模型思想在解決問題教學中的實踐與思考

歐蘋

[摘 要]《數學課程標準》（2011版）中明確將模型思想確定為十大核心概念之一，并指出：“數學教學應注重發展學生的模型思想?！蓖ㄟ^教學“用括線和‘？’表示實際問題”的實踐與思考，引導學生在運用括線和“？”表示實際問題的過程中，了解實際問題的構成，不僅能運用數學符號溝通知識間的內在聯系，建立數學模型，而且能自覺地用模型思想去分析、解決問題，提高低年段學生解決問題的能力。

[關鍵詞]數學教學 模型思想 解決問題 數學思想

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）01-027

教學環節一：借助符號化語言，分析條件與問題

師（在復習導入環節創設情境）：秋天是收獲的季節，大家看，果園的蘋果豐收啦！瞧，小兔子們摘來蘋果招待大家呢！

（師出示情境圖，引導學生說出四道算式，并讓學生根據加減法的意義進行解釋）

師：兩部分合起來要用加法，把總數分成兩部分要用減法。

板書如下：

（教學例題時，師動態呈現情境圖，先出示盤里的5個蘋果）

師：到底求什么呢？讓我們的“新朋友”——括線和“？”來幫助我們解決問題吧！

師：從圖中你知道了什么？

生1：盤里有5個蘋果。[課件相應出示：盤里有（5）個蘋果]

師（課件再出示盤外的3個蘋果）：還有什么？

生2：盤外有3個蘋果。[課件相應出示：盤外有（3）個蘋果]

師：根據剛才的信息，你想知道什么？

生3：一共有幾個蘋果？

師：為了簡單地表示問題，可以用這個符號（相應出示括線）來表示，括線對著哪里就表示那里的物體一共有的個數。

師：那么，這里的括線表示什么意思呢？

生4：表示盤里的5個蘋果和盤外的3個蘋果合起來，一共有的個數。

師：“一共有幾個蘋果”是一個問題，可以用“？”來表示?，F在請同學們看著用括線和“？”表示的問題情境圖，同桌說一說知道了什么，要求什么。（生自由說）

師：問“一共有幾個蘋果”，該怎么解決？

生5：5+3=8。

師：對于這道算式，你有什么想說的？

生6：為什么5加3等于8？

生7：因為5和3合起來是8。

生8：為什么要用加法來計算？

生9：要求的問題是“一共有幾個蘋果”，就要把盤里的5個蘋果和盤外的3個蘋果合起來。

生（齊）：盤里有5個蘋果，盤外有3個蘋果，一共有8個蘋果。

師（小結）：這里，我們知道了一部分和另一部分，求總數（順勢指著括線下面的“？”）所以用加法，這里的括線可以理解成“合起來”（師相應輔助合起來的動作）的意思。

……

評析：

在學生已有一圖四式表示問題的基礎上，教師以問題為引領，引導學生經歷有序思考、逐步抽象的過程，尋找解決問題的思路。在此過程中，學生經歷從已知到新知的探索過程，從問題情境中逐步抽取出數學問題。這里，教師運用多種方式引導學生思考問題：（1）動態課件引導;（2）符號化語言引導，即用括線和“？”整理有效條件與問題，了解一個完整的問題需要由問題和相關聯的條件組成，培養學生整理條件和問題的意識;（3）文字語言引導，即采取圖文結合的方式呈現實際問題，借助文字引導學生有序、完整地表達數學問題，感悟數學符號的意義，初步探索解決問題的思路，為用模型思想解決問題奠定基礎。

教學環節二：根據已有的知識經驗，理解解題思路

師（在“試一試”環節）：小朋友們真棒！為了獎勵大家，小兔子又提來了一籃蘋果。

師（課件先出示一共有的蘋果圖）：從圖中，你知道了什么？

生1：一共有8個蘋果。[課件相應出示：一共有（8）個蘋果]

