初中生數學分類思想的建立

張建明

摘要：《數學新課程標準》中明確要求“對于重要的數學思想方法應體現螺旋上升的、不斷深化的過程，不宜集中體現”，這就要求我們教師在教學中應注重對學生的觀察、操作、分析、思考能力的培養，更應不斷地滲透數學思想方法，如何分類是我們初中數學應該重點教育的內容。

關鍵詞：分類；初中數學；思維素質

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）07-085-2

在自然科學的研究中，人們通常采用分類的思想方法，透過事物的各種表象，提示事物的本質特征，從而達到真正認識該事物的目的。作為自然科學之一的數學，分類方法的運用尤其突出，可以說是學習數學最基本的方法，作為數學基石的初中數學，更是如此。因此，教學應注重對學生分類思想的培養，讓他們獲取研究問題的“鑰匙”。在知識的接收和技能的形成過程中，更透徹、全面地認識數學概念、公式、定理等，以養成科學的思維習慣，給問題的解決帶來方便。我在平時教學中，在學生分類思想的確立方面作了一些有益的探索，談點粗淺的看法。

縱觀現行初中數學教材，不難發現，一到三年級的相關內容里，多處出現分類討論的問題。分類定義絕對值的概念；一次函數y=kx+b、正比例函數y=kx、反比例函數y=k/x的性質，分k>0與k<0兩種情況討論；關于一元二次方程的根的情況分Δ>0，Δ=0，Δ<0三種情況討論，關于點與圓的位置關系性質，分點在圓內，點在圓上，點在圓外三種情況討論等。這些都充分體現了初、高中數學在知識與方法上的有機銜接，而且分類思想在中考與高考中也經常出現，因此，在教學中，對學生適時地，有意識地加強引導，逐步滲透，強化分類討論意識是十分必要的。

一、按概念分類

初中數學課本里的有些數學概念是分類定義的。

例1實數a的絕對值，即分a>0，a=0，a<0三種情況定義的。所以，當解決式子中含絕對值的題目時，就應該分類處理。

設a是任意實數，求a與它的相反數的差的絕對值的2倍的值。

解：依題意，則：2|a-（-a）|=2|2a|，然后分a>0，a=0，a<0三種情況討論。

二、按運算分類

我們知道，在除法運算中規定：除數不能為0。因此，對一次方程，當化為最簡形式ax=b后，若未知數系數含選定字母，則須就系數分a=0與a≠0進行討論。有些運算性質，如：不等式的基本性質2、3條，在使用是時，須分不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數與同一個負數，來決定不等號的方向是否改變。所以，對一次不等式，在化為最簡形式后，若未知數系數中含待定字母，須分系數大于0，等于0，小于0三種情況討論。

例2解關于y的不等式：m（2y-m）>2（y-3m）+5

解：原不等式變形為：2（m-1）y>（m-1）（m-5）；

（1）當m>0時，不等式解集為y>（m-5）/2；

（2）當m=0時，不等式無解；

（3）當m<0時，不等式的解集為y<（m-5）/2，通過這類題目的練習，讓學生感受邏輯思維的層次性與知識的系統性，培養嚴謹、全面處理問題的能力。

三、按不確定分類

教學中，常遇到一些幾何命題，題目本身并沒有給出圖形，依據條件及結論，若題圖的位置或形狀不止一種可能，則應全面考慮，逐個分類討論。如：（1）直角三角形的三邊為3、4、x，求x。即應分x作斜邊與4作斜邊兩種情況求解。（2）等腰三角形周長為15，一邊長為7，求另兩邊的長。即應分已知邊作腰與作底邊兩種情況求解。（3）⊙O的半徑是5，弦AB∥CD，且AB=6，CD=8，求AB與CD之間的距離。即要分弦AB、CD在圖⊙O的兩側與同側兩種情況求解。（4）兩圓相切，一圓的半徑是2cm，圓心距是5cm，求另一圓的半徑。應分內切與外切兩種情況考慮。

