仿射變換在初等幾何解題中的應(yīng)用

【摘 要】本文主要闡述了用高等幾何中仿射變換的知識(shí)來(lái)解決初等幾何的問(wèn)題。這種高等幾何知識(shí)的應(yīng)用使我們對(duì)初等幾何問(wèn)題的理解更加的深入，思路更加廣泛，解題更加巧妙、靈活。

【關(guān)鍵詞】仿射變換；初等幾何；應(yīng)用

【Abstract】The paper applies projective transformation of higher geometry to solve some problems in elementary geometry. This application of higher geometrys knowledge help us to understand more deeply， think more widely and solve more delicately and flexibly for the problems of elementary geometry.

【Key words】affine transformation； elementary geometry； application

在中學(xué)中所接觸的幾何是初等幾何，它是一種直觀、易于理解的幾何，可以通過(guò)測(cè)量的幾何，以歐氏幾何為主.高等幾何是一種通過(guò)觀察、了解的幾何，它是抽象、不易于理解的，以仿射幾何和射影幾何為主.仿射幾何是聯(lián)結(jié)歐氏幾何和射影幾何的紐帶.將初等幾何中的問(wèn)題進(jìn)行仿射變換，可以解決一些初等幾何中問(wèn)題.

1 利用平行射影證明初等幾何問(wèn)題

仿射變換中最簡(jiǎn)單的是平行射影，因?yàn)槠叫猩溆爸衅叫芯€(xiàn)段的比不變，所以當(dāng)問(wèn)題涉及平行線(xiàn)段的比時(shí)，可以選取一投射方向與一像直線(xiàn)，把圖形中的不共線(xiàn)點(diǎn)和線(xiàn)段投射成共線(xiàn)的點(diǎn)和線(xiàn)段，可以使問(wèn)題證明簡(jiǎn)化[1].

例1 設(shè)直線(xiàn)MN過(guò)?ABC的重心G，分別交AB、AC于M，N，求證：.

圖1

證明 如圖1，取AB為像直線(xiàn)，為投射方向，作平行投射，則，，，從而有：

梅內(nèi)勞斯定理，如圖2所示，設(shè)M，N，P分別?ABC的

AB，BC，AC（或其延長(zhǎng)線(xiàn)）上的點(diǎn)，且三點(diǎn)M，N，P共線(xiàn).求證：.

圖2

證明 如圖2，取AB為像直線(xiàn)，NM為投射方向，作平行投射，則，，從而有：

故

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2 利用圖形的特殊仿射現(xiàn)象證明初等幾何問(wèn)題

平面幾何中的特殊圖形經(jīng)過(guò)仿射變換作用后，可變成一般圖形，相反的，仿射變換也可以將一些一般圖形變成特殊圖形.這種現(xiàn)象稱(chēng)為一般圖形的特殊仿射象.如：圓、矩形、等腰梯形和正三角形可以經(jīng)過(guò)仿射變換成橢圓、平行四邊形、梯形和三角形[2].

利用特殊圖形的仿射可以求圖形的面積.根據(jù)兩個(gè)封閉圖形的面積的比是仿射不變量，我們可以由一個(gè)一般圖形出發(fā)去求特殊圖形的面積.

例3 求橢圓所圍成的圖形的面積.

解 作仿射變換

則題設(shè)橢圓的像為圓：.設(shè)橢圓和圓的面積分別為S和.由于在仿射變換T之下，面積比保持不變，故.

利用圓和橢圓的特殊仿射可以求圖形的面積.由于圓和橢圓是仿射對(duì)應(yīng)圖形，所以它們的一些性質(zhì)相同.利用一般圖形的性質(zhì)，可以求某些特殊圖形的性質(zhì).

3 仿射坐標(biāo)系的應(yīng)用

例4 設(shè)A，B分別是橢圓在坐標(biāo)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則過(guò)射線(xiàn)OC與橢圓的交點(diǎn)的切線(xiàn)平行于AB.

證明 如圖3所示，在仿射變換c下由仿射變換φ的性質(zhì)，為的中點(diǎn)。再由圓的性質(zhì)知//.從而，由仿射變換φ保持平行性知l//AB.

圖3 橢圓的φ仿射變換

對(duì)橢圓進(jìn)行仿射變換，使橢圓變換成圓，先證明在圓中的平行關(guān)系，再根據(jù)仿射變換中保持直線(xiàn)的平行性這一性質(zhì)[3]，將原本較難證明的平行關(guān)系簡(jiǎn)單證出.由此可以看出，應(yīng)用仿射變換，可以使一些較為復(fù)雜的初等幾何問(wèn)題的解題過(guò)程更為簡(jiǎn)潔.

這里仿射變換的性質(zhì)重點(diǎn)在于平行性，而在角度和長(zhǎng)度方面并不適用.射影變換則是用來(lái)解決線(xiàn)段與線(xiàn)段或點(diǎn)之間關(guān)系的.

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4結(jié)束語(yǔ)

由此可見(jiàn)應(yīng)用高等幾何中的知識(shí)為解決初等幾何中問(wèn)題的找到新思路，學(xué)好高等幾何，不僅對(duì)幾何思維水平的提高有所幫助，而且能給解決初等幾何問(wèn)題帶來(lái)很多方便.掌握高等幾何的知識(shí)可以更好的解決初等幾何中的問(wèn)題，簡(jiǎn)便方法，發(fā)散思路.

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作者簡(jiǎn)介：

黃映雪（1979～），女，碩士，講師。研究方向：最優(yōu)化。