數學直覺思維的教學價值、特質及其培養路徑

孫展孝　劉富民

摘要：直覺思維和悟性思維是我們民族傳統思維哲學文化的特色和優勢所在。要借助直覺思維，發掘直覺思維的特色優勢，使直覺思維和邏輯思維完美結合，相得益彰，從而實現民族思維品質在現代科學意義上的蛻變。小學高年級學段是小學生思維品質的啟蒙和形成階段，培養小學生尤其是小學高年級學生的直覺思維能力，促進其邏輯思維能力發展，意義深遠。其培養可由引導小學生釋放數學形象直觀開始，然后采取啟發式教學法、實踐式教學法在學生課堂教學中加以引導。

關鍵詞：數學直覺思維；傳統思維哲學；教學價值；培養路徑

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2016）04A-067-05

義務教育數學課程標準明確提出發展學生的數感、符號感，在注重邏輯思維能力培養的同時，還應該注重觀察力、直覺力、想象力的培養，特別是直覺思維能力的培養。數學直覺思維是數學思維的一種基本成分，是數學學習活動中的一種認知過程和思維方式。在現實實踐中，“數學直覺思維”最直接的效果就是有助于學生數學學習能力的提高。而更大的效果則是學生們可以擁有創新精神和創造能力。所以，“數學直覺思維”對于培養和提高學生創造、發明能力有很大幫助。小學階段是小學生思維品質的啟蒙和形成階段，培養小學生尤其是小學高年級學生的直覺思維能力，促進其邏輯思維能力發展，增強分析和解決問題的能力，培養創新能力和科學精神，意義深遠。

一、小學數學直覺思維的理性認知

（一）傳統思維哲學視角下的直覺思維

從傳統思維哲學視角來看，中國傳統思維方式具有辯證性、整體性、直覺性、反思性以及實用性等多重特征，但和西方思維方式相比，最鮮明的還是其悟性特征，不妨把其稱為悟性思維。西方的哲學思維方式就其主流來說是理性主義的，而中國傳統哲學的思維方式與西方哲學的思維方式卻迥然不同，雖然中國傳統哲學的思維方式含有理性的因素，但并不歸結為理性，它較注重和強調悟性、直覺和體驗，但又不歸結為非理性。直覺是中國人最常用的思維方式。而直覺是經驗的產物，但不一定是邏輯的結果。中國思維傳統中缺少邏輯思維，重頓悟而輕證明，重歸納而少演繹，長于綜合而短分析，思維具有一定的模糊性。要使這種思維的模糊性變得清晰和理性，就要借助直覺思維，發掘直覺思維的特色優勢，使直覺思維和邏輯思維完美結合，相得益彰，從而實現民族思維品質在現代科學意義上的蛻變。

（二）數學直覺思維的表現形式

前蘇聯科學家凱德洛夫更明確地說：“沒有任何一個創造性行為能離開直覺活動?！敝庇X思維指人們不受邏輯規則約束直接領悟事物本質的一種思維方式。數學直覺思維是直接反映數學對象、結構以及關系的思維活動。思維者不是按部就班地推理，而是對思維對象從整體上進行考察，調動自身的全部知識經驗，通過豐富的想象做出敏銳而迅速的假設、猜想或判斷，跳過若干中間步驟或放過個別細節而直接把握研究對象的本質和聯系。其表現形式是以人們已有的知識、經驗和技能為基礎，通過觀察、聯想、類比、歸納、猜測之后對所研究的事物做出一種比較迅速的直接的綜合判斷，它不受固定的邏輯約束，以潛邏輯的形式進行。關于數學直覺思維的研究，目前比較統一的看法是認為存在著兩種不同的表現形式，即數學直覺和數學靈感。這兩者的共同點是它們都能以高度省略、簡化和濃縮的方式洞察數學關系，能在一瞬間迅速解決有關數學問題。

（三）數學直覺思維的主要特點

數學直覺思維具有個體經驗性、突發性、偶然性、果斷性、創造性、迅速性、自由性、直觀性、自發性、不可靠性等特點。迪瓦多內說：“任何水平的數學教學的最終目的，無疑是使學生對他要處理的數學對象有一個可靠‘直覺?！痹诮逃^程中，教師如果把證明過程過分地嚴格化、程序化，用僵硬的邏輯外殼掩蓋住直覺的光環，學生們只能把成功歸功于邏輯的功勞，而喪失了“可靠的直覺”，那將是我們教育的失敗。

