類比引領 問題驅動 自主探究

【關鍵詞】教學設計;二項式定理;類比;問題;探究

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）30-0043-03

【作者簡介】王偉，南京市第一中學（南京，210001）教師。

【教學過程】

一、創設情境，激發興趣

師：在必修3課本中，有一道課后習題，我做了適當改編，請同學們思考。

（問題1）口袋中有形狀大小相同的一只白球和一只黑球，先摸出一只球，記下其顏色后放回，再摸出一只球，記下其顏色后放回……（用a代表白球，b代表黑球），如果有放回的摸兩次，共有多少種結果？

生1：枚舉法，共4種，分別是aa，ab，ba，bb。

生2：利用乘法原理，2×2=4。

設計意圖：傳統教法中，《二項式定理》這節課往往由（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展開式歸納猜想（a+b）n的展開式。本節課，我通過把握新知與舊知的最佳結合點創設問題情境，從知識間的內在聯系、邏輯發展入手，引導學生主動探究，從而通過知識的遷移形成新的知識，并通過摸球問題的引入為后續學習隨機變量及其概率分布中二項分布做鋪墊。

二、類比引領，問題驅動

師：如果有放回的摸三次球，共有多少種結果？

生1：由乘法計數原理，共8種。

師：哪8種？

生2：aaa，aab，aba，abb，baa，bab，bba，bbb。

設計意圖：一個問題有多種解決方案，枚舉法或者計算原理，復習舊知，凸顯計算原理的優越性。

師：（問題2）在有放回的摸三次球所得的結果中，如果按照取出白球的個數進行分類，共有幾類？每類有多少種結果？如何得到？

生1：共4類，分別是3個白球，2個白球1個黑球，1個白球2個黑球，3個黑球。

生2：每一類分別有1，3，3，1種情況，可以由上一問的8種結果得到。

生3：比如說得到2個白球1個黑球，就相當于在三次摸球中有兩次出現了白球，可以由組合知識得到，用組合數表示為C■■種。

師：類似地，其他幾類如何用組合數表示？

生4：分別為C■■，C■■，C■■。

師：通過對有放回的三次摸球的研究，你能聯想到哪個公式？

生：完全立方公式。

師：展開式是什么？

生：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3。

設計意圖：通過追問激發學生自主探究的欲望，并引導學生利用排列組合的知識解決相關問題。

師：（問題3）（a+b）3的展開式與有放回的摸三次球有何聯系？請同學們四人一組討論。

生1：展開式中各項系數和摸球問題中每類情況的種數一樣。

生2：展開式中各項系數和為8，而摸球問題中共有8種情況，兩者一樣。

生3：感覺展開式中的項和摸球問題的每一類是一樣的，比如a2b這一項相當于是摸出2個白球1個黑球，但說不清理由。

師：哪個同學能幫他解釋一下？

生4：（a+b）3可以看成三個（a+b）相乘，展開式中每一項都是由每個括號中各取一個字母相乘得到，比如說要想得到a2b這一項，相當于在三個括號中有兩個取a，一個取b，然后相乘得到，這和三次摸球問題中有兩次取到白球一次取到黑球是一樣的。

師：同學們剛剛的回答都找出了（a+b）3與三次摸球問題之間的聯系，特別是最后一個同學，將（a+b）3的展開過程和摸球問題之間的等價關系分析得非常透徹。

設計意圖：通過小組合作交流，引導學生化抽象為具體，將（a+b）3展開的過程和結果與摸球問題進行類比，找出兩者之間本質的聯系。

師：根據對三次摸球和（a+b）3展開式之間的聯系，你能否寫出（a+b）6的展開式？（學生黑板板書并說明理由）

生：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6。

師：請說明理由。

生：（a+b）6相當于六個（a+b）相乘，展開式中每一項都是由每個括號中各取一個字母相乘得到，如果每個括號中全部取a，得到a6，共C■■種，如果有五個括號中取a，一個括號中取b，得到a5b，共C■■種，依此類推，可以得到其他項。

師：（a+b）6的展開和摸球問題有何聯系？

生：（a+b）6的展開相當于有放回的摸六次球，比如說a5b這一項，相當于六次取球中有五次取白球，一次取黑球。

設計意圖：鞏固（a+b）3的展開式的研究方法，自主探究特殊情況下（a+b）n的展開式，再次將展開過程與摸球問題進行聯系，進一步體驗展開式中每一項與每項系數的產生過程，為后續研究（a+b）n做鋪墊。

