猜想·探究·證明

杜成智

[摘 要] 學生經常證題，但大多數是在已有結論的情況下進行的（稱這類問題為封閉題型）. 如果向學生適當提出一些不具有現成結論的問題讓學生尋求結論（稱這類問題為開放題型），那么這對提高學生的學習興趣和數學素養，培養學生的研究探索能力，無疑是很有益的. 筆者在一堂數學活動課上將一道課本例題設計成一組開放題，借助《幾何畫板》給學生探索的平臺，引導學生主動探究，真實地展現思維過程，使學生興趣盎然.

[關鍵詞] 學習興趣；探究能力；數學素養

問題構思

一道課本例題：蘇科版八下P82例5.

已知：如圖1，在正方形ABCD中，點A′，B′，C′，D′分別在AB，BC，CD，DA上，且AA′=BB′=CC′=DD′.

求證：四邊形A′B′C′D′是正方形.

問題1：如圖1，點A′，B′，C′，D′是正方形AB，BC，CD，DA邊上的動點，使AA′=CC′，BB′=DD′.

思考1：四邊形A′B′C′D′是什么四邊形？

下面按這樣的程序研究此問題：

（1）觀察圖形并猜想結論：拖動A′和B′點，使圖形變化. 觀察猜想，學生一致判斷四邊形A′B′C′D′為平行四邊形.

（2）數據驗證：現測算四邊形A′B′C′D′的四個角的度數，發現拖動A′和B′點，四邊形A′B′C′D′四個角的度數值不斷變化，但始終保持兩組對角相等，因此它是一個平行四邊形.

（3）理論證明：可證△AA′D′≌△CC′B′得A′D′=B′C′，同理得A′B′=C′D′，可得結論，問題得以解決. 不妨將其稱為正方形的內接平行四邊形. 那么它可以再特殊化嗎？

思考2：四邊形A′B′C′D′能為矩形嗎？如果可能，什么條件下它是矩形？

觀察圖2，部分學生從剛才測算角度的過程中發現∠D′A′B′可以為90°. 判斷只要∠1+∠2=90°即可. 需證△AA′D′≌△BB′A′，則要求AA′=BB′=CC′=DD′，使得四邊形A′B′C′D′能為矩形.

此條件確能保證四邊形A′B′C′D′為矩形，此時四邊形A′B′C′D′既是矩形也是正方形. 但問題是這個條件必要嗎？繼續拖動A′點，觀察角度變化. 如圖3，又出現了∠D′A′B′=90°的情況. 此時AA′≠BB′ ，但AA′=AD′，A′B=BB′，也能使四邊形A′B′C′D′為矩形. 說明僅僅從圖形出發不能完全反映所有情況，那么還有其他情況嗎？很多學生拿起筆來，想通過數據運算得到完整的答案. 這實質是由圖的研究轉為數的研究，或者說轉為數形結合的研究.

設正方形ABCD的邊長為1，AA′=CC′=x，BB′=DD′=y，則A′B=1-x，AD′=1-y. 要使∠D′A′B′=90°，則∠1+∠2=90°. 那么只需△AA′D′∽△BB′A′即可，則要求=.所以=. 解之得x=y或x+y=1.正是剛才的兩種情況.

結論：正方形ABCD的內接平行四邊形A′B′C′D′，當AA′=BB′或AA′+BB′=AB時，四邊形A′B′C′D′能為矩形. 其中滿足前者條件時，四邊形A′B′C′D′能為正方形.

聯想開來

進一步思考：將正方形ABCD換成非正方形的矩形，又會怎樣呢？

問題2：如圖4，矩形ABCD（AB≠AD）中，點A′，B′，C′，D′是AB，BC，CD，DA邊上的動點，使AA′=CC′，BB′=DD′.

思考1：四邊形A′B′C′D′是平行四邊形嗎？

基于問題1的操作，可以判斷四邊形A′B′C′D′為平行四邊形. 證明類似于問題1，這里略去. 能否再推進一步呢？

思考2：四邊形A′B′C′D′可能為矩形嗎？

如圖5，拖動B′至B位置，將A′從A至B移動，測算∠A′B′C′的度數，發現∠A′B′C′≠90° ；再將B′移至B位置，繼續測算……多次嘗試未發現∠A′B′C′=90°. 這時幾乎所有學生放棄了嘗試，認為：非正方形的矩形中不存在內接矩形. 但幾個為數不多的學生仍未放棄. 終于一位學生試驗出∠A′B′C′=90°的情況！此時，AB=4，AD=5，BB′=4，AA′=2（如圖6）. 因此有結論：非正方形的矩形中存在內接矩形！

深究下去

這位學生艱苦地嘗試出結論，高興之余不禁要問：此結論在什么條件下成立呢？這深深地吸引了其他同學. 于是大家再利用數形結合進行推算.

先取具體的數來算：取AD=5，AB=4，設AA′=CC′=x，BB′=DD′=y.

要使得∠D′A′B′=90°，則∠1+∠2=90°. 那么△AA′D′∽△BB′A′，則=，則=. 化簡得x2-4x+5y-y2=0. 將其視作關于x的方程，在Δ=16-20y+4y2≥0時有解，此時y∈（0，1]∪[4，5）.

結論：當y∈（0，1]∪[4，5）時，四邊形A′B′C′D′為矩形，且當y≠1和4時，B′，D′點確定，但A′，C′可處于兩個不同位置，即有兩種情況；當y=1或4時，情況唯一.

下面討論更一般的情況：設AD=a，AB=b，AA′=CC′=x，BB′=DD′=y，由上面推導可知，當=時，四邊形A′B′C′D′為矩形. 則要求方程x2-bx+ay-y2=0要有解，所以Δ=b2-4ay+4y2≥0，即b2≥-4y2+4ay. 如圖8，當y∈（0，y1]∪[y2，a）時，四邊形A′B′C′D′為矩形，且當y≠y1和y2時，B′，D′點確定，但A′，C′可處于兩個不同位置，即有兩種情況；當y=y1或y2時，情況唯一.

啟示

這節數學活動課給筆者的啟示：這類開放型題型，在結論不明確的情況下，讓學生試驗、猜測，甚至在錯誤中探索前進，無論是證實猜想還是否定猜想，他們都向真理靠近了一步，培養了學生的數學素質. 學生在使用計算機進行嘗試到發現結論到驗證猜想的過程中，很好地體驗了數學發現、創造的快樂，其收獲也是巨大的. 正如荷蘭數學教育家費賴登塔爾所說“學習數學的唯一正確方法是實現再創造，也就是由學習者本人把要學的東西發現或創造出來”. 由于學生的認知水平的限制，在這個問題中不易獨立完成、設置再發現的過程，利用《幾何畫板》平臺進行實驗，為再發現創造了條件，優化了數學教與學的過程.

這種以探究發現為主獲取數學知識的學習方式促使學生充分地參與學習，體會其中的數學樂趣，學生個性得以施展及和諧發展，較好地培養了學生分析問題，探究、解決問題的能力和創造能力.