆瞧髽I(yè)想要找到與原料產(chǎn)地較近又與市場(chǎng)較近的地址并不容易，因此只能選擇運(yùn)輸成本盡量低的位置，這就可以應(yīng)用到矩陣知識(shí)。通過(guò)對(duì)于現(xiàn)實(shí)中的例子的說(shuō)明，能夠讓學(xué)生產(chǎn)生更深的了解。

3.教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)代化

改革的重點(diǎn)之一就是教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)代化。以前的教材太過(guò)繁重，給學(xué)生的學(xué)習(xí)造成了很大的負(fù)擔(dān)，影響他們學(xué)習(xí)的興趣。因此，現(xiàn)在在處理教材的時(shí)候，需要考慮到在盡量不增加學(xué)生負(fù)擔(dān)的情況下，使用一些現(xiàn)代知識(shí)處理或者結(jié)合現(xiàn)代教學(xué)新成果盡力去做。比如說(shuō)，把歐式空間作為一般內(nèi)積空間的特例進(jìn)行教學(xué)。endprint

4.課堂與網(wǎng)絡(luò)課程的有機(jī)結(jié)合

為了提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效率，有必要讓數(shù)學(xué)教學(xué)在課外進(jìn)行延伸，因此進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)課程的建設(shè)也是很有必要的。通過(guò)網(wǎng)絡(luò)課程學(xué)生可以突破時(shí)間和地理位置的限制，隨時(shí)隨地進(jìn)行數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，并且能夠及時(shí)地提出自己的疑惑。并且網(wǎng)絡(luò)課程也有其得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，例如：在講授歐式空間時(shí)，有時(shí)候?qū)W生很難通過(guò)教師的講授和簡(jiǎn)單的板書來(lái)理解歐式空間的概念，而通過(guò)網(wǎng)絡(luò)課程教學(xué)，可以利用多媒體技術(shù)來(lái)構(gòu)建虛擬的歐式空間，以幫助學(xué)生理解。

四、整合的主要措施

1.教材的編寫。兩種知識(shí)整合的教材編寫，是具有一定難度的，因?yàn)樗⒉粌H僅是簡(jiǎn)單的拼湊，而是要形成統(tǒng)一的整體，加強(qiáng)雙方的核心內(nèi)容。具體的來(lái)說(shuō)，可以將高等代數(shù)與解析幾何混編在一起，但是混編必須遵循一定的規(guī)律，只有具有內(nèi)在聯(lián)系的知識(shí)才能作為同一章節(jié)進(jìn)行混編。在混編的章節(jié)中有必要適當(dāng)增加數(shù)學(xué)概念發(fā)現(xiàn)的歷程和現(xiàn)狀，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也能夠幫助學(xué)生更好地傳承經(jīng)典的思維。

2.對(duì)課程的內(nèi)容進(jìn)行及時(shí)的更新和選擇。高等數(shù)學(xué)和解析幾何的整合是有一定的規(guī)律可循的，為了讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用技巧的同時(shí)，掌握數(shù)學(xué)思想方法和思維方式，有必要對(duì)課程的內(nèi)容進(jìn)行及時(shí)的更新，讓學(xué)生接觸到數(shù)學(xué)界最新的思維方式和發(fā)現(xiàn)，教會(huì)學(xué)生如何去發(fā)現(xiàn)事物存在的內(nèi)在聯(lián)系，達(dá)到數(shù)與形的高度統(tǒng)一。

比如說(shuō)，加強(qiáng)線性空間、線性變換、二維和三維的線性方程組等內(nèi)容，使得學(xué)生更直觀的理解高維的線性方程組、變換等。充分感受到數(shù)學(xué)抽象之美，思維之美，準(zhǔn)確把握到問題的實(shí)質(zhì)。只有充分鍛煉了學(xué)生的直觀思維、形象思維，學(xué)生才能培養(yǎng)出獨(dú)特的思維能力，從而深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)教材的理解，在此基礎(chǔ)上，拓寬他們的解題思路，反思有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，實(shí)踐所有的理論。當(dāng)然這種思維能力也能夠被運(yùn)用于其他科目的教學(xué)之中，讓學(xué)生受益無(wú)窮。

