MATLAB在現(xiàn)代遠(yuǎn)程開(kāi)放教育數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用

潘玉娜

（廣西廣播電視大學(xué)理工學(xué)院，廣西　南寧　530023）

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MATLAB在現(xiàn)代遠(yuǎn)程開(kāi)放教育數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用

潘玉娜

（廣西廣播電視大學(xué)理工學(xué)院，廣西南寧530023）

［摘要］計(jì)算機(jī)是現(xiàn)代遠(yuǎn)程開(kāi)放教育的主要媒介，而MATLAB軟件是眾多計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)軟件中應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)工具。將MATLAB應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以有效提高教學(xué)質(zhì)量，有助于提高學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力，提高學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與信心。文章主要通過(guò)列舉實(shí)例，闡述MATLAB軟件在遠(yuǎn)程開(kāi)放教育數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用。

［關(guān)鍵詞］MATLAB；數(shù)學(xué)教學(xué)；遠(yuǎn)程教育；開(kāi)放教育

引言

現(xiàn)代遠(yuǎn)程開(kāi)放教育主要是以計(jì)算機(jī)互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)為平臺(tái)，以學(xué)生和學(xué)習(xí)為中心，以多種多媒體技術(shù)和現(xiàn)代信息技術(shù)為主要手段，面授教學(xué)與線上輔導(dǎo)相結(jié)合的新型教育教學(xué)方式[1]。對(duì)于數(shù)學(xué)而言，普遍存在的特點(diǎn)是：抽象性、復(fù)雜性和邏輯性強(qiáng)等。開(kāi)放教育面授課驟減的現(xiàn)狀，依然無(wú)法達(dá)到數(shù)學(xué)教學(xué)效果的要求，這給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)了不小的挑戰(zhàn)。從學(xué)生的心理層面上講，與教師面對(duì)面的教學(xué)機(jī)會(huì)減少，無(wú)疑增添了不少壓力，對(duì)數(shù)學(xué)更是敬而遠(yuǎn)之，逐漸減低了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。從學(xué)習(xí)效率層面來(lái)講，學(xué)生課外之余必須花更多時(shí)間進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)時(shí)間也是碎片化的，并且許多問(wèn)題和疑惑得不到及時(shí)的解答，這對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是非常不利的。作為一名遠(yuǎn)程開(kāi)放教育改革中的數(shù)學(xué)教師，直面挑戰(zhàn)的同時(shí)，也應(yīng)抓住機(jī)遇，以現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育技術(shù)為帆，助我們乘風(fēng)破浪，更好地為教學(xué)服務(wù)，為學(xué)生服務(wù)。MATLAB軟件是眾多計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)軟件中的一種應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)工具，具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能、豐富的圖像處理功能、動(dòng)態(tài)演示和模擬仿真功能等。MATLAB語(yǔ)言簡(jiǎn)短易懂，既不需要有多么豐富的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，也不需要多么深厚的計(jì)算機(jī)編程功底。將MATLAB應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，是將現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育技術(shù)有效結(jié)合到開(kāi)放教育教學(xué)的充分體現(xiàn)，從而提高教師數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量，方便學(xué)生線上線下自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力，重拾對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與信心。文章主要通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)用的例子，闡述MATLAB軟件在遠(yuǎn)程開(kāi)放教育數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用。

一、MATLAB在微分中的應(yīng)用

微分在高等數(shù)學(xué)中是一個(gè)非常重要的基礎(chǔ)內(nèi)容，學(xué)習(xí)好微分對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)非常關(guān)鍵。MATLAB軟件可以通過(guò)簡(jiǎn)短的語(yǔ)言程序就能求解任意階導(dǎo)數(shù)，非常方便快捷，特別遇到復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，可以省略很多中間繁雜的步驟，有助于加深學(xué)生對(duì)相關(guān)導(dǎo)數(shù)概念的理解。

在MATLAB語(yǔ)言中，常使用diff函數(shù)來(lái)進(jìn)行微分和求導(dǎo)運(yùn)算，使用jacobian函數(shù)實(shí)現(xiàn)多元符號(hào)函數(shù)的求導(dǎo)，下面分別對(duì)這兩個(gè)函數(shù)舉例說(shuō)明其應(yīng)用。

