以思想方法為線索設計數學混合式微課程

【摘 要】同一數學思想方法蘊含于多個數學學科中，每一門數學學科也含有多種數學思想方法；設計微課時先確定重點要體現的思想方法，根據數學思想方法選擇微課內容，通過學習資源、活動與評價促使學生理解蘊含于知識中的思想方法并會應用，實現深層次學習。

【關鍵詞】微課程 數學思想方法 混合式

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）01C-0137-03

信息技術的發展推動教育形式變革，將教育模式與教育理念帶入“微課程時代”，各級各類微課程制作與評比活動蓬勃開展。在眾多網絡提供的數學微課程中，可以看到設計者在設計微課程的學習資源時，對于新技術的運用非常成熟，視頻、音頻、動畫等各種素材兼備，但比較其中優秀者與普通者，可以發現：好的微課程需要體現本學科的核心元素——蘊含于知識中的思想方法。如果僅停留在知識堆積、素材拼搭的程度，這樣的微課程缺乏靈魂，不能振聾發聵、促人深省。

數學思想是指人們對數學內容本質的認識。數學方法是在數學思想指導下，進行數學活動過程中所采用的各種措施、方式、途徑等。數學方法是數學思想的具體化。實際中兩者通常結合在一起稱為“數學思想方法”。數學思想方法蘊含于數學知識與數學活動之中，掌握一定的數學知識是領會數學思想方法的前提；而掌握數學思想方法之后能更深刻理解數學知識，促進深層次學習和應用。下面以線性代數和概率論與數理統計為例，分別探討以思想方法為線索設計數學混合式微課程。

一、線性代數微課程設計研究

（一）線性代數中的數學思想方法

1.化歸思想

化歸思想是將現有問題轉化為較易解決的問題或已有解決方案的問題的數學思想。如：解方程中通過恒等變形將一般方程化為最簡形；幾何證明中通過邏輯演繹推理論證的過程；解析幾何中通過坐標變換將曲線方程化為標準型的過程等。線性代數主要研究三大問題：解多元線性方程組、化二次型為標準型、化簡多元線性變換，這三個問題中均含有化歸思想，可歸結為矩陣的轉化問題。如：在線性變換Y=AX最簡化過程中，需對矩陣A作相似變換P-1AP轉化為它的相似矩陣；在線性方程組AX=b的求解過程中，需用初等變換將矩陣A轉化為它的等價矩陣。

2.數形結合思想

數形結合思想是綜合應用代數方法與幾何方法，以形明數、以數析形的數學思想。一方面通過直觀圖形闡明數量間關系，另一方面根據數量關系分析幾何圖形特征與變化規律。解析幾何是數形結合的典范。通過向量建立點與有序數組間的一一對應關系，將位置量化，進而將曲線及曲面看作動點的軌跡，建立曲線及曲面的方程。線性代數中許多概念與解析幾何相呼應。三元線性方程的行向量對應三維歐式空間中的向量，構成三維行空間。推廣到n元，在n維歐式空間中應用坐標、正交、基、維數、子空間等概念，確定n元線性方程組解的存在性，解的形式等。解析幾何為線性代數提供直觀解釋，這是數形結合思想的一大應用。

3.近似替代思想

近似替代思想是在局部用簡單函數替代復雜函數的思想。在一元函數近似計算中，需要討論在某個點的鄰域內用一次函數近似替代復雜函數，即在局部用直線近似替代復雜曲線問題。將近似計算問題從一元推廣到多元，就產生多元函數的近似替代問題，它促進線性代數的產生。多元光滑函數當自變量改變很小時接近于某個線性函數，就是它的全微分。多元光滑函數的全微分是自變量增量的線性齊次函數。因而研究多元函數局部性質的問題轉化為研究多元線性函數問題。