3.啟發(fā)式教學(xué)。啟發(fā)式的新教學(xué)模式一定要運(yùn)用到新教材內(nèi)容的編寫。因?yàn)闉榱藵M足目前的教學(xué)要求和社會(huì)人才要求，高等代數(shù)與幾何教材的內(nèi)容雖然難以發(fā)生重大的變化，教學(xué)的方式卻可以發(fā)生轉(zhuǎn)變，完成由教師主導(dǎo)的學(xué)生被動(dòng)接受式的學(xué)習(xí)方法向?qū)W生主動(dòng)探索的學(xué)習(xí)方法轉(zhuǎn)變。

具體說(shuō)來(lái)每一章節(jié)的主題要鮮明，并且充分介紹每一章節(jié)的內(nèi)容和章節(jié)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，以便于學(xué)生準(zhǔn)確把握章節(jié)內(nèi)容。其次對(duì)于一些基本理論的講述并不應(yīng)該僅僅停留于結(jié)論，對(duì)于探索的過(guò)程也應(yīng)該盡量展現(xiàn)，這樣有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。在教學(xué)的過(guò)程中除了介紹新的課外的知識(shí)之外，給學(xué)生提供思維過(guò)程，最好留給學(xué)生一定的思維的空間。對(duì)于課后習(xí)題的選擇要慎重，編寫的課程后的一些基本訓(xùn)練題，不能滿足學(xué)生鞏固知識(shí)的要求，因此還要為不同層次的學(xué)生編選一些“復(fù)習(xí)思考題”，只有滿足各個(gè)層次的學(xué)生對(duì)于知識(shí)的需求，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，才能夠改變學(xué)生只會(huì)做題、卻完全不會(huì)研究的學(xué)習(xí)方式。

4.教材結(jié)構(gòu)問題。對(duì)于數(shù)學(xué)的改革，應(yīng)該一直堅(jiān)持精簡(jiǎn)和注重實(shí)際運(yùn)用的原則，再本著利器善事的原則，在課程的設(shè)置上，以代數(shù)為主線，把行列式、線性空間、線性方程等放在前面，讓學(xué)生們還學(xué)會(huì)一些基本的代數(shù)工具，利于后面的學(xué)習(xí)。空間中的向量、向量的相關(guān)性等知識(shí)，對(duì)于解析幾何的學(xué)習(xí)是很有好處的，能夠幫助學(xué)生理解和深化幾何知識(shí)。

同時(shí)，把線性函數(shù)、雙線性函數(shù)、對(duì)稱雙線性函數(shù)等都放在一章節(jié)里討論，能夠在很大程度上節(jié)約時(shí)間和空間，精簡(jiǎn)了大量的教學(xué)內(nèi)容、簡(jiǎn)化問題。

五、整合應(yīng)注意的問題

數(shù)學(xué)是一門抽象性較強(qiáng)的課程，特別是高等代數(shù)和解析幾何，隨著數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，高等代數(shù)和解析幾何的內(nèi)容也越來(lái)越多，其難度也越來(lái)越大，其分歧也越來(lái)越明顯，就會(huì)給高等代數(shù)與解析幾何課程的整合以及學(xué)生的接受能力帶來(lái)嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。我們需要同時(shí)考慮到學(xué)生的接受能力情況下，最大限度的提高課本的更新和提高水平，追求高精尖的內(nèi)容。同時(shí)還需要處理好教學(xué)中的應(yīng)用性和基礎(chǔ)性的矛盾。理論聯(lián)系實(shí)際、學(xué)以致用，是教學(xué)的主要原則。只有通過(guò)應(yīng)用，才能深刻的理解和掌握相關(guān)理論。也只有認(rèn)真的學(xué)習(xí)代數(shù)和幾何課程的基礎(chǔ)知識(shí)，把這些知識(shí)和生活的實(shí)際例子相結(jié)合，培養(yǎng)重要的實(shí)踐能力。對(duì)于老師而言，教學(xué)內(nèi)容的廣度和深度是不能同時(shí)兼得的，因此必須找好平衡點(diǎn)。高等代數(shù)和解析幾何是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，認(rèn)真的學(xué)習(xí)代數(shù)和幾何能夠?yàn)橹蟮膶W(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中收獲相應(yīng)的知識(shí)和必要的基本能力。但教學(xué)時(shí)間有限，如果想深入討論的話，就沒有時(shí)間再?gòu)V泛的介紹其他關(guān)聯(lián)知識(shí);但如果介紹了非常多關(guān)聯(lián)知識(shí)，就沒有時(shí)間再對(duì)某一點(diǎn)進(jìn)行深入的討論。因此，還是需要老師根據(jù)學(xué)校的安排和學(xué)生的實(shí)際情況而定。

