《線性代數與解析幾何》理論知識與MATLAB實驗有機融合的探索

王立剛　王鋒　沈艷　范崇金　凌煥章　許麗艷　廉春波

摘要：隨著國內高校陸續在數學課程中加入實驗環節，理論與實驗相結合的數學課教學模式越來越受到廣大教師和學生的認可。本文以哈爾濱工程大學的線性代數課程建設和改革為實例，探討了將理論知識與課程實驗深入融合的方法，介紹了我校在課程設置、教材內容和授課方式上的具體做法，這些研究和探索為線性代數教育教學改革提供了有益的思路和方法。

關鍵詞：理論與實踐；MATLAB；線性代數實驗；教學改革

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）16-0178-03

自從2009年教育部教改項目“用MATLAB和建模實踐改造線性代數課程”實施以來，國內一些高校嘗試與國外名校的教育方式接軌，將計算機與MATLAB軟件引入線性代數等數學課程教學中[1-5]。這種理論與實踐相結合的教學模式對于提高數學課程的教育教學質量，提升學生學習興趣有多方面的優點：（1）利用計算機計算，有利于學生從煩瑣的手工計算中解脫，學生可以將更多的注意力集中到對理論知識的理解和掌握上；（2）借助于動畫演示，有利于學生從枯燥的概念和理論推導中發現數學的生動和優美；（3）通過應用案例的學習，將數學知識應用到實際生活和工作中，有助于培養學生的自主學習能力和創新意識。

一、《線性代數與解析幾何》上機實驗課現狀分析

在教育部教改項目的推動下，國內一些高校率先在《線性代數與解析幾何》課程中開設了MATLAB實驗，哈爾濱工程大學是首批高校之一，每年有超過3300名學生參加線性代數實驗的學習。經過幾年時間的課程建設和運行，這種在數學課程中引入實驗的教學模式有力地促進了課程的教學質量，提升了授課效果。但隨著線性代數實驗課程的深入開展，教學中理論知識和實驗內容二者結合不夠緊密的問題逐漸顯現，并且已經影響了教學效果的進一步提升。這些問題出現的原因主要有以下幾個方面：首先，在課程設置過程中，國內高校通常采用的做法是在理論課學時之外，再設立一些學時的實驗課，在實驗課上講授MATLAB軟件及其在線性代數中的應用，這樣將理論課與實驗課分開講授，割裂了理論知識與實踐應用之間的內在聯系；其次，在講授內容上，實驗課在一次授課中可以完成較多知識點的實驗和練習，這些知識點，在理論課中要多次授課才能完成，因此實驗課要在多次理論課后才能進行一次，這切斷了理論課與實驗課以及實驗課之間知識的連貫性。從學生的反饋信息來看，學生感覺實驗學時太少，實驗課的間隔時間過長，剛剛對MATLAB軟件入門，對線性代數實驗產生興趣，課程就結束了，下次課要幾周之后才上，學生總有種意猶未盡的感覺。因此，在《線性代數與解析幾何》課程教學中，需要探索研究將理論知識與實驗內容有機融合，在學時有限的情形下，讓學生熟悉掌握更多的MATLAB軟件知識，了解見識更多的實踐案例，這對進一步提升實驗環節的教學效果、提高授課質量有重要的實際意義。

二、理論與實驗有機融合的教學模式構建

為了進一步提升《線性代數與解析幾何》課程中理論與實驗相結合教學模式的教學效果和教育教學質量，哈爾濱工程大學《線性代數與解析幾何》教學團隊在教材內容、課程設置和授課技巧三個方面對課程進行了改革。具體改革方式如下。

