高職數(shù)學教學中的化歸思想及應用

周力

摘要：數(shù)學思想方法貫穿于問題的發(fā)現(xiàn)和解決的全過程中，對數(shù)學教學、科學研究、人才培養(yǎng)等方面發(fā)揮主導作用。本文給合教學經驗討論化歸思想的方向及原則，談談化歸思想在幾種不同類型問題中的挖掘和應用。

關鍵詞：數(shù)學思想;化歸思想;課程

中圖分類號：G712 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）19-0199-02

一、數(shù)學課程對數(shù)學思想要高度重視

數(shù)學教學的根本任務就是促進學生在不斷學習的過程中逐漸積累數(shù)學觀念系統(tǒng)。一般來說，在教法上應突出滲透性原則。因為教材不可能既寫知識又寫數(shù)學思想方法，后者是蘊含在數(shù)學知識系統(tǒng)之中的。因此，教師在教學全過程中其思維結合學生知識結構特征，將數(shù)學概念、公式、定理、法則等內容中蘊含著的數(shù)學思想方法挖掘出來，經過精心設計的教學過程，在教學中有意識潛移默化（不是講一段知識內容，再講一段所用的數(shù)學思想方法）地引導學生領會蘊含在其中的數(shù)學思想和方法，將能有效提高學生的數(shù)學能力。

二、化歸思想方法概述

1.化歸思想方法的基本定義。化歸思想方法就是把待求解的問題A，通過某種轉化過程，歸結到一類已經解決的問題或若干問題Bn，借此來獲得問題的解答。化歸思想方法又稱化歸原則，是數(shù)學方法中重要的基本方法之一，是用數(shù)學思考和解決問題的基本原則。一般模式如圖2所示。

2.化歸思想的主要特點。數(shù)學問題中的化歸思想應用有著諸多特點，主要包括重復性、層次性以及多向性。（1）重復性。化歸思想的重復性特點主要體現(xiàn)在具體的解題過程中，往往一個問題需要利用該方法多次，重復使用以后才能得出具體的結果。例如：有不等式1> ，求解x。解答這道題目時，首先要利用化歸思想將不等號左邊的1移到右邊來，然后，將分式轉換成整式。整個過程中，化歸思想被應用了兩次。通常情況下，求解數(shù)學問題時，題目越難越復雜，需要應用化歸方法的次數(shù)也就越多。（2）層次性。從不同的層次上對化歸思想進行定義，其意義各不相同。一方面，從微觀角度上看，化歸思想是一種用于解答數(shù)學問題的方法;從宏觀角度上看，化歸思想可以看成一種數(shù)學方面的思想。另一方面，從狹義角度分析，化歸思想可以充分調動發(fā)掘人們的已有知識和經驗;從廣義的角度上分析，化歸思想能夠將數(shù)學學科的各個分支有效連接起來。（3）多向性。數(shù)學問題在轉化期間，往往可以選擇多種形式，包括內部結構以及外部形式、外在條件或是已有結論，采用多種轉化方法、多種轉化對象以及多種轉化目標。由于不同的學生的數(shù)學能力也各不相同，面對同樣的題目，很容易產生不同的化歸對象，進而充分體現(xiàn)出了化歸思想的多向性。

3.化歸思想的基本原則。（1）熟悉原則。一個問題的解決中，最常用的方法就是將較生疏的問題轉化成相對熟練的問題，繼而啟動自身所掌握的知識解答問題。比如：假定數(shù)列{an}符合下列條件，a1=1，而an+1=2an+3，求數(shù)列的通項公式。解答這道題目時，我們可以直接看出想要求得的數(shù)列并不是自己比較熟悉的等差或是等比數(shù)列，然而，通過利用化歸思想，構造一個新的數(shù)列，令其滿足等差或等比數(shù)列條件，便可以求得原題的答案了。（2）簡單原則。化歸的主要目的就是將相對復雜的數(shù)學問題進行簡單化的轉化，所謂的簡單不一定代表問題結構簡單，也可以表示對比原問題，轉化以后的處理方法更加簡單。（3）具體原則。數(shù)學的抽象性非常強，想要將抽象化的問題轉化成能夠解決的問題，應該向著具體化的方向轉化。具體化針對的是原來的題目，而自身已經熟練掌握的知識點都可以當做具體化歸素材。

三、化歸思想在極限問題中的應用

挖掘輔助函數(shù)法、泰勒級數(shù)、積分法求極限三個方面化歸思想的實際應用，積極指向數(shù)學活動，與之相伴隨，教育價值陡增，回歸培養(yǎng)學生數(shù)學能力的根本途徑。

