透視“三重聯系”的內在層次性

【摘 要】自2011年版數學課程標準頒布以來，“三重聯系”成為數學教育研究者和教師探討和思考數學課堂教學的重要理念，這其中，區分數學知識之間聯系的可能性和現實性、數學與其他學科之間聯系的普遍性和特殊性以及數學與生活之間聯系的淺層性和深層性，可能是深入研究和實踐的方向。唯如此，教師才能在數學教學中更好地踐行“三重聯系”的理念。

【關鍵詞】義務教育;數學課程標準;三重聯系;初中數學;教學設計

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻標識碼】A ? 【文章編號】1005-6009（2015）26-0008-03

【作者簡介】彭亮，南京師范大學課程與教學研究所（南京，210097）博士研究生。

從體會數學與自然及人類社會的密切聯系，到體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，義務教育數學課程標準中關于數學聯系的思想更為明晰，此種變化引發了一些數學教育研究者的關注和探究，與此同時，數學教學實踐也在尋求與之契合的教學手段、方式和設計。鑒于此，深入挖掘“三重聯系”的內在層次性，可能會對教師更好地踐行這一理念有所助益。

一、數學知識間的聯系

無論從一般教學的角度，抑或數學教學的角度，數學知識間的聯系應是教師教學中最為常見也時常運用的聯系方式。但在數學教學中，數學知識間的聯系需要我們教師明確以下兩個層次。

1.可能的聯系。

所謂可能的聯系是指任何數學知識點都可能與其他的數學知識點發生關聯。因此，對于任意一個數學知識點來說，其與整個數學知識都存有一種可能的聯系，這種可能建基于知識之間所形成的網狀型知識地圖。當然，除此之外，各知識模塊之間也存在著或隱或顯的聯系。這些聯系構成了整個初中數學知識的思維地圖，而從這些地圖中，我們可以發現，初中數學知識之間的聯系是復雜的，一個知識點就像一張漁網的一個結點，通過牽動它，整個初中數學知識之網可能全都“舞動”起來。而數學知識間可能的聯系正基于此，即數學知識間存有聯系的可能，并且此種可能性涵蓋了所有初中數學知識點，從教材編寫的角度上來說，每個模塊的知識都遵循著循序漸進的原則，因此在每個模塊之內，數學知識無疑具有著聯系，而在每個模塊之間，數學知識間的共同性使得模塊與模塊之間須臾不能分離，如數形結合的思想即是模塊間知識聯系的反映。

2.現實的聯系。

可是，數學知識間的可能聯系往往不能較好地反映在數學教學中，這中間可能有著“面向教學的數學知識”與“學科知識”和“學科教學知識”間的區別。所謂現實的聯系是指，在初中數學教學中，教師根據具體的數學知識，結合學生的學習狀況，確定最終向學生所呈現的數學知識的聯系。如在教學二元一次方程的概念時，一位教師是這樣設計的：首先教師向學生呈現兩個方程，2x+y=36，2a+3b+3=19，然后讓學生歸納它們的特點（含有幾個未知數？含有未知數的系數是幾次？），最后教師總結，得出二元一次方程的特點——含有兩個未知數，且含有未知數的項的次數都是1次。與之相對，一位教師可能這樣來設計教學：首先引導學生觀察所列的方程：2x+y=36，2a+3b+3=19，然后讓學生歸納這兩個方程的共同特征，隨后讓學生將這些特征與一元一次方程比較，找出相同點與不同點，最后啟發學生給這兩個方程取個名字（二元一次方程）。對比這兩個教學設計，某種程度上二者都體現了關注“數學知識間聯系”的理念。在第一個教學設計中，教師通過與未知數和未知數項的系數的聯系，歸納得出二元一次方程的概念。而在第二個教學設計中，教師則通過與一元一次方程的聯系構建二元一次方程的概念。兩個教學設計的優劣應是高下立判的，究其原因，即是數學知識間可能聯系和現實聯系的差別。對于教師來說，可能聯系只是其進行“三重聯系”的基礎，也就是說，它只是教師的數學學科知識和數學學科教學知識，而現實的聯系則是教師面向教學的數學知識，其區別在于教師能否在教學中契合學生的認知特點，找準知識點間的對應點以及知識點之間的關聯性，如此，可能的聯系才會成為一種現實可行的聯系。

二、數學與其他學科間的聯系

稍微了解一點數學史的人都知道，數學的發展與其他學科的發展存在著密切的聯系，如數學第一次危機的解決同時促進了哲學的發展，20世紀的分析哲學與數學之間的關聯以及模糊數學、數學模型、元數學等思想和理念在自然、人文、社會等領域的運用。由此可見數學對其他學科的基礎地位。但在初中數學教學中，我們需要分辨數學與其他學科間聯系的兩個層次。

