漢字的數學分析

王傳斌 劉菁

摘 要 漢字是中華民族的文化積淀，在其發展過程中經歷了人類智慧的加工，滲透了多種學科知識的潛移默化，呈現出數學的影響跡象。如果從數學的角度去分析漢字會獲得另外一種感悟，能更加全面地理解漢字的產生、演變及意義，有效地促進漢字的學與教。

關鍵詞 漢字 量化分析 空間結構 數學思想 數學美

漢字，是世界上唯一一種生生不息，歷久彌新的文字。考古發現，6000年前的半坡遺址就有可以稱為漢字的刻畫符號[1]。漢字是由基本的部件——字形“一丨丿丶乚”構造出單字符，再由單字符經過有機組合架構起來的，漢字或由漢字構成的詞語揭示了其表示對象的本質，也是人類交流和傳承的工具，成為人類社會信息的載體。漢字在發展過程中蘊涵著大量的信息，如果從數學的角度分析，會有更加寬廣和深層的意義。

一、漢字的量化反映

分析漢字時發現，有些具有相反意義的漢字筆畫數相同，如上和下都是3畫、大和小都是3畫、凹和凸都是5畫、左和右都是5畫、遠和近都是7畫等；有些含義相反的字筆畫數相近，如東西、正反等，可以看出先祖在造字和簡化時既考慮到意義相反，也體現平衡意識。

大家熟悉的百家姓、堂號和輩分其實是人類分群的標準，姓既是分類符號，又是識別符號，還是身份的象征，有的姓是數字的音近或意近或轉型，它是數學應用的典型。如一、乙（音近，聲調有差異）和單（意近）姓；二、倪（音近“兒”的轉意，據說姓孫和姓兒互相對罵，后來姓兒的改成姓倪）和雙（意近）；三、傘（音近）姓（在山東、河北、東北三省一帶較多，在江蘇贛榆北、山東日照南有一村名叫“傘莊”，村民姓傘，參（叁的轉型字，據《實用姓氏·讀寫簡編》記載，讀shēn，又讀cān。凌迪知《萬姓統譜》：“參，陸終第二子參胡之后。”《續通志·氏族略》中記有參（shēn）徐，宋代人，紹興年間中進士）；四、思（意近）（據《明史》所載，云南土司有思姓），司（司馬遷）和駟姓；五、吳、鄔、武、烏和伍等；六、柳、劉（音近）和陸（六的大寫，意近）；七、漆、齊、戚、祁、亓（音近）；八、巴（音近）；九、仇（意近）；十、師、石、史、侍（音近）姓等；百、白，柏（音近）姓；千、芊（音近）姓；萬、萬（音近）姓；億通乙；兆（在本溪還是個大家）、趙（音近）姓。這種音近和意近說明古代出現文字時，數的概念早就出現了，最早認識的最大數是五，慢慢擴大到十、二十、百千萬億兆等，只不過數字符號產生的晚一些，可見在賜姓或選姓時已經建立與數字的關系。

漢字整體的分布更有意思。辭海[2]（1987年）收集了16000多個單字（包括繁體字和異體字），漢字的筆畫數從一畫到三十六。現在電腦里的漢字系統就是利用漢字出現頻率從大到小排列漢字的，在所有漢字中，筆畫數x與該筆畫的漢字數y之間存在何種關系？不妨通過統計來研究一下。由于現代漢語字典多數是以拼音為主線編排的，統計不方便，這里以辭海為本統計，結果見表1，它顯示出筆畫數與漢字數的關系，7～15畫的漢字較多，筆畫數過少或過多的漢字都比較少。

表1 筆畫數與漢字數統計表

表1已經揭示了筆畫數與漢字數的基本關系，可以用EXCEL擬合出一個數學公式為

且x∈[1，36]，公式中16262是漢字（辭海）的總個數，μ是筆畫數x的自然對數的平均值，其值為2.4739，σ是筆畫的自然對數的標準差，其值為0.3827（平均值和標準差的計算公式與一般統計書的介紹相同，沒有具體列出）。公式中的參數僅有兩個，反應不同筆畫數和漢字數的理論關系，還可與實際統計數對比（見圖1）。

圖1 不同筆畫漢字的實際數量（深色）與理論數量（淺色）的

對比數

從圖1看理論公式與實際資料統計值擬合得很好，淺柱（理論）與深柱（實際）的基本走勢和具體的數值都比較接近。一個僅含兩個參數的理論公式與實際數據基本一致，說明這個公式可以刻畫漢字筆畫與數量的關系，這對于漢字研究顯然有理論價值[3]。

