談計算教學中如何培養學生的數感

潘建軍

[摘 要]學生數感的培養應貫穿數學教學全過程。在四則混合運算教學中，培養學生的計算能力是主要目標，但并不是唯一的目標，教師還要有意識地注重學生數感的培養，這也是一個十分重要的任務。培養學生的數感主要是對運算結果的估計，這樣能使看似機械枯燥的四則混合運算“活”起來，增強課堂教學的生命力。

[關鍵詞]數感 四則混合運算 估測 思考

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）26-028

課前思考

數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。同時，數感是《數學課程標準》（2011版）提出的十個核心概念之一，位于十個核心概念之首，并將數感表述為感悟，揭示了這一概念的兩重屬性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、領悟。而且，史寧中、呂世虎認為：“數感是對數的感悟。‘感是外界刺激作用于主體而產生的，是通過肢體（如感官等）而不是通過大腦思維，它含有原始的、經驗性的成分。‘悟是主體自身的，是通過大腦思維而產生的。‘感悟既通過肢體，又通過大腦。因此，‘感悟既有感知的成分，又有思維的成分。”

很明顯，在“整數四則混合運算”復習中，培養學生的數感主要是對運算結果的估計。我認為，結合四則混合運算，對運算結果的估計可以分為三個層次：第一層次，在四則混合運算中，要有判斷計算結果的意識；第二次，在第一層次的基礎上，既能根據有關的特殊數的規律，如0乘、除任何數都得0等，又能根據所積累的相關計算經驗，如和大于加數、差小于被減數等，靈活合理地估測結果，進一步提高估測的能力；第三層次，在第二層次的基礎上，能對提供的運算數據和符號進行適當的變形，主動創造條件，合理靈活地估測結果。這三個層次都有對運算結果的估計，但估測水平是不一樣的，從最基本的對一步計算結果的估測，到比較高級的混合運算結果的估測，再到根據已有數感自覺地對提供的運算數據、符號進行變形，靈活、簡捷地估測多步計算的結果。能力的提高本身就是一個漸進的過程，需要在自身的實踐活動中不斷地積累經驗，并通過對運算數據與符號的處理和對估計結果與實際結果的不斷比較，優化估計認識，從而使數感漸漸得到發展。

課堂回放

教學片斷一：

出示題目：下面幾題的一般運算順序是怎樣的？你能用①②③④在練習紙上標出來嗎？

（1）816+816÷12 （2）800-800÷16×12

（3）（132+68）×（97-57） （4）702÷（720-21×33）

師：運算順序明確了，在具體計算前，我們再來判斷一下第（1）和第（2）題，哪一題的得數大一些？說出你的理由。

生1：第（1）題的得數大于816。

師：你是怎么思考的？

生1：816加上一個數的和肯定大于816。

生2：816加上一個數就是再往后數幾個數，當然是越數越大。

生3：第（2）題的得數小于800。

生4：800減一個數，就是從800往前數幾個數，越數越小。

師：也就是說，第（1）題的得數大于第（2）題的得數。

[反思：對于任何一道四則混合運算題，首先要有估算的意識，而不是一味地動手計算。學生對運算數據和符號的觀察，需要借助一定的載體，源于一定的問題。因此，課堂教學中，教師出示題目后，不是讓學生馬上動筆計算，而是讓學生先估計并比較兩題結果的大小，使學生對計算有一定的期盼。但對結果的估計，不是無邊無際的，而是有一定的依據，如和與加數的大小關系、差與被減數的大小關系等，這些都是已有的經驗，需要對這樣的經驗不斷進行喚醒，在激活、運用的過程中提升學生的元認知能力，這樣數感的培養才能真正落到實處。]

師：你能不改變數據和符號，添上括號讓第（1）題的得數變小一些嗎？

生5：（836+836）÷12。

師：怎么判斷它的得數變小？

生6：（836+836）÷12=836÷12+836÷12，與816+816÷12相比，一個加數836÷12相同，另一個加數836÷12<836，所以得數變小了。

師：嚴密的推理證明。

生7：其實，結合生活很容易理解，即兩個數合在一起被分，肯定小于只有一個數被分的。

師：第（2）題的得數能不能再小一些？怎么辦？

生8：（800-800）÷16×12。

師：得數是多少？

生：0。

師：0是一個特殊的數，在計算中利用它的特殊性可以幫助我們估測和計算結果。

……

[反思：初步計算后，教師不是就此結束教學，而是引導學生進一步思考：“你能不改變數據和符號，添上括號讓第（1）題的得數變小一些嗎？”這時問題聚焦于怎樣根據數據的特點，通過改變運算順序，達到改變計算結果的目的。這對于發展學生的數感是非常有幫助的，因為對計算結果的估計往往是在綜合觀察及思考運算數據與數據、運算符號與符號、運算數據與符號的基礎上，對整個算式的一種全局性把握，而且這樣一種整體把握常常需要借助于算式與算式之間的比較，才能更好地激活思維，發現計算數據與數據、數據與運算符號之間的微妙關系。這是數感的一種具體體現，所以應不斷積累、優化對這樣微妙關系的認識，這樣數感的培養就有了堅實的基點作支撐。學生對于怎么判斷得數變小的思考過程的暴露，就是物化學生“悟”的過程，使數感的發展從無形變有形、從內隱變外顯，變成一種可共享的資源，從而將數感的發展變得有形有跡，而不再是虛無縹緲的。]

