科教協同理念下數學課堂中的案例收集

李科贊　祝光湖　劉期懷

摘要：任何數學概念的提出都具有相應的實際背景和理論意義，雖然教材上已給出了相應的經典實例，但有些例子與學生的實現生活環境聯系得不夠緊密。在科教協同理念下，本文通過收集教師科研中的實例或與學生息息相關的生活例子，以此再現理論知識在具體問題中的應用，以此提高學生的學習積極性以及加深學生對相關概念的理解。

關鍵詞：協同理念；數學課堂；案例

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）34-0176-02

一、引言

課堂教學是高校人才培養中最為重要的環節，為了進一步提高教學質量和解決當下若干突出的教與學之間的矛盾，課堂教學方法的改革必須與時俱進，務實求新[1-6]。當下存在的主要問題包括：（1）學生上課的積極性不夠高。作為教師，面對此種情形，應該要想方設法進行教學方式的調整和改革，調動學生的學習積極性，為提高教學效果和質量奠定基礎。（2）學生對理論知識的理解和把握能力嚴重不足。數學是一門極其抽象的科學，傳統的教學內容學生普遍感覺理論性太強、定理太多、公式太多、知識點太多。通過平時的交流和課程考試情況分析來看，學生對基礎理論知識掌握得很不好，因此，必須在教學方式方法上進行適度改革。

我們的科研方向之一是復雜網絡上的同步動力學與傳播動力學研究，基于此研究方向以及日常生活事件，針對《數學分析I》中的各章[7，8]，分別例舉一至兩個實例，在課堂中向學生們進行介紹，從而提高學生的學習積極性以及加深他們對相關概念的理解力，并且讓學生們體會到數學知識在解決實際問題中的重要性。

二、案例收集

1.實數集與函數。

例1.1 實數分為有理數和無理數，無限不循環小數為無理數，其他實數皆為有理數，如果一個數是實數的話，那么一定可以寫成p/q的形式，其中p，q為整數，q≠0，否則就是無理數。生活當中我們與實數常常打交道，例如大家平時去超市購物，所花費的費用都是實數，費用屬于[0，+∞）這樣一個實數集合，并且是有理數；同學們的考試成績都是實數，并且成績通常屬于閉區間[0，100]這樣一個實數集合；同學們中學階段常常用到的圓周率π也是實數，并且它是一個無理數。實數集具有完備性，即連續性，此內容將在本門課程中詳細講解。

例1.2 假設本班有n個學生，從1開始對每個學生進行編號，這樣的話，每個編號就對應一個體重，不會出現“存在一個編號對應著兩個不同體重”的情況。事實上，這種對應關系就確定了一個函數。定義域為D={1，2…，n}，對應法則f為“每個編號對應著該學生的體重”。

2.數列極限。

例2.1 奧運會中，每個運動項目都有世界紀錄，這個紀錄就是今后其他運動員挑戰的極限，當然，該極限與我們數學中的極限還是區別的。因為當世界紀錄被打破之后，該極限就不是極限了，而數學中的極限具有唯一性。設數列{a■}的極限為a，則當下標n充分大時，a■與a充分接近，其中a為一個確定的有限的數。

例2.2 利用Matlab求數列{1/2■}以及{2■}的極限。

針對數列{1/2■}的Matlab程序可如下編輯：

n=100；

an=zeros（1，n）； %定義數列的一般項

for i=1∶n %利用for循環語句

an（i）=1/（2^i）； %計算一般項的值

end

plot（an）；

該程序運行的結果隨著n充分大時，1/2■與0充分接近，因此該數列的極限為0。

針對數列{2■}的Matlab程序可如下編輯：

n=20；

an=zeros（1，n）； %定義數列的一般項

for i=1∶n %利用for循環語句

an（i）=2^i； %計算一般項的值

end

plot（an）；

該程序運行的結果隨著n充分大時，{2■}趨向于無窮大，不與任何的有限數靠近，因此該數列沒有極限。

3.函數極限。

例3.1 當前復雜網絡上的傳染病動力學是學術界的一個熱點研究課題，該問題與人類的健康與生存息息相關。在研究復雜網絡上的傳播動力學時，常常會碰到這樣一個函數I（t），它表示在t時刻整個網絡中感染個體的密度，例如網絡總人口為1000人，如果在 時刻有500人被感染某種傳染性疾病，則I（t）=0.5。一個重要的理論問題是，在什么樣的條件下當t→+∞有