二、數學運算和空間結構的會意

生活中人們最熟悉的數字，其產生經歷三個階段：首先，在搭配中出現多和少的概念，起初人們不會用數來表示物體的多少，而是用現在所說的一一對應來進行比較，如狩獵時把工具和獵人一一搭配，搭配的結果出現多少和同樣多；其次，在比較中產生標準集合，長期重復進行比較，人們認識到有很多種物體集合可以一一對應，是同樣多，如一個人的眼睛和耳朵、手、腳都是同樣多，于是把這些同樣多的物體集合歸為一類，就是現在所說的等價集合類，并從這一類中選一個最熟悉、最方便、最固化的集合作為代表，來表示這一類等價集合的共同特征，稱為標準集合；再次，人們在反復應用標準集合來表示多少的過程中，漸漸把數從具體物體的集合中抽象出來，如表示“一”，伸出“一個手指頭”，表示“五”，就說“一只手”，后來，隨著文字的發展，逐漸創造了符號來表示這些抽象出來的數，如用“一”或“1”表示一個東西（剔除了具體的物體內容）。

從數的產生過程看，數字“一”是指事字，甲骨文、金文、小篆和楷書都寫成一橫。“二”是指事字，表示由混沌分出的天、地兩極，上面的一橫代表“天”，下面的一橫代表“地”。“三”是指事字，在“二”的基礎上構造出來，上下兩橫代表“天地”，中間的一橫代表“人”。“四”是象形文字，用四條橫線表示，隸變楷書寫為四。“五”是象形文字，交叉之形。“六”是象形字，是“廬”的本字，甲骨文表示房屋的外形框架，有立墻、斜頂，表示房屋的空間維度：四壁、屋頂、地面。“七”是指事字。“八”是會意字。“九”是象形文字，像彎曲的蟲子，后來被借用為數字，古人造字計數，起于一，極于九，九是最大的個位數。“十”是指事字，以一到十為基礎，其他的數字都由此演化而來，無窮無盡，所以有了十，就相當于有了全部，“十”在中國是圓滿的象征，俗話說“十全十美”就是典型的運應用[1]。

中小學課本上還用到阿拉伯數字、羅馬數字和希臘數字[4]。阿拉伯數字1到9都是指事字（用構造符號表示），而從10開始又體現十進制計數法的（位值）原則。而更有意思的是羅馬數字，Ⅰ（一）、Ⅴ（五）、Ⅹ（十）、L（五十）、C（一百）、D（五百）、M（一千）等都是指事字，采用加減法原則計數，前小后大為減法，前大后小或相等為加法，于是Ⅱ、Ⅲ分別表示二、三，Ⅳ表示四（5-1=4），而Ⅵ表示六（5+1=6），類似的Ⅸ表示9，而Ⅺ表示11，1990年北京第十一屆亞洲運動會的會徽就是這個符號。漢字表示數時把單位保留，如古書頁碼一千零五十四，阿拉伯數字表示為1054，而羅馬數字表示為MLIV，易見它們的差異。另外數學書上還有希臘計數法，如α、β、γ、δ等。《關于出版物上數字用法的試行規定》于1995年12月13日由國家技術監督局正式作為國家標準頒布，從1996年6月1日起實施。

數字與漢字的區分。如俗語“八竿子打不著的朋友”，比喻關系疏遠或沒有關系，如何理解呢？原來“八”是“丿ヽ”的左右結合，“八”的一撇和捺分別看作兩根竹竿，由于上頭不連接，說成是“打不著”，“朋友”是人，而“人”是上頭連起來的，用“八”和“人”的不同（上頭的緊密程度）去說明某人并不是自己的好朋友。

漢字的數學結構分析。漢字分為單體字和組合字，在由單體字構造組合字的過程中，人們吸收了大千世界的自然規律和生活中的人生感悟，這種自然規律涉及數學的知識。如古代把日常生活的五種物質：金、木、水、火、土元素稱為五行，五行相生相克構成宇宙萬物及各種自然現象變化的基礎，由這五種要素相生可派生出很有意思的字。如“水”和“木”相生，由變形的“水”和“木”構成“沐”；“林”是兩個樹（木）并肩，無上下結構；上下都有火，火更旺，構成“炎”，無左右結構。再如鑫、森、淼、焱、垚等，它們是由三個同體字遵循三角形結構構造出來的，體現三角形穩定性，上面一個字，下面兩個字，基礎扎實，穩于泰山，很少有上面兩個字，下面一個字，也很少有四個同體字采用四邊形構造一個新字的，因為四邊形具有不穩定性，即使有這樣結構的漢字，按照漢字由繁入簡的規律逐漸消失，雖然“綴”右邊是四個“又”構成的，但依靠左邊的“纟”形成左右結構，還是穩定的。很少見到五行中的幾個相克的異體字構造新字的，如“火”與“水”相克，叫“水火不相容”，沒看到過它們的組合字。這就是自然認知理念在造字中的體現。

