淺談實際問題數學抽象過程中的學生思維

馮麗

[摘 要] 在初中數學教學中，運用所學的數學知識去解決實際問題是一個重要內容. 在傳統數學教學中，實際問題的解決往往只強調數學知識的運用，而忽視了實際問題解決所需要的數學模型的建立. 事實表明，數學模型的建立過程就是一個數學抽象的過程，此過程中學生的思維參與起著至關重要的作用. 關注學生在數學建模過程中的思維，可以有效地掌握學生的思維過程與特點，也可以有效地培養學生的思維能力. 初中數學教師必須對此高度重視！

[關鍵詞] 初中數學；實際問題；問題解決；數學抽象；思維

初中數學教學中常常需要學生去解決一些實際問題，而學生在這些實際問題解決的過程中，也常常會暴露一些思維上的不足，這會讓教師認為學生的思維能力不強；而教師這樣的認識又會讓學生認為自己的數學學習能力不強，因此稍不注意，實際問題的解決教學中，學生就有可能進入一個惡性循環.

如果教師建立另一個教學視角，即將數學問題的解決當成一個培養學生思維能力的機會，那結果便有可能不同，即使當教師看到學生的問題解決過程中有困難時，也會當成一個教學的契機. 而要實現這樣的思維轉換，教師就必須洞悉學生在問題解決中的思維過程，知道學生的思維有哪些優點，存在哪些不足等. 本文試以“解直角三角形”中的問題解決為例，淺談筆者對此問題的理解.

經驗視角下的數學實際問題解決

要實現知識運用角度下的教學向思維發展角度下的教學轉向，就必須弄清楚傳統問題的解決在教學中到底發生了什么. 在解直角三角形的教學中，常常遇到這樣的一個實際問題，即“梯子安全問題”. 比如這樣的一道題目：某梯子與地面所成的角α滿足45°≤α≤60°時，人可以安全地爬上斜靠在墻面上的梯子的頂端，現有一架6米長的梯子，用其最高可以爬上多高的墻？又比如說：假如用這樣的梯子爬墻時，梯子腳距離墻角的距離為2.4米，那此時人能否安全地使用這一梯子？（這兩個問題中，長度精確到小數點后一位，角度精確到1度）

爬梯子在學生的思維中具有比較清晰的圖像，學生容易構建出爬梯子的情形；而當涉及問題時，學生可能不知道影響安全的因素是什么，這個時候就需要教師做一點引導. 傳統教學中則可能容易忽視這一點，教師往往只顧強調問題解決的順序，而忽視了數學模型的建立. 如教師只強調要在三角形中解決問題，強調將實際問題中的數據“搬”到三角形中去，然后引導學生去回顧學過的直角三角形的知識，并將相關數據“代”到相關公式中去. 在這里，之所以將“搬”與“代”強調出來，確實是針對傳統的數學教學的，將實際問題中的數據“搬”到數學圖形中，是傳統數學教學最擅長的，“代”公式、“代”數據則幾乎是所有學生學習數學的固有認識. 筆者以為，即使學生“習慣”了這樣的教學，也不意味著他們就認可這樣的教學，因為學生在這樣的學習過程中，思維過程是生硬的，學生只能獲得對解題步驟的強化認識，而不能獲得真正的能力上的提高.

幾乎可以肯定地講，傳統問題解決教學中，師生都處于一種緊張的狀態當中，教師急于引導學生去解決實際問題，而學生則急于早點獲得解決問題的技能甚至是技巧. 當師生均忽視了思維的需求而去嘗試形成問題解決的技能時，問題解決的教學尤其是實際問題的教學，是容易走入困境的. 事實上，實際問題的解決首先面對的就是數學抽象的問題，只有通過數學抽象，實際問題才能有效地轉變為數學問題，因此實際問題解決的教學關鍵在于在數學抽象的過程中培養學生的思維能力，而此過程中學生思維能力的培養，關鍵又在于教師對學生此過程中思維的把握.

實際問題分析過程中的思維解析

那么，在實際問題解決的過程中，學生的思維又是什么樣的呢？其會經歷什么樣的思維過程？又有哪些思維能力培養的契機呢？筆者對此進行了持續的探究，其中“梯子安全”問題堪稱探究過程中最具代表性的教學案例.