直觀性。數學直覺思維活動在時間上表現為快速性，即它有時是在一剎那間完成的；在過程上表現為跳躍性；在形式上表現為簡約性，簡約美體現了數學的本質。直覺思維是一瞬間的思維火花，是長期積累后的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化。

跳躍性。直覺思維是對思維對象從整體上考察，調動自己的全部知識經驗，通過豐富的想象做出的敏銳而迅速的假設、猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環節，而采取了“跳躍式”的形式，清晰地觸及到事物的“本質”。

簡約性。對于一個問題情境，直覺思維引導我們根據自己的知識經驗和具體情況，無須思考也不用推理就能立即做出判斷，得到結論。這一點與邏輯思維截然不同。邏輯思維是將研究對象分成許多細節，然后遵循由易到難，由簡到繁，一步一步地進行。直覺思維卻是略去某些細節，迅速越級進行預測。這種簡約性是以頭腦中保持的信息為基礎的，是憑借大量知識的經驗所產生的結果。

綜合性。直覺思維從認識開始時，就是將客體作為一個整體來反映的。它只抓住了客體主要的、本質的矛盾，而那些次要的、非本質的環節往往被忽略。直覺思維以對問題的整體理解為基礎，進行觸及本質的判斷，因而思想著眼于整體。它不是按照先將客體分解成各個組成部分，再對各個部分之間關系進行分析研究，最后把所研究的成果綜合起來這樣一個程序來認識事物的。

創造性。直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的，發散的，使人的認知結構向外無限擴展，因而具有反常規律的獨創性。

二、數學直覺思維的培養

一個人的數學思維能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的?！睂τ谝粋€專業的數學工作者來說，他所具有的數學直覺顯然已不再是一種樸素意義上的原始直覺，而是一種精致化了的直覺，是通過多年的學習和研究才逐漸養成的。

扎實的基礎是產生直覺的源泉。迪瓦多內一語道破了直覺的產生過程：“我以為獲得‘直覺的過程，必須經歷一個純形式表面理解的時期，然后逐步將理解提高、深化”?！爸庇X”不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但絕不是無緣無故地憑空臆想，成功孕育于1%的靈感和99%的血汗中。阿提雅說：“一旦你真正感到弄懂了一樣東西，而且你通過大量例子以及通過與其它東西的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗.對此你就會產生一種關于正在發展的過程是怎么回事以及什么結論應該是正確的直覺?！?/p>

在課堂教學中，數學直覺思維的培養和發展是情感教育下的產物之一，知情融為一體，使認知和情感彼此促進，和諧發展。敏銳的觀察力是直覺思維的起步器，‘一葉落而知天下秋的聯想習慣、科學美的鑒賞力是直覺思維的助跑器，強有力的語言表達能力是直覺思維的載體。美國心理學家布魯納認為，應該做更多的工作去發展學生的直覺思維。直覺思維能力可以通過多方聯想，學會從整體考察問題，注意挖掘問題內部的本質聯系，借助對稱、和諧等數學美感，養成解題后進行反思的習慣等途徑加以培養。

（一）創設民主開放的思維環境，鼓勵學生大膽猜測

創造條件讓學生猜想是培養學生直覺思維的一個重要途徑。從心理學的角度看，猜測是直覺思維的一部分，它具有快速、直接、跳躍的特點，是學生有方向的猜想和判斷，是創造性思維的重要形式和表現，在教學中培養學生的猜測意識，引導學生進行大膽的猜想，正是培養學生直覺思維的重要方式。例如：在學生學習了同分母分數相加減之后，學習異分母分數的加減法，教師可以引導學生猜想：異分母分數相加減會是怎樣的？它會與同分母分數加減法有什么聯系？在教學正方形的周長時，讓學生猜想：正方形的周長可能與什么有關？有什么關系？用猜想貫穿課堂教學。這樣不僅能調動學生的學習情趣，引導學生積極探索、主動學習，而且能讓學生的數學直覺能力在猜測中獲得有效發展。學生的猜測可能是經過周密思維符合邏輯性的，但更可能是稚嫩無序的，甚至是錯誤的。作為教師，應始終引導學生大膽猜測，當學生猜錯時也不要潑冷水，不然就會扼殺學生的數學直覺。因此，直覺的產生首先需要有寬松開放的教學環境，讓學生感到心理安全和心理自由，從而能放開膽量，敢想、敢說、敢猜。