漢字在數學的空間位置中領悟。某校圖書館廣場上的篆字石刻，正面是兩個字“思”、“想”，如果從字面理解，“思想”顯得簡單，但結合橫向方位理解，“思”在左邊，“想”在右邊，合起來是“左思右想”那就意義非凡了。另外一塊石刻“天”在上、“公”在下，字面理解就是“天公”，如果結合縱向方位理解，“天”的下面是“公”，也就是“天下為公”，那是孫中山先生倡導的理念，可見，設計者從數學的空間方位獲得靈感，吸收了上下左右的感悟，巧妙地把相關漢字“左、右、下、為”借助于數學的空間概念展現出來，真是匠心獨運。

三、一筆畫的展現

一筆畫是指一個由線條相連構成的圖能夠一筆畫出，且每條線條必須經過且僅通過一次。漢字是由基本的筆畫線條構成的圖形符號，有的筆畫相連的漢字可以一筆畫成，當然這里僅從數學的角度研究漢字的趣事，有的要夸張，有的違背了漢字書寫規則，如所有的字形一、丨、丿、丶、乚都是一筆畫，再如漢字乙、己、弓、幾、廠、了、口、日、凹、凸也是一筆畫，但干、十、工、土、山、田、目、白、自、巴等不能一筆畫，一個漢字具備何種條件能夠一筆畫呢？首先這個漢字的筆畫要相連，還要看漢字中線條相交的點及一條單線的端點，如果有偶數條線條經過的點稱為偶點，有奇數條線條經過的點稱為奇點，一條單線的端點都是奇點，根據歐拉一筆畫原理：“一個凸聯通圖奇點個數是0或2才能一筆畫，否則不能一筆畫”，這里口、日的奇點個數分別是0或2，可以一筆畫成，而白、田、巴的奇點個數都是4，工的奇點個數是6，顯然不能一筆畫。

四、數學思想的體現

集合概念，“人”是象形字；“從”是會意字，表示跟隨，表明至少有兩人，“從”是具有集合概念的字；“眾”也是會意字，表示至少有三個人才能稱為眾，“眾”是具有集合概念的字；同樣可以分析“木林森”、“火炎焱”、“口呂品”等。

漢字的構造體現變換，最典型的平移、旋轉、軸對稱及其組合。如“林”是由單字“木”左右平移而得；“呂”是由“口”上下平移而生；“十”是由“一”旋轉90度疊加而成。

辭海、字典或詞典的漢字編排順序就是典型的分類。目前常用的查字依據是漢語拼音音節索引和部首檢字表，這樣就把成千上萬的漢字或詞組進行分類了。如部首查字法是由部首目錄和查字表構成的，在部首目錄中一級分類標準為筆畫數，二級分類標準是筆形丶、一、丨、丿、乚（乛ㄅ乙…），查字表先按筆形排序，再按筆畫數，然后又是筆形。又如“按姓氏筆畫排序”也是典型的漢字分類。

邏輯體現。漢字不僅僅是一種語言符號，其組成部件和結構方式還記錄了人們對其表示對象客觀而邏輯的認識和反映，主要體現會意上，有時表現在字的構造過程具有邏輯推理。如一頭小一頭大是“尖”，人靠著樹是在“休”，從山崖流下的水是“原”（“源”的古字），畫只眼睛就是“目”，畫只鳥就是“鳥”，畫個手、女孩、小孩就是“爪”、“女”、“子”，…

有的漢字在古今對照中顯示真諦，如“想”描繪了人在想的時候的表情和環境，一個人站在樹下（“木”），瞪著眼睛（“目”），并強調是在進行精神活動（“心”），這個人是在“想”。“大”是一個相對概念，在比較中才能顯現，金文中的“大”，是一個張開雙臂雙腿的人，人張開雙臂雙腿，占據的范圍不就“大”了，而甲骨文中的“大”則是一個跑動的人，跑動的人占的地盤還能不“大”。“直”是一個原始概念，不能定義，甲骨文的“直”是眼睛上畫一根直線，眼睛看到的“這個”東西就是“直”。

五、數學美的追求

漢字在追求數學美的過程中得到創造和發展，漢字的獨特審美價值表現在空間性的視覺符號，它的魅力不僅僅在于形體的美，更主要的是蘊含著無比豐富的內涵，那一個個方塊字是先民心靈的物化，是人生的縮影，是文化的凝聚，是語言、邏輯與文化的哲學組合。

