直觀性教學法在最優化課程中的應用案例

劉德民　侯江霞（新疆大學數學與系統科學學院，新疆烏魯木齊830046）

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直觀性教學法在最優化課程中的應用案例

劉德民侯江霞
（新疆大學數學與系統科學學院，新疆烏魯木齊830046）

一、最優化課程的教學特點和直觀性教學法的必要性

最優化是應用數學的一個分支，主要研究目標函數在某個集合上取極值的理論和算法，它有著悠久的研究歷史。伴隨著現代化科學與技術的進步，最優化的理論和算法已經在工程和科學研究的方方面面得到了發展和應用，發揮其越來越大的作用。例如，在航空航天科學科，翼型的最優氣動力學設計與飛行器的最佳飛行軌跡；在經濟與管理學科，股票或商品的最優定價及物流配送最優路徑問題；在石油天然氣工業領域，油氣輸送的最優管道設計及復雜巖性儲集層測井的最優評價等。

最優化課程具有如下基本特點：

1.內容跨度大，需要基礎知識扎實。最優化理論和算法的來源背景豐富，研究方法多樣，因此需要在高等數學、線性代數、大學物理，數學模型以及泛函分析等數學基礎課程及程序設計等計算機課程的基礎上予以展開，所以開設這門課程之前不僅要求學生具備很好的數學分析和解析求解的能力，還需要具有很好的算法設計和程序研制能力。

2.內容多，學時少。最優化課程主要講授線性規劃的單純形方法及對偶原理，線性與非線性規劃問題的最優性條件，一維搜索，使用導數的最優化方法（如最速下降法，共軛梯度法等）、懲罰函數法、二次規劃、組合優化、動態規劃、整數規劃等內容。通常這門課安排一學期講完，每周四節，其中三節理論課，一節實驗課。加之要提前給學生講解程序設計的相關內容，因此理論課的時間比較少，而實驗課也很難有好的授課效果。

3.數學理論豐富，算法眾多。由于最優化課程內容龐雜，而每部分都有各自的數學理論知識和算法，因此最優化課程涉及到的理論非常豐富，算法非常眾多。從離散數學到連續數學、從靜態標規劃到動態規劃、從線性規劃到非線性規劃、從單目標規劃到多目標規劃等等。

4.直觀性需求高。最優化課程中有很多概念和定理都很理論化，缺乏直觀性，學生在學習時往往是被動的接收，機械的記憶，并不能很好的理解。由于最優化課程自身的特點，需要結合現代化的教學和多媒體手段，豐富與充實教學內容，加強教學內容直觀性的研究和實現。如果能采用更為直觀的方式將這些內容展現給學生，將會提高學生的學習效率，改善教學效果?；谧顑灮n程的如上特點，直觀性教學法在最優化課程中的應用非常有必要。直觀性教學法是指在直觀性的教學原則和教學手段下的課程講授。直觀性教學法在最優化課程中的應用，是指結合最優化課程的自身特點，在直觀性的教學原則下，采用不同的直觀性教學手段，提高學生對抽象理論與具體問題之間的認識，增進學生對數值分析課程基本理論的理解，提升學生的學習效率，改善教學效果。

二、最優化課程中直觀性教學法案例

在最優化課程的講授過程中可以采用多種直觀性的教學手段來改善和提高教學效果。例如在講解線性規劃時，可以采用通常的表格形式[1]；講解具體算法時可以采用流程圖和程序代碼演示等直觀形式[2]等。作為案例這里再考慮幾類直觀性方法。

（一）語言直觀

語言直觀主要是指教師在教學過程中對抽象的數學概念或定理用形象的語言進行闡釋，使學生獲得直觀感受的一種直觀教學方法。

例如在講解到線性規劃的對偶定理時講到：“若原問題和對偶問題中有一個問題存在最優解，則另一問題也存在最優解，且兩個問題的目標函數值相等”。對該定理的證明可以采用多種方法，如凸集分離定理等[1]，往往比較抽象。為此我們以買家和賣家分別為研究對象可以得到一對對偶問題，買家想要花費最少的錢獲得商品，而賣家想要賺取最大利潤。顯然如果買賣能夠達成，也即存在最優解，則買家花費的錢和賣家獲得利潤是相等的，也即原問題和對偶問題的目標函數值相等。通過這樣一個實例，相信學生會對該定理記憶深刻。

（二）圖形直觀

圖形的優點是它所反映的信息簡潔、直觀、豐富，便于理解問題。例如在講到針對單峰函數的一維無約束極值問題的黃金分割法時，當確定了第k次迭代區間為[ak,bk],k=0,1,…后，需要插入兩個試探點姿資,滋k綴[akbk]，姿資約滋k通過判定姿k,滋k,處的函數取值，按照規則若f(姿k)躍f(滋k)，則ak+1=姿資，bk+1=bk；否則ak+1=ak,bk+1=滋k，可以確定下一次迭代區間[ak+1,bk+1]，這里要求如下兩個條件成立：

