“小題”亦可“大作”

任漢平

[摘 要] 復習教學要擯棄題海戰術，通過抓好例題的設計，體現小題目大思想，實現題量少而探究深的效果，同時帶動各知識點的綜合復習、各解題思想與方法的綜合運用. 本文以利用Excel軟件深入解決一道平常的習題為例，探究初中數學復習課的上法.

[關鍵詞] 初中數學；Excel；數學實驗

當前初中數學復習教學的千人一面、陳題不斷、重復操練成為學生復習積極性培養的阻礙因素，如何在復習舊知中讓學生得到新的感悟成為復習教學突破尷尬的一大方向.在第二輪中考綜合復習階段，筆者將Excel軟件的運用納入到一道復習題的解答指導過程中，發現了復習教學的一種新的境界，現展示這一復習片段，與同行分享.

復習題

如圖1，一個3 m長的梯子AB斜立在墻面OA上，AO長現為2.5 m.如果梯子的頂端A沿墻面下滑到C的位置，現AC=0.5 m，則B沿OB方向移至D處，請問：現在的BD長是否等于0.5 m？如果C點不斷移動，AC與BD是否永遠相等？

教學過程

1. 自主探究中產生問題解決的需要

出示題目后師生討論：在未經計算的情況下，學生普遍猜測認為AC與BD不相等.直觀思維是數學思維的重要組成部分，數學史上許多發現無不借助直觀思維來打基礎，經科學計算而得出. 教師對學生的這種猜測予以肯定并要求他們提供足夠的理由.

生 1：我認為 AC 和 BD 不相等.假如C點移到O處，則AC的長為2.5 m，而BD=OD-OB=3-OB，而OB==，為無理數，所以BD也是無理數，由此可以說明AC不等于BD.

生2：我認為他只是說明了他認為的特殊情況，那也只能說明BD不一定等于AC.

師：非常好！極限是一個重要的數學思想，我們在初中學習中遇到的函數思想、數形結合思想等不但有助于我們解題，還能培養我們良好的學習習慣.剛才生1的可貴之處就用到了極限思想，通過這種極端的例子告訴我們AC與BD在特殊情況下是不相等的；而生2則對生1的表述進行了糾正，指出不能以偏概全，即“存在AC≠BD的情形，并不能說明任何情況下都不存在AC=BD”，考慮問題就更全面了.那么AC與BD究竟什么時候相等呢？怎么才能建立AC與BD之間的關系模式，使他更方便地為我們的探究服務呢？

生3：我們可以建立兩者之間的函數關系，比如AC關于BD的函數，隨著自變量AC的變化，BD也隨之變化.

生4：我認為建立BD關于AC的函數更好，因為剛才分析AC的值是有理數時，而BD的值卻可能是無理數，自變量為無理數不方便畫圖啊！

師：太好了，那么這種關系是不是需要我們通過計算找到對應的數組，并把他們在平面直角坐標系上標示，畫出圖像呢？

建立函數解析式：當 AC=0.5 m或 AC=3 m都是特殊的數據點.首先請大家嘗試寫出BD關于AC的函數解析式. （師生共同討論得出函數解析式BD=OD-OB（學生愕然：因為二次函數的得出已經讓大家頗費周折，難不成在復習階段，老師還要拿個更難、更深奧的東西出來折騰我們？）

師：今天我們嘗試運用一種新的工具來解決大家遇到的同類題，那就是大家非常熟悉的Excel軟件.

2. 上機并引導數據的產生

師生共同上機，學生四人一組，進入Excel程序. 指導統一操作如下：

（1）新建文檔，將A1單元格命名為“AC（m）”（“m”表示“米”），在A2單元格中輸入“0.1”，A3單元格中輸入“0.2”，選中A1，A2，拖動右下角的“+”號，自動填充到A31.

（2） 將B1單元格命名為“OD（m）”，B2單元格輸入函數公式“=SQRT（9-（2.5-A2）^2）”，回車即成.選取B2拖動填充B列表格.？搖

（3）第三列中C1單元格命名為“OB（m）”，其每格數值是固定的，計算公式為“SQRT（9-2.5^2）”，同樣回車并進行整列拖動. （圖2）

（4）將D1單元格命名為BD（m），D2單元格的公式為“=B2-C2”，同樣回車后下拉.