（一）使用diff函數(shù)求微分

例1求y=x2lnx+cosx2的微分。

解：在命令窗口中輸入如下命令，并按Enter鍵確認(rèn)。

以上是單自變量時(shí)的微分。下面舉個(gè)例子是對(duì)多個(gè)自變量的函數(shù)中的某個(gè)自變量求導(dǎo)。

例2求f=sin(x+y2-ez)的偏導(dǎo)數(shù)fz。

解：在“命令”窗口中輸入下列命令，并按下Enter鍵確認(rèn)。

（二）使用jacobian函數(shù)求多元符號(hào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例3求多元函數(shù)f1=xeyz+e-z+y和f2=xyesin(xy)的偏導(dǎo)數(shù)。

解：在“命令”窗口中輸入下列命令，并按下Enter鍵確認(rèn)。

所以只需用一個(gè)程序就可以同時(shí)得到：

二、MATLAB在積分中的應(yīng)用

在計(jì)算函數(shù)積分特別是多重積分時(shí)，需要考慮積分區(qū)間和積分區(qū)域，不同的積分區(qū)間會(huì)得到不同的結(jié)果，稍不注意就很容易出錯(cuò)，利用MATLAB軟件可以幫助學(xué)生快速驗(yàn)算計(jì)算結(jié)果，提高準(zhǔn)確率，節(jié)省時(shí)間。積分的調(diào)用格式非常簡(jiǎn)單，只需要套用兩三句簡(jiǎn)單語(yǔ)言就能輕松解決非常復(fù)雜的積分問(wèn)題。

（一）求解單變量數(shù)值積分問(wèn)題

例4求不定積分∫esinxsin2 xdx.

解：建立M文件如下：

（二）求解二重積分?jǐn)?shù)值解問(wèn)題

考慮二重積分

MATLAB提供的dblquad函數(shù)可以直接求出上述二重積分的數(shù)值解，該函數(shù)的調(diào)用格式如下：

例5計(jì)算二重積分∫10x2dx∫10e-y2dy。

解在命令窗口中輸入以下命令，按下Enter鍵得：

三、MATLAB在級(jí)數(shù)求和與展開(kāi)中的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)中的級(jí)數(shù)求和與展開(kāi)是非常繁雜的，特別需要耐心與細(xì)心，MATLAB軟件可以求解無(wú)窮項(xiàng)級(jí)數(shù)的和、Taylor冪級(jí)數(shù)前項(xiàng)展開(kāi)式以及傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)等，通過(guò)MATLAB軟件教學(xué)的展示可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的微妙，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與信心。

MATLAB中可用于求級(jí)數(shù)的函數(shù)有：

（1）symsum(s,v,a,b)自變量v在[a,b]之間取值時(shí)，對(duì)通項(xiàng)s求和；

（2）toylor(F,v,n)求F對(duì)自變量v的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)至n階。

（一）級(jí)數(shù)求和的計(jì)算

無(wú)窮級(jí)數(shù)求和S=ano+...+ann的符號(hào)函數(shù)的調(diào)用格式為symsum(a,n,no,nn)，其中a表示一個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，n是一個(gè)符號(hào)表達(dá)式，是求和變量（n可以省略，省略時(shí)，使用系統(tǒng)的缺省變量），no和nn是求和的開(kāi)始項(xiàng)和末項(xiàng)。

解建立M文件如下：

（二）Taylor冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

解（1）函數(shù)在y=f(x)在x=10處的泰勒展開(kāi)式.

建立M文件如下：

所以原函數(shù)在x=10處的泰勒展開(kāi)式為

（2）函數(shù)y=f(x)對(duì)自變量x的泰勒展式前5項(xiàng)。

建立M文件如下：

（3）函數(shù)y=f (x)對(duì)自變量x的泰勒展式前15項(xiàng)。

建立M文件如下：

所以函數(shù)y=f (x)對(duì)自變量x的泰勒展式前15項(xiàng)為

（4）函數(shù)y=f(x)在x=1處的泰勒展式前8項(xiàng)。

建立M文件如下：

所以函數(shù)y=f(x)在x=1處的泰勒展式前8項(xiàng)為

四、利用MATLAB解決數(shù)學(xué)中的圖形處理問(wèn)題

以上幾節(jié)內(nèi)容簡(jiǎn)單介紹了MATLAB語(yǔ)言的符號(hào)計(jì)算與數(shù)值計(jì)算功能在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，但是MATLAB軟件與其它數(shù)學(xué)軟件最大區(qū)別在于MATLAB的可視化效果功能。MATLAB可以畫(huà)二維、三維圖形，甚至高維的圖形，但是高等數(shù)學(xué)中使用較多的是三維以下圖形，所以本章重點(diǎn)介紹用MATLAB描繪二維、三維圖形。