三、自主探究，形成定理

師：我們已經探究了（a+b）3，（a+b）6的展開式，接下來研究一般情況，你能否寫出（a+b）n（n∈N*）的展開式？

生：（a+b）n=C■■an+C■■an-1b+…+C■■bn。

師：請說明理由并說出（a+b）n展開式與摸球問題之間的聯系。

生：（a+b）n相當于n個（a+b）相乘，展開式中每一項都是由每個括號中各取一個字母相乘得到的，如果每個括號中全部取a，得到an，共C■■種，如果有n-1個括號中取a，一個括號中取b，得到an-1b，共C■■種，依此類推，可以得到其他項。（a+b）n相當于有放回的摸n次球，比如說an-1b這一項相當于在n次取球中取出n-1個白球和一個黑球。

師：能否用一個統一的式子來表示展開式中的每一項？

生：C■■an-rbr。

師：r的取值范圍是什么？

生：0≤r≤n，且r為整數。

師：剛剛探索的（a+b）n的展開式就是我們這節課所要學習的內容——二項式定理（板書課題）。

師：同學們剛剛對（a+b）n的展開式說明理由的過程就是對二項式定理的證明，二項式定理的證明采用“說理性”證明，我們通過PPT一起回顧一下（PPT展示證明過程）。

設計意圖：通過類比（a+b）3，（a+b）6展開式的探究方法，由學生自主探究得出（a+b）n的展開式。二項式定理的證明采用“說理”的方法，培養學生類比推理及演繹推理的能力。

師：二項式定理的左邊稱為二項式，右邊稱為（a+b）n的二項展開式，請同學們思考，（a+b）n的二項展開式有何特點？

生1：各項系數具有對稱性C■■=C■■，C■■=C■■…

生2：共有n+1項。

生3：各項都是n次。

師：各項字母是如何排列的？

生4：各項按照字母a的降冪排列，按照字母b的升冪排列。

師：字母的次數如何變化？

生5：字母a的次數從n次到0次，字母b的次數從0次到n次。

設計意圖：讓學生自主觀察發現二項展開式的特點，加深對二項式定理及二項展開式的認識。

四、新知運用，鞏固深化

師：學習了二項式定理，我們接下來看二項式定理的應用。

例1：利用二項式定理展開下列各式。

（1）（1+■）4;

（2）（a-b）6。

設計意圖：通過簡單應用掌握二項式定理，在解決（2）時應構造符合二項式定理的使用形式。

例2：在（1+2x）7的展開式中，求：

（1）第3項的二項式系數;

（2）第3項的系數，展開式的通項，區別二項式系數和項的系數。

師：求（a+b+c）6展開式中a2bc3的系數。

生1：（a+b+c）6=[a+（b+c）]6，第5項為C■■a2（b+c）4，（b+c）4的展開式中bc3的系數為C■■=4，所以a2bc3的系數為60。

生2：（a+b+c）6可以看成六個（a+b+c）相乘，要得到a2bc3這一項，相當于在六個（a+b+c）中有兩個選a，還有四個（a+b+c）中有三個選c，一個（a+b+c）中選b，所以a2bc3的系數為C■■·C■■=60。

師：第一種解法是構造二項式定理的使用形式，然后由展開式得到a2bc3這一項;第二種解法則是類比（a+b）n的展開過程。

五、概括知識，總結方法

師：這節課我們學習了哪些知識？

生1：二項式定理。

生2：二項展開式的特點及二項式系數和通項。

師：這節課我們用到了哪些數學思想方法？

生1：類比轉化，由有放回的摸球問題進而得到（a+b）n，這是一種類比轉化的思想。

生2：先研究（a+b）3、（a+b）6的展開式，再探索（a+b）n的展開式，這是從特殊到一般的思想。

【教后反思】

一、立足學生，樹立生本意識

《普通高中數學課程標準（實驗）》指出，學生的學習活動不應只限于對概念、結論和技能的記憶、模仿和接受，獨立思考、自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學等都是學習數學的重要方式，但要注意的是，必須關注學生的主體參與、師生互動，教學中，應鼓勵學生積極參與教學活動，包括思維的參與和行為的參與?？梢哉f，缺少學生參與的課堂教學一定是低效的。一方面，教師應營造寬松的教學氛圍，讓學生有較多的展示機會;另一方面，課堂上教師應敢于放手，凡是學生能自己解決的問題，決不包辦代替，凡是學生能自己思考的問題，決不進行暗示。

關注學生的主動參與，其背后是以學生為本的理念。本節課的教學為學生搭建了較為充分的平臺。注重知識的形成過程，讓學生有更多的參與機會，新知的建構比較自然，每一個教學環節的推進都是在學生思維的最近發展區進行的，更多的課堂時間留給學生思、算、答和板演。