此問題解決的過程中可以認識到：“梯子安全”是實際問題，而“解直角三角形”是數學問題，前者需要通過數學抽象才能變成后者. 在上面所舉的兩個簡單的梯子安全問題中，筆者跟學生進行了這樣的學習過程：

首先，讓學生在問題情境中構建最初的圖像. 上文已經提到，初中學生根據生活經驗和題意，是可以構建出最為基本的爬梯子的情形的，但學生往往不會認識到影響安全的因素，因此難以突破數學模型建立過程中最為關鍵的部分，而這恰恰是數學抽象的關鍵所在. 筆者的辦法是讓學生通過畫圖的方法，然后結合自己所作之圖進行自我想象，即將自己想象成爬梯子的人，然后去思考哪些因素可能會影響自己的安全. 這個時候，只要控制好學生不胡思亂想，即盡量思考數學因素，就可以有效地讓學生構建出梯子安全的基本圖像：梯子和墻組成一個直角三角形，已經知道直角三角形的斜邊的長度，知道底面一個銳角的角度變化范圍，求其所對的直角邊的最大值.

其次，再引導學生思考，題目所給出的底面銳角的范圍是隨便給的，還是有著客觀因素的影響？這個問題看起來與數學無關，卻關系到學生頭腦中所構建出來的數學模型是否完整，也就是關系到學生在數學抽象過程中，能否更有把握地面對自己所構建出來的數學模型，這也是傳統問題解決教學中所容易忽視的. 筆者在教學中強調了這一點，告訴學生梯子的安全性取決于梯子與地面的夾角（當然還有物理方面的摩擦等因素，此處不考慮）. 這個問題實際上是連接實際問題與數學問題的節點，正是在這個問題的討論中，實際問題會有效地被抽象成數學問題. 事實上，筆者曾經作過嘗試，在真實不告知角度范圍的情況下讓學生去思考梯子安全問題，學生也會朦朧地意識到這個角度可能的影響，但往往是不夠確定. 而在教師給出清晰的解答之后，學生的這一印象即可得到加強，事實上，此時學生所抽象出來的數學模型就更加成熟了.

再次，完善數學抽象之后的數學模型. 基于以上的分析，可以繼續引導學生思考梯子的安全問題，學生會發現這一問題實際上就是該直角三角形模型中的角的范圍問題. 如果給出了角度的范圍，那么可以求出能夠爬的最大高度；如果給出了高度范圍，那么可以求出梯子安全的角度范圍；如果給出了墻角與梯子腳的長度距離范圍，那么同樣可以求出最大高度與角度范圍. 通過這樣的數學抽象過程，學生就會認識到梯子安全這一實際問題背后的數學實質，其實就是直角三角形中的邊角關系，只不過是多了一個范圍而已.

以上三個步驟完全緊扣學生的思維，同時又順利地完成了數學抽象，筆者以為這樣的過程更適合初中學生的認知規律，更符合學生的學習需要，因而也就更加能夠培養學生的思維能力.

基于思維分析的問題解決與教學

初中數學教學中的實際問題及其解決是每一個重要的數學知識學習都會遇到的問題，同時由于課程改革，當前初中數學教學的評價方式與理念也有所變化，實際問題的分析與解決日益成為初中數學教學的重點. 在這種情況下，如果還堅持傳統的“解題”思路，那這些問題的解決就無法真正回到“問題解決”的思路上來.

有研究者指出，問題解決在初中數學教學中既是一個教學內容，也是一種思維過程. 問題解決的核心是學生的思維，而數學被喻為最美的思維花朵，其應當在實際問題解決的教學中有效地發揮培養學生思維能力的作用. 在上面所舉的梯子是否安全的實際問題當中，仔細梳理可以發現，學生的思維可以在諸多環節得到培養. 比如說在起初的模型構思環節，學生可以通過空間想象能力的參與，完成數學抽象所需要的最初的心理活動；比如說在數學建模的環節，學生要想順利地構建出直角三角形，尤其是動態的直角三角形——因為涉及一個銳角的變化范圍，學生既需要空間想象能力，更需要數學抽象能力的參與. 此時，數學抽象就成為一個剔除無關元素，尋找有關元素的過程；又比如說學生在運用直角三角形模型解決梯子安全問題的時候，還會重現直角三角形的相關知識，建立起直角三角形中邊角的對應關系，這是學用能力結合的過程.

總之，在學生解決實際問題的過程中，學生的思維始終處于活躍的狀態，而這一過程就是思維能力得到培養的最佳過程.

從實際問題到數學問題，數學抽象在其中發揮著至關重要的作用，而數學抽象的過程又是學生思維參與的過程，學生的思維能力在其中既可以得到應用，又可以得到培養. 至于其后的數學變式，則是考查學生的知識遷移能力，本文暫不作討論.