其中參數0約a約1為待定參數。通過求解（1），（2）兩式，可以得到

事實上，要通過（1），（2）兩式得到姿資,滋k的表達式（3）和（4）是比較麻煩的。根據黃金分割法的算法過程，可以做出黃金分割法示意圖，由該圖知道（3）和（4）兩式顯然成立。

黃金分割法示意圖

（三）公式直觀

公式直觀是指教師借助公式的具體形式，簡潔而直觀的表現教學內容，增強學生對知識點的把握和理解。例如在講解共軛梯度法時，首先是針對二次凸函數的FR共軛梯度法，這里求解的問題為：

其中x=(x1,x2…,xn)綴R，A是對稱正定矩陣。這里對矩陣A對稱正定的要求從何而來？我們可以給出如下直觀性的解釋。

首先考慮對矩陣A的對稱性要求，即A=AT。通過對目標函數f(x)求梯度，可以得到

由此按照極值的必要條件可得，若x*為目標函數f(x)的極小點，則滿足成立。因此若矩陣A滿足對稱性要求，則根據（7）式知此時x*滿足線性代數方程組Ax*+b=0。

關于對矩陣A的正定性要求可以如下解釋：一方面從理論上來看這是函數f(x)極值存在的充分性條件要求之一，另一方面結合對矩陣A的對稱性要求可知，此時矩陣A的特征值全為正，且存在正交陣P=(P1,P2,…，Pn)，使得P-1AP=PTAP=撰成立，其中矩陣A是由矩陣A的特征值姿1,姿2,…，姿n所構成的對角陣，PiTPj=啄ij,i= 1,2,…,n。由于A=P撰PT成立，如果做正交線性變換y=PTx，即x=Py，也即將x看做由pi,i=1,2,…，n，為標架所生成的直角坐標系下的點，并令=bTP，則易得

注意到確定一個矩陣的特征向量同樣是非常困難的，因此上面的理論并不適合于數值計算。為了克服這個困難，引入一組關于對稱正定矩陣A共軛的向量組qi,i=1,2,…,n，它們是線性無關的，且滿足當i屹j,i,j=1,2,…,n時成立qiTAqj=0，同時當i=1,2,…,n時成立qiTAqj躍0。進一步令匝=(q1,q2,…,qn)，并作仿射變換x=匝z，該變換的幾何意義是將x看做由qi,i=1,2,…,n所生成的仿射標架下的點，通過簡單地計算可得，

同樣是將原目標函數f (x)的極小值問題轉化為n個獨立的或分離變量的目標函數fi(zi)的極小值問題。注意到此時共軛向量組qi,i=1,2,…,n的選取容易的多，從而非常便于數值計算。比較公式（8），（9）可知，通過直角坐標變換或者仿射坐標變換均可使得原始的目標函數變換為變量分離形式，且不論哪種變換，都至多需要n步即可求得極值，該結論正是課本中這部分內容的主要定理和結論[1]，通常采用數學歸納法證明，缺乏直觀性理解。

三、結束語

本文結合作者在最優化課程教學中的實踐經驗，討論了直觀性教學法在最優化課程中應用的必要性，并給出了直觀性教學法的具體案例。教學實踐表明直觀性教學法可以提升學生學習最優化課程的興趣、增進學生對最優化課程中抽象理論的理解，從而提高學生學習的效果。

參考文獻

[1]陳寶林.最優化理論與算法[M].北京：清華大學出版社，2009. [2]施光燕.最優化方法[M].北京：高等教育出版社，2009.

摘要：通過歸納最優化課程的基本特點，分析了直觀性教學法在最優化課程中應用的必要性。借助具體的教學案例，演示了語言直觀、圖形直觀與公式直觀在最優化課程講授時的具體實施。教學實踐表明適當的直觀性教學可以促進學生對抽象理論的理解，從而改善教學效果。

關鍵詞：最優化；直觀性教學法；教學案例

侯江霞，單位：新疆大學數學與系統科學學院。

Abstract:By generalizing the features of optimization course, this paper analyzes the necessity of the application of the intuitive teaching method in optimization course. Through the specific teaching cases, the paper demonstrates the implementation of intuitionist teaching aids, such as the language intuition, intuition of graph, and formula intu-ition. Teaching practices have shown that the intuitive teaching method can effectively promote students' understand-ing of the abstract theory and enhance the teaching effects.

Keywords:optimization; intuitionist teaching method; teaching case

作者簡介：劉德民，單位：新疆大學數學與系統科學學院。

中圖分類號：G642

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）02-0085-02