二、設置問題，引領學生探究

“問題解決”是數學教育的核心，在課堂教學中設計“好”的問題是極其重要的。在每節課中，教師首先應努力做到給學生提供輕松愉悅的氛圍和生動活潑的環境，將學生置于主動參與的位置;其次，問題的提出應從學生的已有經驗出發，引起學生追求結論的欲望，激勵學生大膽地通過獨立思考與合作探究尋求解決問題的策略，在必要時進行適當引導;最后，還應對問題解決的方案進行反思、總結，歸納出問題解決的核心思想。

本節課從“摸球”問題開始探究，借助問題來推進教學。通過問題串的設計，創設良好的思維環境，引導學生以問題為主線，由問題驅動，使學生的思維始終處于“問題提出—問題解決”的狀態中。經由教師引導，學生自主探究得到二項式定理。

三、立足課堂，傳遞學科價值

我認為，高中數學的學科價值在于以下三個方面：傳遞初等數學知識，進行邏輯推理訓練，培養科學精神。通常，人們把微積分以后的數學稱為高等數學，而把此前的數學稱為初等數學。中學所講的數學知識是學生在未來的工作與學習中所必需的基礎數學知識。數學知識的連續性很強，要想學好高等數學，就得先學好初等數學。本節課的教學內容《二項式定理》在高等數學中的微積分、極限等知識中具有廣泛應用。以上是傳遞知識層面的，數學的學科價值更為重要的是對青少年的心智潛能等方面進行深刻的、長遠的開發與提升，這是其他學科所不能代替的。

數學的學科價值的另一個體現是能夠對學生進行邏輯推理訓練。本節課的教學設計中，學生通過對有放回的摸球問題的研究，進一步探究得到二項式定理，這本身就運用了類比轉化的數學思想。由（a+b）2、（a+b）3、（a+b）6的展開式進一步得出（a+b）n（n∈N*）的展開式，這體現了從特殊到一般的數學思想方法。學生從數學課中培養起來的思考能力及推理能力，將伴隨著他的終身。一個人分析問題、解決問題的能力和創新能力，對其日后的學習與工作是尤為重要的。

數學的學科價值還在于科學精神的培養，比如要求概念的準確無誤與推理的嚴謹。科學精神的培養要求科學地提出問題，一堂好的數學課，當然應該生動、有趣、活躍。但這僅僅是一個手段，而不是我們的目的。僅僅是課堂氣氛活躍，而討論的問題沒有價值，不能算一節好的數學課。數學是一門演繹學科，在課堂教學活動中，應把教學活動的重點放在概念的準確理解與邏輯推理上。中學數學中的概念大多容易被學生接受，所以，一般來說，沒有必要設計一些特殊的場景在課堂上演示。

四、多元評價，發展學生學力

學力的培養、形成和發展離不開評價，因此，課堂上應建立相應的促進學生學力發展的評價機制。過去習慣的學業評價，其本質應是學生的“學力評價”，教育與教學的過程是學習者自身“發現意義”“建構意義”的過程，不能簡單地歸結為單純的“知識記憶”“知識積累”。這就要求我們更多地傾向于過程性評價、發展性評價和個性化評價，強調評價的真實性，重視提升學生解決問題的能力，促進學生在學習中形成積極主動的學習態度。因此，教師應將教學評價貫穿于整個教學過程之中，關注教學過程中的活動與事件，尤其是學生在教學過程中的各種具體表現，這應成為評價教學效果的根本依據。

對學生在本節課中的表現進行評價，應關注以下幾方面：（1）學生在小組討論“有放回的摸三次球和（a+b）3的展開式的聯系”這一問題的參與程度;（2）學生在課堂活動中的交流情況，具體表現為能否積極參與二項式定理的發現探究過程，能否及時表達自己的想法等;（3）學生思維水平的表現，如創造性、靈活性等。課堂教學的即時評價根本目的是促進學生的發展，不僅能有效地提高學生的學習興趣，在學生心坎里播下希望的種子，而且能使學生明確今后進一步努力的方向。

數學作為一門科學，其實用價值已得到充分顯示，然而，數學更是一種文化，滲透到人類生活的每一個角落。這決定了數學教育不僅要傳授知識，還要培養能力、提高素質。在數學教學中，教師首先應更新自身的教育觀念、改進教學方式、注重學習過程的評價，最終傳遞數學學科價值，發展學生學力。

（注：王偉執教的“二項式定理”一課獲2015年“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學展評活動特等獎）