（一）隱函數(shù)的圖像

對(duì)于一些以方程形式給出的函數(shù)f (x)往往無(wú)法用關(guān)于x的算式表達(dá)出來(lái)，像這種類型的函數(shù)被稱之為隱函數(shù).MATLAB提供了一類畫(huà)隱函數(shù)圖像的符號(hào)函數(shù)，這個(gè)對(duì)于我們研究隱函數(shù)的存在性、連續(xù)性、可微性等函數(shù)性質(zhì)帶來(lái)了很大的便利.該符號(hào)函數(shù)為“ezplot”,其調(diào)用格式如下：

表示在區(qū)間xmin

例8繪制笛卡兒葉形線x3+y3-3axy=0隱函數(shù)的圖像（這里取a=1）。

解在命令窗口中直接輸入命令：

圖1　笛卡兒葉形線隱函數(shù)的圖像

（二）二元函數(shù)的極限與連續(xù)性

討論二元函數(shù)的極限與連續(xù)性問(wèn)題是數(shù)學(xué)許多課程中的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)，它既是前面一元函數(shù)的繼承與發(fā)展，又是后面研究函數(shù)的微積分、收斂與一致收斂等重要性質(zhì)的基礎(chǔ)，所以理解與掌握好二元函數(shù)的極限與連續(xù)性是關(guān)鍵。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題本文第二章已有介紹它們的計(jì)算機(jī)求解，這里將通過(guò)圖像幫助我們對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步理解。

例9討論函數(shù)

在(0,0)點(diǎn)極限的存在性與連續(xù)性。

解建立M文件如下：

圖2　二元函數(shù)f(x,y)圖像

由圖像我們可以知道原函數(shù)在原點(diǎn)的極限存在，值為0，且在R2上連續(xù)。

（三）多個(gè)三維圖形

在高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：在同一坐標(biāo)系下，描繪出兩個(gè)曲面的共同區(qū)域，比如在三重積分與第一、第二型曲面積分等的計(jì)算中就需要寫(xiě)出積分區(qū)域，而這些積分區(qū)域往往就是由兩個(gè)或者多個(gè)曲面的邊界所圍成，但是對(duì)于復(fù)雜的曲面是很難描繪的，這里MATLAB卻是可以做到的。

例10在同一坐標(biāo)系內(nèi)描繪曲面z1=2(x2+y2)與平面z2=x+y-1。

解建立M文件如下：

圖3　曲面z1=2(x2+y2)與平面z2=x+y-1的圖像

借助簡(jiǎn)短的MATLAB語(yǔ)言將兩個(gè)曲面描繪在同一坐標(biāo)系下，我們就可以很直觀的觀察它們的圖像關(guān)系，進(jìn)一步分析他們所圍成的區(qū)域。從這里我們可以看到MATLAB作圖突出的是它的可視化效果，要真正融入到數(shù)學(xué)的解題中，還需要我們進(jìn)行一些人工的轉(zhuǎn)化，畢竟它對(duì)我們的學(xué)習(xí)起到的只是輔助作用而已。

五、結(jié)語(yǔ)

文章主要列舉了MATLAB軟件在數(shù)學(xué)課程中微積分、級(jí)數(shù)求和與展開(kāi)以及圖像描繪等重要問(wèn)題的應(yīng)用實(shí)例，這些內(nèi)容都是《高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》、《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》、《數(shù)學(xué)分析專題研究》、《微積分初步》等國(guó)家開(kāi)放大學(xué)統(tǒng)設(shè)課程的核心內(nèi)容。對(duì)于開(kāi)放教育學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)內(nèi)容復(fù)雜難懂，學(xué)習(xí)起來(lái)枯燥乏味，但是如果教師能充分利用MATLAB軟件進(jìn)行輔助教學(xué)，可以起到化繁為簡(jiǎn)、化抽象為直觀的效果，有助于提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，還可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和信心。將MATLAB應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，能增強(qiáng)知識(shí)的可視性，幫助學(xué)生加深對(duì)內(nèi)容的理解，使學(xué)生更好地掌握所學(xué)知識(shí)。

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［責(zé)任編輯王偉］

［作者簡(jiǎn)介］潘玉娜，女，廣西廣播電視大學(xué)理工學(xué)院教師，碩士，研究方向：遠(yuǎn)程數(shù)學(xué)教育。

［收稿日期］2015-09-21

［中圖分類號(hào)］G434

［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A

［文章編號(hào)］1008-7656（2016）01-0039-05