（二）以數學思想方法為線索設計線性代數微課

線性代數課程中主要的數學思想方法是化歸思想，下面以化歸思想為例，探討如何將思想方法作為貫穿教學內容的線索設計微課程。

在設計教學內容“解多元線性方程組”時，說明對多元線性方程組的系數矩陣做初等變換的目的和結果，指出系數矩陣的最簡形有利于快速確定基礎解系。在設計教學內容“線性變換”時，說明通過對線性變換的系數矩陣做相似變換可以將線性變換的矩陣化簡，從而能得到相對簡潔的形式。在設計教學內容“二次型”時，說明通過對二次型的對應矩陣做合同變換，將二次型的矩陣化簡為對角形，從而化簡二次型表達式。

以微課“矩陣乘法”為例，矩陣乘法是一種特殊運算，屬于基本概念課。如果不呼應整體課程蘊含的化歸思想，將是一節平平淡淡的課。但如果在設計中考慮到矩陣乘法是實現化歸思想的基本步驟，矩陣的各種變換都是通過矩陣乘法實現的，那就賦予這節課靈魂。在這節微課中，首先通過實例說明矩陣乘法產生的背景，從實例中提出問題：從“各單位需求原料表與各種原料價格表”這兩張數表中，如何快速得出每個單位需求原料的總價格？通過這個問題引導學生思考這種矩陣間的運算該如何操作，共同分析后得出將需求表與價格表中對應數據先相乘再相加的運算規則，并將這種運算定義為矩陣乘法?！靶枨蟊砼c價格表”實例表明在實際工作中運用矩陣乘法能夠簡化運算，同時指出由于實際意義不同，矩陣左乘與右乘不一定都能實現。而后將內容深化，說明矩陣乘法是矩陣變換的基本形式，為后文講述矩陣變換做鋪墊。最后介紹矩陣乘法在計算機作圖方面的應用：改變圖形形狀、圖形銳化、圖形加密等。

二、概率論與數理統計微課程設計研究

（一）概率論與數理統計中的數學思想方法

1.隨機思想

隨機思想是用確定性方法來研究不確定性現象的數學思想。隨機變量是概率論中的重要概念，用隨機變量X屬于某個實數集S來表示隨機事件，則概率P{X∈S}隨之唯一確定。這樣以數集S為自變量，以概率P{X∈S}為因變量得到隨機變量X的取值規律。在此基礎上定義離散型隨機變量的概率分布律、分布函數和連續型隨機變量的概率密度、分布函數。

2.極限思想

極限思想是指在運動變化過程中研究無限逼近問題的數學思想。在概率論中，大數定律與中心極限定理都用到了極限思想。伯努利大數定律表明當n充分大時，事件“頻率與概率P的偏差小于ε”是幾乎必定要發生的。它說明了頻率的穩定性，奠定概率論的基礎。中心極限定理表明當n充分大時，獨立同分布隨機變量X1，X2，…，Xn的算術平均近似服從正態分布。這一結果是數理統計中大樣本理論的基礎。

3.統計推斷思想

統計推斷思想是根據隨機樣本統計特征估計、推測總體概率特征的一種數學思想。數理統計以概率論為基礎，通過分析樣本數據，從而對研究對象總體的分布、數字特征或總體間的性質做出估計和判斷。常見的統計方法有：參數估計、假設檢驗、方差分析、回歸分析等。作為數理統計的延伸，統計學在社會科學中應用廣泛。著名數學思想家M·克萊茵說過：對于統計學來說，如果僅僅進行收集、統計并不是一種新思想，它的新穎之處在于統計方法能夠作為一個重要的方法來處理社會科學問題。

4.公理化思想

公理化思想是從盡可能少的原始概念和公理或公設出發，利用純邏輯推理原則，把一門數學學科建立成為演繹系統的數學思想。公理化思想是常見的數學思想方法，在概率論中表現得較為突出。