1.現實情境的創設。對小學生而言，現實情境是發生在他們身邊的可以觸摸到的事物，顏色、聲音、動畫是他們喜聞樂見的主旋律，因為美麗生動的童話故事、活潑有趣的游戲、直觀形象的模擬表演等呈現形式契合這一學段的兒童天真愛幻想的天性和心理特征。在我們低年級的數學教學中常用的一種情境創設就是現實情境。在本質上，這是學生真實生活的反映，它的依據就是學生已有的生活經驗。

2.趣味情境的創設。趣味性的謎語故事、游戲都是學生們喜歡的，能激起學生的學習興趣，這些情境既符合小學生的心理特點，也讓學生獲得較為形象化的初步認識，使學生在一種較為輕松快樂的氣氛里融入學習。

3.問題情境的創設。問題是思維的火花，而好奇是學生的天性，是學生探究未來世界的起點，引人入勝的問題情境能激活學生的思維。教學過程中，問題的形成不是自發的，是教師把學生引入積極的思維狀態而有目的地設置的。對學生而言，問題情境既有現實性趣味性又有思考性和開放性，不同程度的學生都愿意積極參與問題的討論。在設計問題情境的時候，可將問題情境故事化，提高問題情境的趣味性，也可將問題情境活動化，確保每個學生個體有效參與。問題情境具有強烈的吸引力，能激發學生的學習興趣，促進創造性思維的發揮。根據直覺思維考察問題，還要重視各個元素之間的聯系以及系統的整體結構，從整體上把握研究的內容和方向，并選取數學問題供學生訓練，引導學生利用已有的知識去猜想、發現、論證。

（二）給學生直覺思維“留白”，讓學生主動感悟

“悟”是學生主動探求知識的一種心理活動，是外在知識內化的重要途徑。學生只有用心去感悟，才能自己發現知識的內在規律，做到融會貫通，達到“真懂”、“徹悟”的境界，提高數學直覺能力。如在教學“商不變的規律”時，教師先提供一組算式讓學生通過計算，發現它們的商都是3，于是學生覺得非常奇怪，產生探索的欲望，并試圖找出其中的規律，這時再讓學生根據已給出的式子，自己編出商是7的算式。學生通過積極主動的探索，從人人動手編題中體驗到了除法中各數間的變化，悟出商不變的規律。教師應當提供機會、創設情境，引導學生主動探索，使學生在自己探索的過程中真正“悟”透數學知識。當學生使所學內容的整個知識系統在頭腦中形成非常直觀淺顯，非常透徹明白的東西時，也就達到了“直覺地把握”。

1.轉變觀念，敢于感悟。在大多數數學教師的觀念中只有“說得清、道得明”、步步為營、層層推進的邏輯思維才是唯一合理的數學思維。在這種狹隘的數學思維觀下，直覺色彩很強的猜想活動就不可能得到教師的肯定和尊重，時間一長，學生的思維極有可能被框死，不敢大膽猜想，不敢越雷池半步，從而喪失直覺、喪失靈感。可見，轉變教師狹隘的數學思維觀，是培養學生猜想能力的前提。

2.應用經驗，大膽感悟。直覺來源于個人的學識和經驗，它是學識和經驗積累到一定程度的產物。只有具備豐富的知識和較強的能力，才能憑借偶然的觸媒產生靈感直覺到事物的本質。積極的類比、聯想、猜想有利于培養學生的探索能力。因此，教學中教師要讓學生充分運用已有的經驗大膽猜想。教師引導學生大膽猜測時，應允許學生在猜想過程中失敗，鼓勵他們去尋求猜錯的原因，否則，會扼殺學生的數學直覺。

當然，敢于猜測不等于可以不負責任地亂猜亂想。猜測是一種合情推理，它與論證所用的邏輯推理相輔相成。對于未給出結論的數學問題，猜測是解題的路標；對于已有結論的問題，猜測是尋求解題途徑的墊腳石。猜測并非都是直覺思維，但在相當多的場合，猜測屬于帶有直覺性的高級認識過程。猜測的形成是針對研究的對象或問題，聯系已有知識與經驗進行形象的分解、選擇、加工、改造的整合過程。如有這樣一個應用題：在一個農場里，雞和兔一共22只，它們的腳有58只，雞和兔各有幾只？這是一個類似于古代雞兔同籠的問題，這種題目很多學生都覺得難以理解，也無從下手。教學中可引導學生大膽猜測，找到了答案后，教師可以請學生回顧一下猜測的過程，再引導學生進一步思考，最后將“雞是0只，兔是22只”一直到“雞是22只，兔是0只”中所有情形下的腳的數量計算出來，并進一步引導學生觀察、思考，探索出規律和解決問題的思路。這種“猜測—交流—驗證”的教學過程，不僅能調動學生的學習情趣，引導學生積極探索、主動學習，而且使學生的數學直覺能力在猜測中獲得有效發展。

