一道考試題的思考

戴鋒

【摘要】 筆者在本文中由一道考試題展開論述，并提出了自己的一些思考。

【關鍵詞】 考試題 教學方法 思考

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2015）04-076-01

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一、問題的提出：

考試題目：求函數y=（cosx+1）（sinx+1）的值域。

高一學生剛學過必修4三角函數的學生，600人參考，能完全解決該題的只有83人，解答的正確率不高。從學生的解答情況看，在解答正確的學生中，大多數用的換元法解決的，而沒有解決的學生基本都能化簡到y=sinxcosx+sinx+cosx+1（*）。詢問做對的同學怎么想到解決問題的方法時，他們中大多數的回答是老師教的，用換元法做。至于為什么這樣做？或者怎么想到這樣做？他們都講不清楚。這值得我們老師反思，為什么會出現這樣的情況？

筆者和幾位老師交流，多數老師在講解該題時直接告訴學生用換元法，并沒有幫學生分析清楚為什么用換元法。大多數老師認為無需多啰嗦，這種題只要記得就行了。那這道題可不可以分析一下解法的來由呢？

二、對問題的幾點思考：

思考一：

函數（*）式中出現了sinxcosx和sinx+cosx，從次數上看，sinxcosx是二次，而sinx+cosx是一次，那么函數（*）就是一個矛盾的組合體，如何解決這一矛盾呢？我們還得從他們的次數入手，必須將2個矛盾的部分統一。是統一成一次還是統一成二次呢？經過推敲，很快可以想到，統一成二次比較方便。只需平方即可，再借助于我們熟知的sin2x+cos2x=1，矛盾可以統一。這一思維過程的構建，就是“換元法”的本質所在。

由以上分析，只要抓住主要矛盾，令sinx+cosx=t，平方得到：sinxcosx=t2-12，這樣（*）就變成了一個二次函數y=t2-12+t+1，當然t的范圍也是一個小小的坎，只要越過這個小小的坎，問題就不在話下了。

思考二：

在解題的過程中，也有不少同學沒有想到換元，而是試著把sinx+cosx=2sin（x+π4），將sinxcosx=12sin2x，接下來就做不下去了。那我們能不能沿著這種思路考慮下去呢？考慮到出現了2個不同的角x+π4和2x，倘若我們能將這2個角統一的話就好了。角x+π4和2x有什么關系呢？有！2x+π4=2x+π2，所以函數

y=sin2x2+2sinx+π4+1

=-cos2（x+π4）2+2sinx+π4+1

=2sin2x+π4-12+2sinx+π4+1

=sin2x+π4+2sinx+π4+12

下面問題就轉化為二次函數在閉區間上的值域問題，應該不難解決。實際上，在教學過程中，很多教師并沒有發現這一“起死回生”的解法，甚至扼殺了讓學生尋找變量之間關系的良好機會。所以我們老師講解這一題時，并不一定要逼著學生往“換元法”上走。以上突破過程，比固定模式的的換元法更有意義，更能讓學生留下深刻的印象，也是讓學生進行思維提升的良好素材。

思考三：

以上我們拿到式子后就將式子展開，是否一定要展開呢？展開之前有2個式子cosx+1和sinx+1，而展開后出現了sinx，cosx和sinxcosx三個式子，變多了。能不能不展開直接處理呢？式子中出現了sinx與cosx，它們能否統一成同一個函數呢？

我們可以想到萬能代換，sinx和cosx這2個異名函數都可以統一成tanx2，即

y=2tanx21+tan2x2+11-tan2x21+tan2x2+1=21+tanx221+tan2x22

不難想到，下面可以用求導求函數的最值，剩下的就是計算了！

三、對我們教學的啟示：

以上三種思考體現了對同一問題的不同視角，貫穿始終的就是化歸思想。

至此，我們冷靜地思考一下平時的教學，我們教師是不是講得太多，學生參與思維的體驗太少了？在教學過程中如何突顯學生的主體地位？我們教師如何做一個出色的組織者，引導者，讓學生通過親身經歷數學知識的產生過程。從而加深對數學知識的理解。

在平時教學過程中，我們有沒有在新課程理念的指導下組織教學。對于那種“灌輸式”、“填鴨式”教學，學生依然是被動式接受，學生并不能從數學學習中體會到數學的本質，而是一種死記硬背式的學習，這并不符合建構主義的認知規律。這就意味著我們教師要從關注教學內容的結論性向關注知識生成的過程性上轉變，教師應該通過合理的數學活動讓學生在其最近發展區感悟數學知識的生成，這樣的數學教學活動才能使學生留下深刻的印象。

作為老師，我們要幫組學生從“死胡同”里走出來或者越過去，這個過程需要老師的正確引導，需要師生的共同分析。這一過程處理得好，可以激發學生的學習動機，塑造學生良好的思維品質，培養學生的創新能力。