概率中最基本的三個概念為：樣本空間Ω、事件域R和概率P，它們描述了一個隨機試驗的基本組成部分，是概率論中的原始概念。其中概率P被定義為建立在樣本空間Ω中事件域R上且滿足三個條件：非負性、規范性、可列可加性的實值函數。概率定義中的三個條件就是三條公理，由這些公理出發可推出概率的其它一些性質，如：不可能事件的概率為0、有限可加性、減法公式等，進而導出一般加法公式、條件概率、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式等，形成完整的公理化結構系統。

5.模型思想

模型思想是把所考察的實際問題抽象為數學問題，根據數量關系構造數學模型，研究模型以解決問題的一種數學思想方法。數學模型是由數字、字母、符號組成的描述現實對象數量規律的數學公式、圖形或算法。模型思想廣泛存在于各個數學學科中。概率論與數理統計課程與實際聯系緊密，其中大量的概念、公式來源于諸如古典概型、各種隨機變量、參數估計、假設檢驗、可靠性等問題的研究，解決這些問題需要用到模型思想。模型思想實際就是應用數學的思想，是最重要的數學思想。

（二）以數學思想方法為線索設計概率論與數理統計微課

在概率論中，實現思維從確定性到不確定性的轉變是一方面，采用確定性方法分析、研究不確定性現象是另一方面，蘊含其中的主要是隨機思想。在教學設計中既要注重案例分析，通過案例分析揭示隨機現象的特征及其中蘊含的規律；又要強調用確定性方法分析不確定性現象的特點，研究隨機變量的概率分布、數字特征等特性，對隨機現象整體規律做出描述。

如微課“貝葉斯公式”，貝葉斯公式描述兩類隨機事件分別先后發生時條件概率間的關系，是根據先驗概率計算后驗概率的概率公式，是概率教學中的難點。貝葉斯公式中用到條件概率、乘法公式、全概公式，是對概率公式的綜合應用，也是對各類隨機事件的綜合事件的整體處理。設計好“貝葉斯公式”這節課是促進思維從確定性到不確定性的轉變的關鍵步驟。在微課設計中，首先講解案例“刺殺里根總統”，辯護律師指出兇手Hinckley患有腦萎縮，因而為Hinckley做無罪辯護。通過這個案例提出問題：已知美國正常人患腦萎縮的概率為0.02，精神病患者患腦萎縮的概率為0.3，精神病患者占美國總人口的1.5%，分析兇手Hinckley患有精神障礙的可能性。經過分析研討，得出判斷Hinckley是否患有精神障礙的公式，即貝葉斯公式。然后指出在“概率論”中有一類問題需要根據已有的條件概率來反推當前提條件發生轉換時的概率，解決這類問題就需要用到貝葉斯公式。最后介紹貝葉斯公式在生產與決策方面的應用。

同一數學思想方法蘊含于多個數學學科中，每一門數學學科也含有多種數學思想方法。設計微課程時先確定重點要體現的思想方法，根據數學思想方法選擇微課程內容，在每節微課中采用典型素材進行設計。案例分析中提供的兩節微課分別以線性代數中的化歸思想和概率論與數理統計中的隨機思想為主導思想，通過典型素材教學活動引發學習者深度思考，促進學生理解蘊含于知識中的深層思想方法。這樣的微課不再是“知識+練習”的“記憶+訓練”模式，它啟發學生理解基本思想、掌握基本概念與理論，將二者融匯貫通，達到對知識的深化理解。

【參考文獻】

[1]錢珮玲，邵光華.數學思想方法與中學數學[M].北京：北京師范大學出版社，2008

[2]Aleksandrow A.D.數學——它的內容，方法和意義[M].北京：科學出版社，2001

[3]Kline M.古今數學思想[M].上海：上海科學技術出版社，2002

[4]Morris Kline.張祖貴譯.西方文化中的數學[M].上海：復旦大學出版社，2004

[5]姜啟源，等.數學模型[M].北京：高等教育出版社，2011

[6]余勝泉，陳敏.基于學習元平臺的微課設計[J].開放教育研究，2014（1）