師（出示括線）：一共有8個蘋果可以用括線表示。（輔以合起來的動作）

（課件動態演示從8個蘋果里移出1個蘋果，并用“？”表示籃子里剩下的蘋果）

師：現在又有什么變化呢？

生2：一共有8個蘋果，籃子外有1個，要我們求籃子里有幾個蘋果。

[課件相應出示：籃子外有（1）個蘋果，籃子里有（ ）個蘋果。]（要求學生根據情境圖，同桌說說條件和問題）

師：要求籃子里的蘋果數，該怎么辦？把你的想法寫在數學書第60頁的“試一試”上。（指名生2上臺板演，列出算式為8-1=7）

生2：你們明白我的意思嗎？

生3：因為一共有8個蘋果，這里的8個蘋果是總數，拿出1個蘋果，要我們求籃子里有幾個蘋果，所以用8-1=7。

師：為什么8減1等于7呢？

生（齊）：8可以分成1和7。

師（小結）：這里，我們知道了總數和一部分，求另一部分（順勢指著括線上面的“？”），所以用減法。這里的括線可以理解為分成了兩個部分（師相應的輔助手勢，幫助學生理解）。

……

評析：

本教學環節既是解釋與應用的過程，也是深化與鞏固的過程。與教學環節一求總數相比，本教學環節出示的實際問題是已知總數和一部分，求另一部分。學生已具備一定的解決問題經驗，于是教師放手讓學生自主探索解決問題的方法，使學生既經歷從具體情境到數學問題的過渡，又經歷了從自主探索到解釋與驗證的過程。在相互質疑中，學生大膽地解釋解決問題的過程，并在教師的引導下，根據減法的意義理解括線和“？”在特定情境中所表示的實際意義，同時從中抽象出數量關系，為后面建構數學模型做好準備。

教學環節三：引導學生總結反思，提升數學思想

師：例題和“試一試”有什么相同點？（生答略）

師：相同點是都有括線和“？”，這里的括線和“？”是來幫助我們一起解決問題的。（揭示本課所學的主題）那它們有什么不同點？

生（齊）：問號的位置不同。

師：問號的位置不同，要求的問題也就不同。當我們知道一部分和另一部分，要求總數（將原板書總數改成“？”）就是把兩部分合起來（隨即用括線把一部分和另一部分連接起來），所以用加法。

形成以下板書：

師：當我們知道了總數和一部分，要求另一部分，就要把總數分成一部分和另一部分（隨即用括線把一部分和另一部分連接起來），所以用減法。

形成以下板書：

評析：

本環節，教師著重引導學生自主感悟數學模型建構的過程，使學生通過對比用括線和“？”表示實際問題的相同點與不同點，形成結構化的數學模型。同時，教師引導學生在觀察數學模型中，感悟知識間的內在聯系;在相同點的思考中，感受括線和“？”在解決問題中的共同特征;在不同點的觀察中，深入、具體地感悟括線和“？”在具體問題中表示的實際意義，即括線可以表示合起來，也可以表示分成兩個部分，而“？”則指明了問題是求總數還是求部分。在總結和講解中，教師借助數學符號將關鍵詞以結構化的形式抽象出來，為解決問題提供思路，并引導學生建立模型，使學生積累了解決問題的經驗。

總評：

《數學課程標準》指出：“教學應結合具體的數學內容，采用‘問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展’的模式展開，讓學生經歷知識的形成與應用的過程，從而更好地理解數學知識的意義……”教學“用括線和‘？’表示實際問題”一課時，教師在分析教學內容和學生已有知識經驗的基礎上，尋找知識間的內在聯系，引導學生以建構數學模型的方式，掌握實際問題的框架，理解解決問題的思路，提高了學生分析、解決問題的能力。

教材分析：第一，內容編排?！坝美ň€和‘？’表示實際問題”隸屬“10以內的加法和減法”這一單元的內容，在編排上把運算意義、計算方法和應用運算解決實際問題的內容有機結合起來，發揮了知識之間相互依存、相互促進的作用。第二，內容呈現。根據低年段學生的認知發展特點，本課采用圖文結合的方式呈現實際問題。

