打通“標準”到“執行”的教學通道

陳克勝　徐文彬

【摘 要】《義務教育數學課程標準（2011年版）》頒布已有5年，作為一個綱領性的標準，它具有統轄性，往往對具體的知識內容難以作細致的分析，但由課程的“標準”到課堂教學的“落實”卻少不了這樣的深入分析。基于此，本文從數學文化、學習心理和數學知識的內在規定性等三個方面對“眾數、中位數和平均數”這一內容做出分析，以期對數學課程標準的完善及現實的數學教學實踐有啟發意義。

【關鍵詞】數學課程；數學文化；平均數；眾數；中位數

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）38-0027-03

【作者簡介】1.陳克勝，安徽師范大學（安徽蕪湖，241003）數學計算機科學學院副教授，博士，碩士生導師；2.徐文彬，南京師范大學（南京，210097）課程與教學研究所教授，博士生導師。

一、問題的提出

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）是在《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》的基礎上修改而來。自其頒布之日起，對《課標》內容的討論一直不絕于耳。如《義務教育數學課程標準（2011年版）解讀》（以下簡稱《課標解讀》）中所述，《課標》是從社會發展與數學課程之間的關系及相互影響、數學學習心理規律與數學課程設計、現代數學進展與數學課程之間關系、義務教育階段學生數學學習現狀和國際數學課程改革的特點等五個方面考慮研制的[1]，但其中缺乏具體到某個數學知識點的研究報告。這一缺失，既不利于更廣泛地調動數學教育工作者參與課改的熱情，也不利于教材編寫者對課標的理解。基于此，筆者嘗試以“眾數、中位數和平均數”這一內容為例來做一番分析。（注：下文中，除特別說明外，“平均數”均指“算術平均數”。）

關于統計量“眾數、中位數和平均數”的定位問題已有的研究如下：一是中外數學教材的比較研究；二是2011年以前的國內部分研究者的主張，認為將“眾數、中位數和平均數”前置在小學階段是可行的，采用螺旋式上升的教學方式，循序漸進地讓學生學習這些統計量的意義[2]，這也是《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》的內容；三是小學數學教學實踐顯示，中國的小學生學習接受眾數、中位數和平均數不存在認知阻礙[3]。現行的《課標》將“眾數、中位數和平均數”這一內容分拆在兩個學段學習：第二學段要求“體會平均數的作用，能計算平均數，能用自己的語言解釋其實際意義”；第三學段要求“理解平均數的意義，能計算中位數、眾數、加權平均數，了解它們是數據集中趨勢的描述”。在這里，我們不禁發問：“平均數的意義”具體有哪些？第二學段應學習平均數的哪些意義？第三學段應學習哪些？其依據是什么？這樣的學習順序是最好的選擇嗎？

二、問題的分析

1.基于數學文化的分析。

數學文化是在一定歷史發展階段，由數學共同體在從事數學實踐活動過程中所創造的物質財富和精神財富的總和。[4]國內外數學家和數學教育家已十分肯定數學文化（數學史）對數學教育的意義，歸結起來至少有以下三點：有助于理解數學；激發學生的學習興趣；指導數學課堂教學。基于此，有很多專家學者提出：數學教育本質上是數學文化教育。由此，有必要將“（算術）平均數、眾數和中位數”置于數學文化的視角來分析。