I（t）→0。這個問題就牽扯到一個極限問題，它涉及到動力系統中平衡點的穩定性問題。

4.函數的連續性。

例4.1 設T（t）表示在t時刻的氣溫，當時間變化很小時，氣溫的變化也很小，從而T（t）是連續函數。大家在使用鼠標的時候，如果設置合理的話，當你輕微地移動鼠標的時候，電腦屏幕上的光標也會輕微地移動，即連續地移動；如果設置不合理，或者設備出現故障，當你輕微移動鼠標的時候，電腦屏幕上的光標會劇烈地移動，即不連續地移動。

例4.2 近二十年來，復雜網絡上的同步動力學是學術界的一個熱點研究課題，它在許多領域都有著廣泛的應用，例如保密通訊、參數辨識以及多智能體系統的一致性等。設x（t），y（t）是兩個不同系統的狀態變量，當t→+∞時，如果有x（t）→y（t），則稱x（t）和y（t）同步，這里一個通常假定的前提條件是x（t）和y（t）都是關于時刻t的連續函數。

5.導數和微分。

例5.1 無論是研究復雜網絡上的同步動力學，還是傳染病動力學，常被研究的數學模型可以抽象為以下的常微分方程：

■=f（x（t））

我們可以看到，該方程的左邊就是函數x（t）對時間t的導數，f（x（t））指的就是函數x（t）的變化率，x（t）的變化規律完全由f（x（t））確定。進一步，我們可以得到

dx（t）=f（x（t））dt

這里dx（t）就是函數x（t）的微分。

6.微分中值定理及其應用。

例6.1 網絡傳播閾值分析是研究復雜網絡傳播動力學的一個關鍵問題。在求解傳播閾值時，常常會討論自我維持方程的非平凡根（非零根）的存在性問題，針對該問題可以利用函數的單調性與導數之間的關系進行解決。

該問題可如下描述：

考慮自我維持方程θ=■■kp（k）■

其中θ表示在網絡中隨機選擇一條邊并指向感染節點的概率，p（k）表示網絡的度分布函數，定義為在網絡中隨機選擇一個節點，其度為k的概率，〈k〉=

∑kp（k）表示網絡的平均度，λ為疾病的傳染率，即健康個體與感染個體接觸時，在單位時間內健康個體被感染的概率。問題是：在什么條件下上述關于θ的方程存在非零根？為此，記上式右邊為f（θ）顯然非負函數f（θ），θ∈[0，1]可導，且滿足f（0）=0，f（1）<1。結合幾何分析，容易得到，只要f'（0）≥1，則θ=f（θ）至少存在一個非零根。

三、結束語

在科教協同理念下，本文針對《數學分析I》課程的各個章節，分別給出了一些具有代表性的案例，力求趣味性和實用性。通過這些案例的收集，必將豐富課堂教學內容，使學生體會到數學知識的魅力。同時，結合Matlab數學軟件，將一些數學問題以比較直觀的方式展示出來，不僅使學生加深了對基本概念的理解，而且培養了學生運用計算機解決數學問題的能力。

在今后的教學過程中，我們將進一步完善案例收集和分析工作，保留學生感興趣且容易理解的案例，并不斷增加案例庫的內容，為提升課堂教學質量打下良好的教學資源基礎。

參考文獻：

[1]劉長江，吳倫紅.高等數學教學創新的探索與嘗試[J].科技信息，2007，（18）：180-202.

[2]李雅瑞.高等數學教學方法改革與創新能力培養的研究[J].工科數學，2002，（18）：43-45.

[3]李嵐.高等數學教學改革研究進展[J].大學數學，2007，（23）：20-26.

[4]郭欣.融入數學建模思想的高等數學教學研究[J].科技創新導報，2012，（30）：165-166.

[5]劉莉，劉傳寶.談談高等數學教學改革與數學實驗的探索[J].中國科教創新導刊，2012，（10）：40-42.

[6]楊雨潤.淺談以問題驅動的應用數學研究與應用數學專業課程存在的問題和改革[J].中國科技信息，2012，（10）：202-202.

[7]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[8]陳紀修，於崇華.數學分析第二版（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2004.