學情分析：低年段學生的學習能力較弱，本課是學生第一次接觸用圖示的方式表示實際問題，表面看似簡單，但在思考方式上學生往往存在思維定式，即低年段教學的實際問題較為簡單，往往能直接看出答案。由于學生未形成完整的解題思考模式，導致解決問題時往往在不分析條件和問題的情況下，將問題當作已知條件來思考。

基于上述分析，筆者認為教師應引導學生在解決問題中建立數學模型、感悟模型思想，以培養和提高學生分析問題、解決問題的能力。

1.溝通知識間的內在聯系，理解數學模型的意義

有學者指出：“數學建模既可以對數學本身進行建模，又可以對實際問題的內在關系來數學建模?！惫P者認為，要引導學生經歷建模的過程，教師心中首先要有一個數學模型，并能運用數學模型表達知識間的內在聯系。根據知識間的內在關系來建構數學模型，才能有效地幫助學生理解解決問題的思路。如上述教學中，教師將實際問題和數的分與合、運算的意義相結合來講解數學符號表達的意義，既為學生建構數學模型提供依據，又有利于學生理解數學模型的概念。例題中的括線表示合起來的意思，“試一試”中的括線表示分成兩個部分，追本溯源就是數的分與合要表達的意義，與應用運算符號“+”和“-”表達的意義一致，可以溝通部分與部分、總數與部分之間的關系。

2.逐步抽象知識內容，提供數學建模的素材

有學者指出：“數學模型是對現實原型的一種理想化處理，是一個科學的抽象的過程，因而具有高度的抽象性和形式化特征。”也有學者指出：“建模應先考慮某些最主要的因素，讓其他因素都假定為最特殊的情形，然后對這些主要因素建模。”為使數學模型能夠精確地表達出知識的內在意義，上述教學中，教師將抽象貫穿課堂教學的各個環節，試圖抽象出建模的最主要因素。如例題和“試一試”教學中，教師引導學生將問題情境逐步抽象成已知條件和要求問題;在解決問題過程中，將學生表達的條件和問題的關系抽象成算式，再根據運算的意義，將數字的意義擴大，抽象出一般的概念。又如，在例題學習中，教師引導學生根據具體情境，借助括線和“？”分析條件與問題，列出算式5+3并解釋算式，隨后抽象出5表示一部分，3表示另一部分。其中，“試一試”的學習也相同。這樣逐步抽象的過程，為學生建構數學模型提供了素材。

3.引導學生對比分析，感悟結構化的數學模型

《數學課程標準》明確指出：“在數學教學中應當引導學生感悟建模的過程，發展模型思想?！备鶕湍甓螌W生的思維以具體形象思維為主的特點，圖示的方式能夠簡明扼要地表示出問題中的數量關系，利于學生形成知識表象。同時，采用圖示的方式建立數學模型，有利于學生感悟數學模型，為學生解決問題提供了思路。如在教學環節三的設計上，教師注意引導學生將教學環節一和教學環節二進行對比，總結出用括線和“？”表示實際問題的形式特征，以及括線和“？”在不同問題情境中的實際意義。同時，教師將學生的語言表達，運用直觀的板書移動的方式，形成結構化的數學模型，形象地表示出具體情境中解決問題的思路，提高了學生解決問題的能力。

《數學課程標準》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑?！蔽阌怪靡桑Ｐ退枷雽W生的思維發展起著至關重要的作用，在低年段數學課堂教學中，教師應為學生創設多樣化的生活情境和提供豐富的學習素材，使學生在感受知識內在聯系的過程中逐步建立結構化的數學模型，在運用數學模型解決實際問題的過程中感受問題所表達的實際意義，從而激發學生自主建模的欲望，積累解決問題的經驗，提高學生解決問題的能力。

（責編 藍 天）