《微分幾何》教學的教改實踐感受

王玉光++李亞男

【摘 要】微分幾何是大學數學專業一門重要的專業課。結合教學經歷，談了談對微分幾何課程的一些認識和教學過程中的一些感受。

【關鍵詞】解析幾何；教學過程；思考

Some thinking on the teaching process of “differential geometry”

WANG Yu-guang1 LI Ya-nan2

（1.College of mathematics and computer science， Ningxia University， Yinchuan Ningxia 750021， China；

2.College of wangfang science and technology， Henan Polytechnic University， Jiaozuo Henan 454000， China）

【Abstract】Differential geometry is an important course for college students whose major is mathematics. Combined with teaching experience， we give some thinking and discussions about this course.

【Key words】Differential geometry； Teaching process； Thinking

《微分幾何》是大學數學類專業學生的一門重要的專業課，是連接經典內蘊幾何和現代微分流形的橋梁，也是大學階段所有幾何課程中和現代幾何聯系最密切的課程。結合承擔本課程教學工作的經歷，在此談談對該課程的一些認識和教學過程的一些感受。

1 開課背景

對數學專業的大學生來說，《微分幾何》是繼《解析幾何》之后開設的有一門重要專業課。通常來說，大學本科生開設的《微分幾何》課程有兩個原因，一個是大學課程自身知識體系的需要，解析幾何主要以初等數學的視角研究三維空間的曲線和曲面，微分幾何則借助微分工具以高等數學的視角研究空間曲線和曲面；另一個是針對部分學生將來考研繼續深造學習后繼課程的需要，經典微分幾何主要涉及曲面的內蘊幾何，而現代幾何的基礎則是流形，本課程就是聯系二者的橋梁。對我校數學類專業學生，微分幾何課程2011年之前是專業必修課，2011年之后由于培養方案和教學計劃的調整變成專業選修課，現在是第五學期（即大三第一學期）開設。

2 課程內容與教材選取

鑒于以上相關背景，本課程一般講授經典微分幾何的主要內容，即三維空間的曲線論和曲面論，主要內容包括空間曲線的基本定理和空間曲面的基本形式、曲面論基本定理以及外微分和活動標架，核心是曲面論。在教材的選取上，根據我們教學改革實踐中的需要和探索，近年來我們分別嘗試了紀永強教授、陳維桓教授以及梅向明與黃敬之兩位教授編著的三套教材。

3 教學過程發現的一些現象

從本課程在我校的開設情況看，選修學生還是相對較多的，遠遠超過同時期抽象代數和點集拓撲等同類選修課。也許其中一個重要的原因是在大學階段的課程學習中，相對抽象代數和點集拓撲來說微分幾何相對簡單，沒有其他兩門課艱深晦澀抽象難懂。然而在具體的教學過程中，我們也發現一些有趣的現象，主要有以下幾個方面：

3.1 不同的教材風格和內容對學生的學習效果有明顯的影響

在過去幾年的教學實踐中，我們分別使用了三種不同的教材，其中紀版教材使用2年，陳版教材使用1年，梅版教材使用3年。紀版教材主要采用向量分析法講授曲線和曲面的基本理論，內容全面，例題豐富，對于初學者來講易于學習，并且很多地方都是一題多解，至少有一種方法是便于掌握的，因而若能將這些方法融會貫通做到舉一反三則對于經典微分幾何的掌握必定扎實牢固；然而該版教材與現代微分幾何的銜接相對較少，現代微分幾何的內容和術語體現的相對不足，在學時壓縮的情況下，即使完全講授書中過于詳實的內容也講不完，更不必說還需要補充現代微分幾何的一些觀點和內容。陳版教材則與前者相反，較多的采用了現代微分幾何的觀點和術語，也普遍運用了線性代數的內容作為講授工具，起點高，與后續微分流形等課程的銜接性強；然而對于初學者的要求相對較高，學生掌握起來難度較大有點吃力。梅版教材則介于這兩者之中，內容全面，既照顧到經典微分幾何主要內容，又涉及到現代微分幾何的觀點和內容，講授方式以向量分析為主，便于學生接受，后期也介紹到活動標架和外微分，甚至涉及到整體微分幾何的內容，教師和學生可供選擇的余地也都較大，學生表現出的學習效果也較好。在我們的使用過程根據考試成績反映出來的結果看，使用梅版教材考試成績最好，其次是紀版，而陳版教材成績最低，這反映出不同教材對學生成績有明顯的影響。

3.2 學生的解析幾何和數學分析基礎對學習效果有明顯的影響

在開始本課程的學習前，我們記錄了學生的解析幾何成績和數學分析成績。在其后的學習過程中，不管是課堂演板、階段性測驗還是最終期末考試，學生的解析幾何和數學分析基礎對學習效果都有明顯影響，那些過往基礎扎實牢固的學生整體上取得更好的成績。這也不奇怪，因為數學課程本身邏輯性連貫性也較強，沒有良好的基礎后繼課程的學習肯定會更加吃力些。比如在講圓柱螺線的曲率和撓率時，解析幾何基礎扎實的同學能回顧起該曲線的一種直觀的物理背景，這樣結合曲率的概念不需要復雜的計算就可以得到曲線的曲率，即使計算也能準確算出結果，而那些解析幾何基礎較差的學生看到該曲線就沒有任何相關直觀背景，當然這也不妨礙學生按照曲線參數方程算出曲率和撓率，然而麻煩的是，有部分學生對于曲線撓率公式也沒掌握，或者在計算的過程中由于數學分析的基礎不牢往往計算錯誤得不到正確結論。再如，在計算平面的兩個基本形式的時候，解析幾何基礎扎實參數方程概念透徹的學生，選擇的平面參數方程就簡潔，直接選擇空間直角坐標系的坐標平面的參數表示即可，而有的同學則選用空間平面的一般形式，甚至還不知道這個一般形式如何轉化成參數形式。在計算球面的基本形式的時候也遇到類似的問題，盡管課堂上我們也詳細重點講授和演示，之后讓學生自己再次獨立計算時，有的學生寫不出球面的參數方程，更不會計算，這些學生恰好就是那些解析幾何和數學分析基礎較差的學生。

3.3 出勤率對學習效果影響不明顯。

按照學校對學生考試成績的相關規定，我們需要經?？疾鞂W生的出勤情況，然而，我們發現出勤率對學生考試成績的影響不明顯。有的學生從未缺勤考試成績卻不好，甚至還沒及格，有的學生缺勤較多考試成績卻還不錯，考及格。我們分析覺得，其原因可能有二，一是出勤的學生并未認真聽課或者缺沒有真正掌握課堂內容，只是帶著任務一樣來應付，學習的積極性主動性都不夠，所以成績不好；而缺勤的學生雖有上課未到，但是這些學生或者課后認真自學或者和同學與老師相互交流后補上了落下的知識和內容；除此之外還有另外一個重要的原因是考試前在老師的帶領下的習題復習階段這些平時的缺勤學生下了更多功夫抵消了平時缺勤的影響。

以上是我們在教學過程的一些粗淺認識和體會。教學過程是熟能生巧的過程，也是學習再認識的過程。和這些朝氣蓬勃充滿青春活力的大學生一起學習，共同進步是一件愉快的事情。

【參考文獻】

[1]紀永強.微分幾何[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]陳維桓.微分幾何初步[M].北京：北京大學出版社，2006.

[3]梅向明.黃敬之，微分幾何（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[責任編輯：王楠]