基于劉徽“割圓術”的向心加速度推導

李都 姜付錦 李弼

摘? ?要：圓周運動向心加速度表達式的推導是高中物理教學中的重點和難點。從臺球運動中受到啟發，基于劉徽“割圓術”來推導向心加速度表達式。引導學生通過逐漸增加圓內接正多邊形邊數的折線運動逐漸逼近圓周運動，依此來推導向心加速度，開闊學生視野，培養學生核心素養。

關鍵詞：向心加速度；劉徽“割圓術”；核心素養

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2023）8-0062-3

向心加速度是高中物理中一個非常重要的概念，是后面很多知識的基礎。行星繞中心天體的運動規律的研究，科學儀器如質譜儀、回旋加速器和離心機的構造，都需要理解圓周運動的向心加速度。為什么做勻速圓周運動的物體速度大小不變而方向改變時會存在加速度？為什么加速度方向指向圓心？加速度大小與軌道半徑和速度之間的關系如何？回答這些問題，需要深刻理解向心加速度表達式的推導過程。

教材中向心加速度的推導，用了速度矢量運算法則、小角度的三角函數、極限思想等，但缺少必要的從直線運動到曲線運動的過渡［１－２］。這種推導對學生而言，理論性較強，數學知識要求較高，學生普遍感到很難理解，導致學生在學習“向心加速度”時有畏難情緒，甚至對這種推導的正確性產生懷疑［３］。大多數學生最后只是被動地記住了推導的結論，沒有真正達到培養學生核心素養的目標。

本文基于劉徽“割圓術”來研究圓周運動［4］。其基本思想是通過等分圓周，構造圓內接正多邊形的折線運動，在逐漸增加圓內接正多邊形邊數的基礎上，用圓內接正多邊形的折線運動逐漸逼近圓周運動，以此來求解圓周運動的規律。

１? ? 學生動手實驗，體驗圓周運動中的力

圖１為正方形臺球桌的實物照片。讓一組學生將臺球從正方形臺球桌任意一邊的中點擊向相鄰邊的中點，臺球在臺球桌上的運動軌跡如圖２所示。臺球在沒有與臺球桌發生碰撞時，不考慮阻力，由于慣性，它只能做勻速直線運動。通過這個有趣的實驗，學生可以體驗到正是由于臺球與臺球桌的碰撞導致臺球偏離原來的直線運動。每隔一段時間會有一系列同樣強烈的撞擊，臺球會沿著環形折線運動。臺球與臺球桌之間發生碰撞的力為彈力，而彈力的方向與臺球桌的邊沿垂直，即指向環形折線外接圓的圓心。如果條件允許還可以用正六邊形或者圓形臺球桌做這個實驗。

２? ? 理想實驗，推導向心加速度表達式

２．１? ? 理想正六邊形臺球桌，構造臺球軌跡

正六邊形臺球桌如圖3所示。使臺球從正六邊形臺球桌的某一邊的中點沿與臺球桌成３０°的方向以速度ｖ射出（圖4），在理想情況下不計所有摩擦阻力，不計臺球與臺球桌碰撞過程中的能量損失。根據牛頓第一定律，在沒有外部影響的情況下，在兩次碰撞之間臺球將保持勻速直線運動狀態。

定義一個標準碰撞：一旦臺球到達臺球桌的邊界，臺球桌給它一個沖量Ｉ（箭頭表示），臺球偏向另一側繼續沿直線運動，直到此直線運動再次到達臺球桌的邊界，臺球桌再次給它一個沖量，完成一次標準碰撞過程。經過若干標準碰撞，形成一個閉合路徑。

在此可以設計幾個問題讓學生討論回答：

（１）需要與臺球桌側面撞擊多少次才能使臺球形成一個完整的閉合路徑？臺球的軌跡是什么形狀？（６次，臺球的軌跡是正六邊形）

（２）臺球桌給臺球的撞擊力方向？（臺球桌對臺球的撞擊力為彈力，方向垂直于臺球桌邊沿，即指向臺球桌內切圓的圓心）。

２．２? ? 量化平均加速度

在圖4基礎上作出一個標準的碰撞過程，如圖５所示，臺球的平均加速度為

圖５中，在一個標準碰撞中，臺球平行于臺球桌邊緣的速度不變，垂直于臺球桌邊緣的速度方向發生變化，可得速度變化量為

Δv=2v⊥=2vsin30°（2）

完成一次標準碰撞所用時間為

由（1）（2）（3）式得

２．３? ? 基于劉徽割圓術的向心加速度推導

接下來，可以引導學生分析圓內接正十二邊形、圓內接正二十四邊形……來求解量化平均加速度（圖6，圖7）。

在此以圓內接正十二邊形為例設計問題引導學生探究。

（１）在一個標準碰撞過程中，臺球桌邊緣對臺球的力的方向是怎樣的？

（２）在一個標準碰撞過程中，臺球的速度變化量為多少？

（３）完成一次標準碰撞的時間為多少？

（４）求出平均加速度的表達式。

（５）能不能通過圓內接正二十四邊形探究平均加速度？

（６）通過以上探究你發現了什么規律？

割圓，從字面上理解，就是分割圓周。通過等分圓周，構造圓內接正多邊形，在不斷增加圓內接正多邊形的邊數基礎上，用圓內接正多邊形運動逐漸逼近圓周運動。通過以上探究，學生可以體會到，分割越細，越接近圓周運動，完成一次碰撞的時間越短，求出的平均加速度越接近于瞬時加速度，加速度的方向指向正多邊形的中心即外接圓的圓心。

３? ? 結束語

從生活中熟悉的臺球運動構建理想化模型的抽象過程，培養學生的科學思維。滬科教版教材在第二章第二節的旁注中介紹了我國數學家劉徽首創的“割圓術”。本文引導學生采用劉徽“割圓術”的方法，將圓周運動看成無數個直線運動的組合，由淺入深，創設了具體的物理情境，啟發學生步步思考，直抵圓周運動向心加速度的本質，為培養高中學生“微元法”這一高階思維提供了一個很好的案例。劉徽割圓法的“微元”思想這一中國古老方法在向心加速度中的應用，也增強了學生的民族自豪感。

參考文獻：

［1］李振宇，胡睿佳，婁青青．向心加速度公式的幾種推導方法［Ｊ］．湖南中學物理，２０１５，３０（１）：６９－７０．

［2］張智．勻速圓周運動向心加速度公式推導方法［Ｊ］．湖南中學物理，２００９，24（７）：４０－４１．

［3］郭書春．關于劉徽的割圓術［Ｊ］．高等數學研究，２００７，10（１）：１１８－１２０．

［4］倪紅飛．一種更符合學生認知規律的推導——向心加速度的教學建議［Ｊ］．物理通報，２０１７（４）：４３－４４．

（欄目編輯? ? 蔣小平）