3.合理聯想，驗證直覺。形象思維實質是人們的直覺和經驗的應用，人們對這種直覺、經驗的研究工作剛剛開始，還沒有上升為系統的科學理論，但可以說，以表象為基礎，進行聯想和想象，是形象思維的主要方式。經過形象的概括加工，識別事物本質，并進行再造性和創造性的想象活動，是人類思維的重要方式之一。表象的形成雖然離不開感知，但它一旦形成，卻能擺脫感知的局限性，而具有自己的獨立性和靈活性。形象思維從本質上講也可以說是表象的運動和發展。我們可以通過運用表象來展開豐富的想象活動。愛因斯坦說過：“想象比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括世界的一切?！辈贿^，想象的水平是依一個人所具有的表象和質量的情況為轉移的。表象越貧乏，其聯想與想象越狹窄、膚淺，表象越豐富，其聯想和想象越開闊、深刻。所以開展聯想和想象活動也是訓練學生形象思維的重要手段。如教學直線的認識，我們要讓學生在線段表象的基礎上聯想到直線。

（三）關注滲透數學哲學觀點，發展直覺思維

直覺的產生也是基于對研究對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建瓴地把握事物的本質。這些哲學觀點包括數學中普遍存在的對立統一、運動變化、相互轉化、對稱性等。美感和美的意識是數學直覺的本質，提高審美能力有利于培養對數學事物間所有存在著的和諧關系及秩序的直覺意識，審美能力越強，則直覺能力也越強。

1.重視學生觀察技巧的培養。學生無論是直接知識還是間接知識的學習都離不開觀察，直覺在觀察上表現出快速和靈活。這就需要我們在教學中重視培養學生對教材敏銳的觀察力，讓學生掌握正確的觀察方法，并經常訓練，形成技能。（1）觀察要有目的性。如教學循環小數時，一開始，教師設計這樣的一組情景題：①春夏秋冬春夏秋冬……②一、二、三、四、五、六、日、一、二、三、四、五、六、日……③紅、綠、黃、紅、綠、黃……然后提問：“哪一個同學能找出這組題的共同特征？”不僅一下子調動了學生觀察的興趣，而且明確了觀察的目的，讓學生很快通過觀察發現“依次不斷重復出現”這樣一個規律，為掌握循環小數這一概念打下了良好的基礎，同時突出了課的重點難點。（2）觀察要有選擇性。如學習方程概念時，教師可出示以下練習。判斷下列各式哪些是方程：①1+3=4、②3=2x、③7>x、④3x+5x、⑤6+x>x-5，讓學生運用方程概念，有選擇地觀察、判斷，從而做出正確的選擇。（3）觀察要有順序性。雜亂無章的觀察難以收到良好的效果。觀察要有一定順序，有條理、有步驟進行，或從整體到部分，或從小到大，或從大到小……要注意前后連貫，層次分明。

2.重視解題類型多樣化訓練。教學中選擇適當的題目類型，有利于培養、考察學生的直覺思維。如選擇題，由于只要求從幾個選擇項中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直覺思維的發展。實施開放性問題教學，也是培養直覺思維的有效方法。開放性問題的條件或結論不夠明確，可以從多個角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發散性，有利于直覺思維能力的培養。

3.設置直覺思維的意境和動機誘導。教師要轉變觀念，把學習的主動權還給學生。在教學過程中引導學生運用試探性的思考方法，從整體思考，把握問題實質，迅速合理地猜測出答案，從而培養學生解決問題的創造性、新穎性和靈活性，促使學生思維向邏輯思維能力方面過渡。教師對學生的大膽設想應給予充分肯定，應愛護、扶植學生的自發性直覺思維，以免挫傷學生直覺思維的積極性和直覺思維的悟性。

直覺思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發展，伊思·斯圖爾特曾經說過這樣一句話，“數學的全部力量就在于直覺和嚴格性巧妙地結合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。”這正是數學的魅力所在，也是數學教育者努力的方向。

責任編輯：石萍