教學片斷二：

師：41×99，誰能算？

生1：41×99=41×（100-1）=4100-41=4059。

師：依據是什么？

生1：乘法分配律。

師：有沒有不同的思考？可以列豎式計算嗎？

生：可以。

師：我們為什么不選擇列豎式計算？

生：因為可以簡算。

師：簡算更利于鍛煉我們的思維。如果改成41×90，該怎樣算？

生2：將41×90看成41×9，再在積的末尾添上一個0。

師：依據是什么？

生2：乘法結合律。

師：算法為什么不一樣？

生：數據不一樣。

師：那改成41×25呢？

生3：41×25=（40+1）×25=40×25+25=1025，這是依據乘法分配律進行簡算的。

師：再改成44×25，怎樣算？

生4：44×25=（40+4）×25=40×25+4×25=1100。

生5：44×25=11×4×25=11×100=1100。

師：反思這一組題，為什么算法都不一樣？你對這樣的計算題有什么想說的嗎？

生6：需要仔細觀察問題，根據具體數據的特點，靈活運用所學知識，合理地進行巧妙計算。

……

[反思：數感哪兒來？數感不是對數的被動感受，而是在實際解決問題的過程中，通過不斷地對比、感悟，才能使自己對相關數據的感受逐漸深刻。同樣的乘法，類似的相關數據，但就是這么細微的差別，往往決定了所用計算方法的不同，而這樣的不同，就是對不同數的不同感受。這樣不同的感受，可以幫助學生在解決實際問題的過程中，很快地對運算結果進行估計與把握，因為估算與精算往往是相輔相成的。只有不斷提高學生的精算能力，學生的估算能力才能不斷得到提升。數感好的人，往往不必借助計算器就能對相關的計算結果做出估計，且結果八九不離十；而數感差的人，對運算結果毫無感覺，甚至有時運算結果與正確結果已經相差十萬八千里，但還蒙在鼓里，渾然不知。]

課后感想

如何培養學生的數感，我想了很多，有一天觀察學生的作業，更感到數感對于學生學習的重要性。如一位學生計算（2.8+27.2）×0.5時，第一次算成了（2.8+27.2）×0.5=3×0.5=1.5，我指出2.8+27.2不可能等于3后，他又算成了（2.8+27.2）×0.5=35×0.5=17.5。該學生計算出現錯誤的原因有多方面的，而且對運算結果的估計幾乎是空白的。所以，對于一門與數據打交道的學科來說，如果沒有對運算結果的一定估計能力，時刻在運算過程中保持對結果可能性的一種自我監控，那么這樣的學習效果可想而知，這可能也是《數學課程標準》把數感作為十個核心概念之首的原因吧！

作為基本的數學素養，對學生數感的培養，教師真的不能沒有作為。那么，怎樣培養學生的數感呢？就四則混合運算的教學而言，我想：“結合具體的計算環境，提供具有鮮明對比度的變式練習，通過一題多變、一題多用等訓練，在學生深切的感受中，或許數感能慢慢地培養起來。”隨著學生計算活動的豐富，計算中獲得的許多緘默性的知識，需要教師及時地幫助學生進行激活、喚醒，依靠這樣的激活、喚醒，學生對混合運算結果的估測水平才能不斷得到提高。

學生是天生的學習者，在數感培養的過程中，學生不是沒有能力的，更多的時候是因為沒有平臺、沒有翅膀，而沒有飛翔的機會。從學生的反映來看，首先，學生對于這樣的計算練習，由于充滿挑戰性而倍感興趣，且計算需要按一定的程序操作，更需要思考怎樣合理簡捷地操作；其次，數據的特殊性本身就是數感的重要組成，只有感受到不同數據、不同計算情景中的不同特殊性，數感才能真正發展起來；再次，計算能力的提高是一個綜合實踐的結果，其中估測能力與精算能力的和諧發展才是有效的。反之，混合運算教學中如果一味地重復練習，相類似的習題之間缺少對比，連學生的感官都進入不了的話，又何談關于數的感悟呢？

（責編 杜 華）