義務教育階段，反映數據集中趨勢的統計量一般有眾數、中位數和算術平均數。從歷史上來看，這三個統計量的來源卻不一樣。人們最早應用反映數據集中趨勢的統計量可能是眾數。公元前428年，雅典受困需要突破敵人的圍城，很多人通過數城墻磚的層數的方法來估計城墻的高度，利用眾數來反映該組數據的一般水平。在歷史上，人們還使用中位數替代（算術）平均數來反映某個總體的集中趨勢。1599年，愛德華·懷特（Edward Wright）將中位數應用于航海，用以確定指南針所指定的位置。1874年，費 歇 爾（R. A. Fisher）將中位數用來描述社會和心理現象。1882年，高爾頓（Galton）第一次使用“中位數”一詞。使用（算術）平均數有以下幾個來源：第一，用平均數來估計較大的數。公元4世紀，印度魯帕那（Rtuparna）為了估計果樹上樹葉和果實的數目，使用了平均數。第二，重復測量取平均數以減少誤差。公元16世紀末，第谷（Tycho Brahe）為了減少觀測的誤差，率先取重復測量值的平均數作為天文學觀測的數據。后來，這種方法在歐洲得到廣泛的運用，有效地減少了系統誤差。第三，平均數的補償性。古希臘時期，數的大小用線段表示，其平均數的定義為“a和c中間的數b稱為算術平均數，當且僅當b-a=c-b”，古代中國也有類似的思想。第四，利用平均數來公平分配。大約公元前1000年，地中海地區航海貿易比較發達，但存在風險，人們想到利用平均數的方法解決公平分擔風險問題。第五，平均數是總體的代表值，在現實情境下不一定具有實際意義。1831年，魁特奈特（A. Quetelet）提出“平均人”概念：有這樣一個人，他在一切重要的指標上都具有某一群體中一切個體相應指標的平均值。[5]

基于數學文化的分析，可以建立有關反映數據集中趨勢的數學知識結構，從而幫助學生形成結構完善的概念圖。在數據分析時，人們傾向于先使用眾數和中位數刻畫數據的集中趨勢。因此，有必要將平均數、眾數和中位數安排在同一個單元。

2.基于學習心理學的分析。

統計與概率雖然進入基礎教育比較晚，但是有關統計與概率的學習心理研究隨著課程改革在不斷地深入。關于反映數據的集中趨勢的統計量的一些研究有了以下一些結果。

Strauss和 Bichler研究發現：50%的8歲學生和幾乎所有的10歲學生能夠理解平均值位于最大值和最小值之間。幾乎所有的學生能夠理解平均數受每個數據的影響，平均數不一定是真正的數據。[6]Mokros和 Russell發現：有些低年級的學生將“平均數”理解為出現次數最多的一個數據（眾數）。有些低年級的學生將平均數理解為中位數。有些低年級的學生雖然意識到算術平均數，但是具體數據問題中不會應用。[7]Russell和Friel設計了一道測試題：九個不同品牌的薯條，袋子大小規格相同，所有品牌的平均價格是 1.38 美元，問九種不同牌子各自價格是多少？測試的結果是：大部分學生認為平均數是數據中出現最多的數。小部分學生認為平均數是中間的數，并構造一些以平均數為中心的對稱數據。[8]Moritz、Watson和 Pereira-Mendoza研究了1014位澳大利亞學生，發現：40%的三年級的學生、7%的六年級學生和 2%的九年級的學生不理解平均數。[9]上述研究表明，關于這三個統計量的學習難度存在不同，學生學習眾數和中位數的難度較低，而平均數則比較難。由此，不妨先學習眾數和中位數，讓學生建立反映數據的集中趨勢的思想方法，然后再進一步學習平均數。

3.基于數學知識內容的分析。

平均數、眾數和中位數作為反映某組數據的集中趨勢，并在比較中判定在某種條件下所適用的統計量，這是數學知識的內在規定。根據數學知識內在規定的特點來組織教學，才能更深刻、全面地理解平均數概念及其統計意義。

平均數、眾數和中位數都是作為反映某組數據的集中趨勢的統計量，但一般來說，這三個統計量的使用存在著前提條件。如果某組數據呈現正態分布，那么平均數、眾數和中位數都能客觀地反映該組數據的集中趨勢，三個統計量沒有區別。如果某組數據呈現偏態分布，那么必須考慮這三個統計量的適用條件，才能客觀地、較為真實地反映該組數據的集中趨勢。一般地，在明顯存在極端值的情況下，用中位數更能代表總體的一般水平。在某些數據出現的頻次相對比較多的情況下，用眾數能較真實地代表總體的一般水平。在某些數據呈現均勻分布的情況下，往往使用平均數來反映該組數據的集中趨勢。這三個統計量所蘊涵著的統計意義，歸結起來大體有四點：作為判斷事物的數量標準或參考；作為代表來衡量不同總體之間的水平；作為用樣本的平均數來推斷總體的水平；作為總體的平均數通過在某段時間內的發展變化，探索研究對象的發展規律。

