一道高考題的推廣

何儒彬

1.問題的提出

2014年四川省高考理科第20題是這樣一道題：已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設F為橢圓C的左焦點，T為直線x=-3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.

（?。┳C明：OT平分線段PQ（其中O是坐標原點）；

（ⅱ）當■最小時，求點T的坐標.

筆者在對該題中的第（2）小題進行探討時，發現該結論可以推廣到更一般的情形.

2.問題的推廣與證明

由于第（2）小題結論（?。τ跈E圓來說是一個一般性結論，筆者認為，該結論對于雙曲線也應該成立，當附加一定的條件時，結論（ⅱ）對于橢圓（或雙曲線）應該有一般表達式.

筆者通過深入探究，發現如下一般性結論：

推廣一：如圖1橢圓C：■+■=1（a>b>0）的焦點為F，T為橢圓準線上任一點（焦點和準線在y軸同側），過F作TF的垂線交橢圓于P，Q兩點，則有：

（1）OT平分線段PQ（其中O是坐標原點）；

（2）當c>b時，■有最小值■，這時T點坐標為（-■，-■或（-■，■）；

（3）當T是非x軸上的點時，K■K■=-■；

（4）若P關于坐標原點O的對稱點為P′，則P′Q||OT.

證明：不妨設F（-c，0）為橢圓的左焦點.橢圓左準線：x=-■.

設T（-■，m），則K■=-■，當m=0時，T為橢圓左準線與x軸的交點，這時PQ為橢圓的通徑，OT平分PQ.當m≠0時，因為TF⊥PQ，由K■K■=-1得K■=■（1）

所以直線PQ的方程為y=■（x+c），設P（x■，y■），Q（x■，y■），

聯立■+■=1y=■（x+c）得（a■b■+c■m■）x■+2a■b■cx+a■c■（b■-m■）=0

因為△=4a■b■c■-4a■c■（a■b■+c■m■）（b■-m■）=4a■c■m■（b■+c■m■）>0

所以x■+x■=-■（2）

x■x■=■（3）

由y■+y■=■（x■+x■+2c）=■（2c-■）=■

得PQ的中點G（-■，■）

計算K■=-■，K■=-■得K■=K■.

由此知O，G，T三點共線，即直線OT過線段PQ的中點G，所以OT平分線段PQ.

計算|TF|=■=■（4）

|PQ|=■■

（5）

把（1），（2），（3）式代入（5）式，整理得|PQ|=■（6）

由（4）式，（6）式計算得比值

■=■=■■=■=■

=■■

=■■

≥■■=■.

當c>b時，解出m=±■■，此時■有最小值■，T為（-■，■■）或（-■，-■■）.

根據結論第（1），（2）題證明已計算出K■=■，K■=-■易得K■K■=-■.

點P（x■，y■）關于坐標原點O的對稱點為P′（-x■，-y■），P′Q的斜率K■=■=■/-■=-■，即直線P′Q與直線OT的斜率相等，所以P′Q||OT.

推廣二：如圖2，雙曲線C：■-■=1的焦點為F，T為雙曲線準線上任一點（焦點和準線在y軸同側），且點T的縱坐標m≠±■，過F作TF的垂線交雙曲線于P，Q兩點，則有：