“甲金篆隸草楷行”的演變過程是數學對稱美的表現。漢字在構造過程中體現對稱性，長方形和正方形具有很好的對稱性，漢字從圖畫文字向方塊字轉化。約公元前14世紀的殷商后期形成了初步的定型文字，即甲骨文。甲骨文既是象形字又是表音字，至今漢字中仍有一些和圖畫一樣的象形文字。到了西周后期，漢字發展演變為大篆。大篆的發展結果產生了兩個特點：一是線條化，早期粗細不勻的線條變得均勻柔和，它們隨實物畫出的線條簡練生動；二是規范化，字形結構趨向整齊，逐漸離開了圖畫的原形，奠定了方塊字的基礎。秦朝丞相李斯對大篆加以去繁就簡，改為小篆，它除了把大篆的形體簡化之外，并把線條化和規范化達到了完善的程度，幾乎完全脫離了圖畫（象形）文字，成為整齊和諧、十分美觀的基本上是長方形的方塊字體，幾乎在同時也產生了形體向兩邊撐開成為扁方形的隸書。

漢字是二維平面上的符號，有的漢字是“軸對稱”、“中心對稱”圖形，有的漢字是某一個單字幾次軸對稱或平移的復合，對稱軸有多有少，如木、大、小、羊、金、品、鑫、各有一條對稱軸，關于左右對稱；“卡”是上下兩個字“合”起來成為一個漢字，關于橫線對稱，標志上不去下不來就是卡住了；“林”有一條對稱軸，但又可看成兩次軸對稱的組合或對稱與平移的組合；“米”有兩條對稱軸，日、目有兩條對稱軸，關于上下和左右對稱；“口”是從實物抽象出來的，有四條對稱軸，關于左右上下和對角線對稱。

有的漢字由一個“字符”旋轉而得，如“米”既可看成軸對稱的字，又是中心對稱的，類似的還有“呂”。

漢字的簡化過程就是追求數學的簡單美。秦始皇焚書坑儒，目的就是統一文字，實現了原來多地區文字的整合。1935年、1964年國家兩次推行簡化漢字，一是對繁體筆畫的“省簡”，二是用同音字或近音字取代，種類和字數減少，每個字的筆畫也減少，這種簡化過程，漢字從56000多個，到現代漢語通用漢字7000個，再到常用漢字3500個[1]，使得漢字體系更加簡單和經濟。

漢字具有和諧美。和諧美是數學美之一，也是中國傳統文化的精華，漢字在語言、外形以及意義上體現出來的均衡、勻稱、和諧的特點對中華民族以和為貴、追求和諧傳統文化心理影響深遠[5]。其一，漢字的語音具有和諧美，漢字分為平上去入四個不同的聲調，不同聲調的音節交錯搭配，形成抑揚頓挫的特點，使語言具有節奏感；其二，漢字形體結構具有和諧美，相對西方的線形文字，漢字是表意文字，受萬物方正有形的影響，先祖們把漢字設計為方方正正，而且在書寫時也置于方框中，制成“田”字格或九宮格，安排筆畫，使寫出的字眉目清秀、大小一致，實現風格的協調，如古時篆字“門”寫成體現對稱，但為了避免呆板，追求和諧有時需要變化，如“呂”下大上小；其三，漢字意義的和諧美，如“仁”字的構形是以二人會意，《說文解字》“仁，親也，從人，從二”，說明二人相親。

漢字的創造和發展從直觀向抽象過渡，最早的甲骨文是從實物抽象出的象形文字，看到字就猜出表示何物，發展到篆字也基本能悟出其意思，但到隸書和楷書已遠離了原來的實物，尤其是行書，進一步抽象，只能強記會意了。

參考文獻

[1] 新編說文解字大全編委會.說文解字大全集[M].北京：中國華僑出版，2011.

[2] 辭海編輯委員會.辭海[M].上海：上海辭書出版社，1987.

[3]張學文.漢字筆畫與數量的數學公式.http：//kahn.xj.cninfo.net/zhangxw/index.htm，2014-9-28.

[4] M·克萊因著.古今數學思想（1）[M].上海：上海科學技術出版社，1981.

[5] 錢偉.淺析漢字的和諧美[J].中國西部科技，2010（3）.

[作者：王傳斌（1963-），男，江蘇贛榆人，江蘇省連云港師范高等專科學校學生處教授，碩士生導師；劉菁（1990-），女，江蘇東海人，連云港市東辛中心小學小學初級教師。]

【責任編輯 郭振玲】