四、按取值分類

對于有些具體的數學問題，如：圖象位置、不等式的解集、代數式的值等，它們的結果會因題中字母的不同取值而各異，此時，需對字母的取值分類討論，方可得到正確的答案。如：

（1）已知一次函數y=（k-3）x-9，試判斷直線經過的象限，就要分k>3與k<3進行討論。

（2）在同一直角坐標系中，表示函數y=k/x，y=k（x2-1）的圖象大致位置。這類圖象的位置與k的符號有關，依題意需分兩種情況討論。通過作這幾類的題目，讓學生感受思維的深刻性與廣闊性，從而培養他們合理、靈活地解決問題的能力。

五、按幾何位置分類

1.與線段有關的問題，如：線段AB=7cm，在直線AB上畫線段BC=3cm，則線段AC=。

2.與等腰三角形有關的問題。

例3已知平面直角坐標系中有兩點A（4，0）、B（0，-3），試在坐標軸上找一點P，使△PAB為等腰三角形。求出P點的坐標。

析：本題中△PAB由于P點位置不確定而沒有確定，而且等腰三角形中哪兩條是腰也沒有確定?！鱌AB是等腰三角形有幾種可能呢？我們可以按腰的可能情況加以分類：

（1）∠A為頂角則AP=AB；以A為圓心以AB為半徑畫圓可以得到除B以外的三個交點；

（2）∠B為頂角則BA=BP；以B為圓心以BA為半徑畫圓可以得到除A以外的三個交點；

（3）∠P為頂角則PB=PA；P在AB的垂直平分線上畫圖可以得到與坐標軸的兩個交。綜上所述可以得到坐標軸上符合條件的八個P點。

3.與直角三角形有關的問題，如：在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，1），點B的坐標為（11，1），點C到直線AB的距離為4，且△ABC是直角三角形，則滿足條件的點C有（）個。

4.與圓有關的問題，如：點與圓、直線與圓、兩圓的位置關系。

（1）半徑分別為10、17的兩圓相交，公共弦長為16，求圓心距。

析：本題極易漏解，原因是沒有想到本題要分類討論。實際上本題的圖形是不確定的，有兩種可能：①兩個圓心分別在公共弦的兩側；②兩個圓心在公共弦的同側。分類畫出圖形，利用勾股定理，可分別解得圓心距為21或9。

（2）點M到⊙O的最長距離為5，最短距離為1，則圓的半徑為。

（3）⊙O半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，則AB和CD的距離為cm。

（4）相切的兩圓半徑分別為3cm和2cm，則兩圓的圓心距為cm。

六、按應用分類

例4某批商品，一個月僅能月初進貨一次，如月初售出可獲利潤1000元，再將成本和利潤一起投資，月末可得05%回報，如月末售出可獲利1100元，但需付50元保管費，問這批貨物是月初還是月末售出好？

析：應用題中的分類討論都是在解題過程中的討論，這時應有分類討論的意識，需認真分析產生不同影響的因素，明確討論對象，使題目解答完整。由本題意可知，利潤與成本有關，因此有必要對成本進行討論，當成本x=9000元時，兩者均可，當成本x>9000元時，月初出售好，當成本x<9000元時，月末售出好。

分類討論的思想是一種重要的解題策略，對于培養學生思維的嚴密性、嚴謹性和靈活性以及提高學生分析問題和解決問題的能力無疑具有較大的幫助。然而并不是問題中一出現含參數問題就一定得分類討論，如果能結合利用數形結合的思想，函數的思想等解題思想方法可避免或簡化分類討論，從而達到迅速、準確的解題效果。

數學中的分類討論思想是一種比較重要的數學思想，通過加強數學分類討論思想的訓練，有利于提高學生對學習數學的興趣，培養學生優良的思維品質對學生的未來必將產生深刻和久遠的影響?？傊诔踔懈鱾€模塊的教學中，逐步滲透用分類討論等數學思想的去解決問題。分類討論覆蓋的知識點較多，有利于考查學生的知識面、分類思想方式多樣，具有較高的邏輯性和較強的綜合性，樹立分類討論思想，應注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧，做到確定對象的全體，明確分類的標準，分層別類不重復、不遺漏地分析討論，分級進行，獲取階段性結果。綜上所述，應將分類討論思想貫穿于教學始終，針對初中生的年齡特點，在充分發揮形象思維的同時，嘗試引導他們多運用抽象思維，去解決較復雜的數學問題，久之，便會形成高級創造性思維，獲得研究問題的科學思維方法，讓學生更得心應手地學習數學。

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