六、對(duì)高等代數(shù)和解析幾何整合的建議

隨著計(jì)算機(jī)科技的快速發(fā)展和在人們生活中的普及，高等代數(shù)與解析幾何的教學(xué)必須得到加強(qiáng)。不僅數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生需要對(duì)高等代數(shù)和解析幾何有較深的掌握，非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生也應(yīng)該具備一定的高等代數(shù)和解析幾何的知識(shí)，這樣才能滿足時(shí)代的需求。在這樣的環(huán)境背景下，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐對(duì)高等代數(shù)和解析幾何的整合課程提出如下建議：

一是不同專業(yè)的數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容應(yīng)該有所差異，以信息技術(shù)和數(shù)理統(tǒng)計(jì)兩個(gè)專業(yè)為例，這兩個(gè)專業(yè)都是運(yùn)用數(shù)學(xué)理論來(lái)解決實(shí)際問題，因而必須對(duì)數(shù)學(xué)理論有較深的掌握，主要是對(duì)于矩陣的掌握。但因?yàn)橄嚓P(guān)的大綱未完善，現(xiàn)有的大學(xué)教材中對(duì)于矩陣的求解方法介紹并不是很全面，難以滿足這兩個(gè)專業(yè)的學(xué)生今后實(shí)際的需求，因此必須要進(jìn)行一定的補(bǔ)充。

二是習(xí)題課安排要恰當(dāng)。學(xué)生在學(xué)習(xí)理論課程之外有必要進(jìn)行一定的習(xí)題練習(xí)來(lái)加深自己的認(rèn)識(shí)，鞏固上課時(shí)接收到的知識(shí)。但是當(dāng)今的大學(xué)生的課業(yè)較為繁重，因而數(shù)學(xué)課程的學(xué)時(shí)并不多，如何在理論教學(xué)與習(xí)題訓(xùn)練之間取得平衡是重點(diǎn)。既要通過(guò)理論講授來(lái)讓學(xué)生打好基礎(chǔ)，又要通過(guò)適當(dāng)?shù)牧?xí)題訓(xùn)練來(lái)幫助學(xué)生內(nèi)化知識(shí)。對(duì)于此，應(yīng)給予一定機(jī)會(huì)讓師生之間有思維碰撞的機(jī)會(huì)，以此來(lái)達(dá)到共同進(jìn)步的目的。

三是課程內(nèi)容應(yīng)與計(jì)算機(jī)理論和運(yùn)用密切聯(lián)系。數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)計(jì)算機(jī)的發(fā)展具有很強(qiáng)的重要性，除了在繪圖建模軟件中需要運(yùn)用諸多的數(shù)學(xué)知識(shí)之外，高等代數(shù)同樣是編碼與區(qū)組設(shè)計(jì)的重要基礎(chǔ)。再加上幾何中變換及射影等概念是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的基礎(chǔ);高等代數(shù)與計(jì)算機(jī)理論基礎(chǔ)，即離散數(shù)學(xué)的思想方法是一致的。說(shuō)明整合后的課程內(nèi)容會(huì)對(duì)計(jì)算機(jī)開發(fā)等方面的工作作出極大貢獻(xiàn)。

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（作者單位：銅仁學(xué)院）endprint