3. 討論尋找特殊點

師：我們已經讓電腦幫助我們計算出了30組變量與自變量的值，從表格可以觀察到AC與BD在什么時候最接近. 想一想這一發現背后的意義是什么？

生1：當AC=0.9 m 時，AC與BD非常接近.

生2：當△COD 與△BOA 全等時，AC與BD相等！

師：完全正確，這是一種特殊情況，雖然我們剛才只討論到AC與BD不一定相等，現在卻找到了AC與BD能相等的特殊情況應該在自變量AC處于0.9到1之間的區域內，今后在整理數據時勤于觀察、仔細思考，讓數據為我們的研究服務. （圖3）

4. 作出函數圖像

師：下面我們利用Excel嘗試作 BD關于AC的函數圖像，觀察 BD 隨 AC 變化的趨勢情況. （圖4）

制作方法：（1）增加一列數字E2=0.1，E3=0.2，下拉至出現數值3為止，按Ctrl鍵并同時選中表1中AC與BD兩列數據及E2至E31.（2）依次選擇：插入—圖表—散點圖—其中一種散點圖形狀. （3）假如設BD=y，AC=x，系列1代表的正好是y隨x變化的圖像，而系列2代表的是一次函數y=x.

師：由圖3 可知，BD （y）與 AC（x） 在 AC<1 時非常接近，且兩個圖像有一個交點，請問這個點代表的是什么？而后系列2的圖像在系列1的圖像的上方，這說明了什么？同學們再想一想，這兩個系列的圖像會有幾個交點？為什么？（討論略）

反饋與總結

總結本次復習教學過程，有以下可取之處：

1. 老面孔，新教法

這一習題通過一道歷年中考中經常出現、教師也非常熟悉的習題展開深入教學，前幾年這種習慣的教學筆者往往在師生共同探討中三四分鐘就解決問題了，教學并無任何特色，學生也并無多大興趣，而現在通過軟件操作的介入，活用并提升了學生在信息課上學到的軟件操作技能，培養了學生對兩門學科的雙重興趣與情感.從興趣培養角度看，全班學生對在機房上數學課非常有興趣，特別是有不少數學成績并不理想但對電腦操作感興趣、有能力的學生，他們對這樣的課產生了興趣，而且也對數學學習萌發了新的熱情.

2. 小題量，大操作

一般的中考綜合復習中，教師會在一節課中設計十多道題讓學生研究，這樣學生讀題分析的過程就占去了大量的時間.而真正的研究過程卻因為時間限制而不能深入，往往是蜻蜓點水式，只見題量卻沒見復習效果出來.這次教學中以勾股定理為引子，串聯了相似三角形、函數、方程、不等式等多方面知識，體現了極限、數形結合等解題思想，而且本課又借助Excel輔助授課作為數學與信息技術整合教學的有益嘗試，在知識與能力跨度上是非常大的，綜合性復習理該如此.

3. 輕結果，重過程

從本題的題目設計看，并沒有標準的數據答案讓學生來得出.而從題目分析與解決的過程看，思維含量卻極為充足.教師對學生的表達能給予充分的肯定，滿足了學生的探究欲望，也培養了學生探究過程中的情感態度與價值觀.

4. 多整合，少片面

科學技術的發展，課程與課程間的聯系會越來越廣泛，整合性課程是今后教改的一大方向.除了信息技術在本課中的充分滲透并提升了研究效益之外，本課還滲透了科學實驗的成分，學生在操作電腦時完全是以一名研究者的身份，他們體驗到了實驗的樂趣.學生一旦能學會一次利用軟件制作函數圖像，有助于作出初中學過的其他函數圖像，對今后高中函數的學習也是非常有利的.

總之，在數學教學中滲透計算機技術的運用，借軟件來改進數學教學，提升復習課堂的效益，是本人也是數學教師值得深入探討的內容.本文權作拋磚引玉，不當之處務請同行賜教.