三、思考與建議

行文至此，有必要梳理一下相關結論并給出相關建議了。首先，從課標研制的角度而言，理論與實踐的結合是數學課程標準制定的永恒法寶。數學課程標準的研制需要考慮社會發展與數學課程之間的關系及相互影響、數學學習心理規律與數學課程設計、現代數學進展與數學課程之間關系、義務教育階段學生數學學習現狀和國際數學課程改革的特點等這五項基礎性研究，但是更細致地、深入到每一個數學知識點的研究，則需要從數學知識內在規定性、學習心理學的相關研究以及數學歷史文化三個方面對具體知識點進行綜合分析，并且開展相關的教學實驗對理論分析進行驗證。

其次，應盡可能多地調動數學教育工作者參與課改。數學教育工作者往往只了解到課標研制的宏觀過程，至于具體到某個數學知識點則沒有相應的研究報告。因此，在研制課標的過程中，有必要將相關的研究成果讓一線數學教師了解，便于讓更多人參與進來，同時也進行相關的教學實驗，使課標得到更廣泛的實踐檢驗。

最后，由于“眾數、中位數和平均數”這一內容本身具有一定的抽象性，需要學生具備一定的計算能力，因而筆者贊同將其放在第二、三學段進行教學，但對具體的教學順序與要求有自己的看法。具體而言，（1）將平均數、眾數和中位數安排在一個單元，有利于相似知識的連貫性教學；（2）先學習眾數和中位數，讓學生建立反映數據的集中趨勢的思想方法，然后再進一步學習平均數；（3）考慮到平均數的統計意義有4點，不妨考慮以平均數的統計意義為學段劃分的依據，分兩個學段進行學習，《課標》中第二學段有關的內容標準不妨這樣修訂：“體會眾數、中位數和平均數的統計意義——作為判斷事物的數量標準或參考和作為代表來衡量不同總體之間的水平，能確定中位數、眾數，能計算平均數，了解中位數、眾數和平均數的關系”，第三學段的內容標準可修改為“理解眾數、中位數和平均數的統計意義——作為用樣本的平均數來推斷總體的水平、作為總體的平均數通過在某段時間內的發展變化、探索研究對象的發展規律，能計算加權平均數，理解眾數、中位數和加權平均數的關系”；（4）由于教師在進行教學設計時，往往會先從數學教材出發揣摩《課標》中的要求，因而，不同教材對同一知識點的編寫應在內涵上保持一致。

總之，修訂和完善數學課程標準的指導思想是最大限度地符合數學教育規律，而檢驗的方法和策略是先從系統觀念出發，聯系數學知識內在規定、數學學習心理和數學文化三個方面統籌分析，然后在此基礎上進行有針對性的教學實驗。同時，公布更具體的研制成果，充分調動廣大一線的數學教育工作者參與其中，在教學實踐中進行更廣泛的檢驗，這樣才能夠更有利于數學課程標準的完善。

【參考文獻】

[1]史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]張輔，唐華軍.上海與加州數學課程標準小學“統計與概率”比較研究[J]. 泰山學院學報，2006（06）.

[3]閆炳霞.從美國小學的一節統計課談我國小學“統計與概率”的教學[J].中小學教學研究，2006（02）.

[4]陳克勝.基于數學文化的數學課程再思考[J].數學教育學報，2009，18（01）.

[5]吳駿，黃青云.基于數學史的平均數、中位數和眾數的理解[J].數學通報，2013，52（11）.

[6]Strauss S， Bichler E. The Development of Childrens Concepts of the Arithmetic Average[J]. Journal for Research in Mathematics Education， 1988（19）.

[7]Mokros J， Russell S J. Childrens Concepts of Average and Representativeness[J]. Journal for Research in Mathematics Education. 1995（26）.

[8]Russell， Susan Jo， Friel， Susan N. Collecting and analyzing real data in the elementary school classroom[J]. In P. R. Trafton & A. P. Shulte （Eds.）， New Directions for Elementary School mathematics，1989：134-148.

[9]Moritz J， Watson J， Pereiramendoza L. The Language of Statistical Understanding： An Investigation in Two Countries[J]. Education，1996（01）.

注：本文系安徽省教育科學規劃項目“高中數學課程中數學文化及其典型案例研究”（編號：JG12016）研究成果之一。