1.普遍的聯系。

所謂普遍的聯系是指初中數學知識與初中其他學科知識間存在著密切的聯系，只不過這些聯系有些彰顯，有些隱蔽。這種普遍的聯系反映了數學學科作為一門基礎學科在人類知識發展過程中的基礎性。而對于初中的學科和學生所要學習的知識來說，此種普遍性較為集中地反映在數學與物理、化學、信息技術等自然學科的聯系上，如信息技術中的“算法”即與數學有著非常密切的關聯，另外，有的研究者發現，初中物理課程學習所需數學知識涉及數、比例及代數式的運算知識、基本幾何知識等12項內容。除此之外，數學還可以與人文社會學科聯系，進而培養學生相應的人文素養和基本的社會能力，例如聯系到公民學、社會學的問題，對學生進行“公民教育”的培養。鑒于數學對人的理性精神發展的積極作用，讓學生運用數學的理性精神了解和分析社會公共事物，旨在培養和造就良好的公民，增強社會凝聚力。這種普遍聯系使得數學教學的視野更加開闊，同時，它也使得數學學習更有針對性和應用性。

2.特定的聯系。

當然，對于現實的數學教學來說，數學與其他學科之間聯系的普遍性只是一個前提和事實，倘若教師要真正地將數學與其他學科進行關聯來實行自己的教學，則必須思考和顧及數學與其他學科聯系的特定性，這里的特定性主要表現在兩個方面，一是學科的內容問題，即在初中教育中所涉及的學科，一般都是學生學習意義上的學科，它與科學研究和學科分類上的學科還是有所差別的，這其中，內容的廣度和深度應是二者不容忽視的區別，因此，對于教師來說，怎樣顧及初中學科的特性，合理地關聯初中數學知識點可能是其在普遍性聯系下需要思考的首要問題，如果處理不當，相應的聯系可能會比較生硬和“做作”;二是要注意區分特定內容，初中數學包括“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”以及“綜合實踐活動”四個方面，每個方面的內容都有各自的特點，并且這些內容在歷史發展過程中都與特定的學科有著較為密切的聯系，因而，教師在進行學科關聯時，可能需要從內容的角度，探尋數學內容背后的發展歷程，進而尋求較為合適的關聯學科，從而更好地將具體的數學內容與其他學科的相關內容相互連接。

三、數學與生活間的聯系

反思數學的源起，我們可以發現數學與生活有著密切的關聯，并且數學與生活之間的聯系也是學生學好數學的一個重要方式和手段，20世紀著名數學教育家弗賴登塔爾所提出“現實化數學”思想在某種程度上也是基于此種考慮。不過，在初中數學教學中，數學與生活間的聯系需要注意以下兩個方面。

1.淺層的聯系。

所謂數學與生活的淺層聯系是指數學知識與學生的生活之間“貌似神不合”的聯系，也就是說，生活只是被僵硬地拉進數學知識的學習當中。這種情況常常出現在課堂導入的環節，教師為了刻意引發學生的學習興趣，往往會在課堂導入的環節融入一些生活的情境，以此來激發學生的學習興趣，但是這種“良苦用心”的結果往往“事倍功半”。究其原因，可能是教師沒有領悟數學知識與生活的深層聯系，而只局限于淺層的聯系，從而出現了我們在數學課堂中經常遇到的生活與數學兩張皮的現象。淺層聯系的產生可能還在于我們只從數學來思考生活，很少甚至沒有從生活來思考數學，這二者的區別在于我們思量數學與生活的聯系時，誰居于首位，從生活來思考數學是我們在生活的基礎上思考數學，如此，數學才能有機地融入生活，反之，生活將是被割裂的、虛擬的甚或偽造的。

2.深層的聯系。

正是因為淺層聯系的存在，深層化是數學與生活的聯系的旨歸。它是指教師將數學知識有機地融入自己所選定的生活場景之中。如一位教師在執教《平面直角坐標系》一節時，在課上有意識地提出了三個問題：（1）如果向東走3米記作+3，則向東走5米記作 ;（2）如果向東走3米接著左轉向北走2米，如何標記終點與起點的關系？（3）誰能找出生活中更多的只用數軸不能表示出位置關系的問題？學生通過觀察思考，會提出大量的問題。不但有課本中舉例所說的溫度變化和找座位的問題，而且也有生活中大量存在的此類問題，像確定教室內電扇、電燈、窗格、地板磚的位置，課本中某個字的位置，生活小區中兩樓之間的位置等等。正如上述所說，能否將生活與數學進行深層聯系取決于教師能否從生活的角度來思考數學問題，當然，這里的生活并不是完整的、實在的現實生活，它一定是教師選擇和加工過的生活，而且他選擇和加工的路徑是從生活到數學，而不是從數學到生活。因為生活到數學可能只是限定生活的某些方面抑或理想化生活的某些方面，而從數學到生活，有可能只是從數學來構建所需要的生活，這兩種不同的路徑決定了生活的真實性，進而也影響了數學與生活聯系的深度。

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【基金項目】2011年度江蘇省教育科學規劃重大課題（A/2011/08）：基礎教育課程改革重大理論與實踐問題的深化研究