1.輔助函數(shù)法求極限。輔助函數(shù)法求極限，引入的輔助函數(shù)基本上多為學生比較熟悉的函數(shù)或是固定的專用函數(shù)。其中比較常見的有：數(shù)列←→函數(shù)轉換、極限←→級數(shù)轉換，引入泰勒公式等。

（1）利用化歸思想將數(shù)列轉化為函數(shù)。將數(shù)列的極限選用海涅定理可以轉化為函數(shù)的極限。

例1：已知an= ，求

解析：由海涅定理可以將所求 ?轉化為 ?，即 x ，隨后，便可以利用已經掌握的羅比達法則進行極限求解。

例2：利用函數(shù)極限證明柯西準則具備充分性，有

f（x）在一個空心鄰是存在的，設空心鄰為U0（x0，δ′），那么在任意ε>0時，必然存在某個正數(shù)δ<δ′，令U0中的x′、x″有f（x′）-f（x″）<ε，也就是指 f（x）是存在的。

解析：首先，假設存在某個數(shù)列{xn}在U0（x0，δ′）中，且有 xn=x0，那么對于給出的ε來說，必然存在對應的δ，且δ<δ′，且U0中的x′、x″有f（x′）-f（x″）<ε。通過柯西準則可知，必然存在某正數(shù)N，針對所有的m，n來說，只要滿足xm，xn在U0中，那么必然有f（xm）-f（xn）<ε。利用柯西準則可以確定，數(shù)列{f（xn）}的極限是存在的，將該數(shù)列的極限記為A。假設存在一數(shù)列{yn}在U0（x0，δ′）上也能滿足

yn=x0，表示 yn是存在的，可以記為B，那么B=A。再假設一數(shù)列{zn}：x1，y1，x2，y2，…，xn，yn…，顯而易見，數(shù)列{zn}在U0（x0，δ′）上也能滿足 zn=x0.所以，我們可以判斷{f（zn）}也是收斂的，其子列的極限是相同的。因此通過歸結的原則便可以得出 f（x）=A.

（2）極限和級數(shù)之間完成轉化，利用泰勒公式。函數(shù)的極限是數(shù)學的重要內容之一，對于一些復雜函數(shù)，需要轉化問題，泰勒公式在數(shù)學極限問題中也比較常用，適用于不同的題型。endprint

例1：求解 [1- + - +…+（-1）n-1 ].

解析：從題目中分析在求解錯項級數(shù)的前n項之和，其形式與泰勒展開式中f（x）=ln（1+x）的展開形式較像，所以該問題可以通過級數(shù)解決，即將題目劃歸為泰勒展開式的形式。

解：已知當x=1時，函數(shù)lnx的泰勒展開式為：

f（x）=lnx=（x-1）- + - +…+（-1）n-1 +…

所以有：ln（x+1）=x- + - +…+（-1）n-1 +…

則當x為1時，有l(wèi)n（x+1）=ln（1+1）=ln2

即原極限為ln2.

2.積分法求極限。定積分是一種特殊類型的極限，定積分是一種較為復雜的和式求極限，能夠將變量λ所有的自變過程完全反映出來，在同一個區(qū)間可以進行無數(shù)種劃分，同時，針對每一種劃分方法，也可以找出無數(shù)種介點取法，相應的和式更是存在無數(shù)個值。但是，從本質上看，積分極限和函數(shù)極限、數(shù)列極限依然存在著共同點。

例1：求極限 ? 。

解析：這個問題是求有限和的極限值，可以使用恒等變形的方式將它轉化成一個定積分，得到極限。

解：假設存在an= ?=

那么有l(wèi)nan= ?ln（1+ ），通過定積分的定義可以得出：

lnan= ? ln（1+ ）= ln（1+x）dx=ln

所以，原極限值為ln 。

四、結語

未學的、復雜的數(shù)學問題，通過轉化，歸結為已學的或易解決的問題，這是化歸思想的功能。也就是說，化歸轉化方法使舊的知識向新的知識邁進，使低一級知識向高一級知識縱深發(fā)展。極限的意義在化歸思想的杠桿放大作用下，向導數(shù)、連續(xù)、定積分、級數(shù)等領域發(fā)展，化歸思想實現(xiàn)了知識交融，從一個領域向另一個領域轉化，得到更多新的理論，轉化正是數(shù)學思想方法的核心與精髓。

參考文獻：

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[3]楊麗星.試論數(shù)學分析中極限的化歸轉化思想方法[J].科技信息，2010，（12）.endprint