1.課程設置上的調整。為了保障線性代數教學改革的順利進行，經過與學校教務部門溝通，我們對線性代數課程的設置進行了微調。在線性代數實驗課程設立之初，我校線性代數有理論課56學時和實驗課8學時。在8學時實驗課中，4學時用于講授MATLAB軟件并演示實驗案例，4學時用于學生上機操作實驗，所有實驗課都是學生周末在機房實驗室內集中完成。隨著課程的開展，這種課程設置方式的弊端逐一顯現：一方面，如前文所述，理論課和實驗課知識連貫性被間斷；另一方面，占用學生大量的周末時間，導致實驗課程與學生周末活動以及各種考試（如大學英語四、六級考試，全校大學化學考試，等等）發生沖突。有鑒于此，我們將4學時演示實驗調整到理論課課堂上，MATLAB知識的學習、演示內容和實踐案例可以由授課教師根據課程進程和授課內容靈活安排，這種調整既增強了理論課與實驗課之間的聯系，又增加了理論課授課的生動性，提升了學生的學習興趣，而且課程設置的調整也推動了教學內容的更新升級。

2.授課內容和教材上的升級。在理論課上增加MATLAB基礎知識和演示案例等內容，需要在授課內容和教材上進行相應的調整升級。我們在教材中，在理論知識點后增加相應的MATLAB命令和應用案例，這種方式在國外教材以及國內其他課程中常常采用，也被證明是較為適合我國學生的學習方法。一些具體方法如下：

實例1：行列式計算及其幾何意義。

在講授完行列式的定義和計算方法后，將MATLAB中計算行列式的命令det（A）介紹給學生，并利用一個維數較大的行列式的計算來介紹這個命令的使用方法，并讓學生體會利用計算機和MATLAB軟件運算的簡便和快捷。接下來，引入實例，介紹行列式在數學上的幾何意義，即二階行列式a b a b 的絕對值是以向量 ={a ，b }和 ={a ，b }為鄰邊的平行四邊形的面積（如圖1所示），以及三階行列式 絕對值為相鄰棱的平行六面體的體積（如圖2所示）。

通過如下例題，學生可以了解到這個結論在數學領域的實際應用。

例1：已知三角形ABC三個頂點的坐標為：A（1，1），B（-1，5），C（3，4），試利用MATLAB軟件計算該三角形的面積。

解：已知三角形ABC的三個頂點坐標，可得向量 =（-2，4）， =（2，3），而三角形ABC的面積等于向量 和向量 構成的平行四邊形面積的一半。根據二階行列式的幾何意義，由點（x1，實例2：特征值與特征向量的計算及其幾何意義。

特征值與特征向量在線性代數中占有重要地位，但它們的計算較為煩瑣。對于初學者來說，它們的意義是什么，為什么要計算這些值并不清晰。在這里增加計算特征值和特征向量的MATLAB命令eig（A），以及演示特征值與特征向量的幾何意義的命令eigshow（A），可以有效地幫助學生加深對這部分知識的理解。

例2：利用eigshow（A）命令，演示特征值與特征向量的幾何意義。

解：首先輸入一個二階矩陣，再執行eigshow命令

在圖3中，綠色的x表示原坐標系中的單位向量，藍色的Ax表示變換后的新向量。可以用鼠標左鍵點住x并拖動它繞原點轉動，于此同時Ax也相應轉動，當兩個向量處在同一條直線上時（包括同向和反向），這表明兩個向量相位相同，只存在一個實數乘子λ（可正，可負）滿足Ax=λx，這就利用eigshow命令演示了特征值和特征向量的幾何意義。

3.授課方式上的改進。將MATLAB基礎知識和演示內容調整到理論課上，也使傳統的授課方式受到了沖擊。MATLAB軟件有許多內容需要學習，如何合理安排講授時間、如何去繁就簡地選取適當的內容都需要仔細考量。為此，我們只遴選了與課程相關的MATLAB基礎知識加入教材中。授課中，通過布置課前預習的方式讓學生主動學習MATLAB內容，再利用預習報告和課堂講授為學生介紹實驗中用到的重點內容。同時，要選取恰當的時機引入演示案例，才能更好地發揮演示實驗的效果。課堂上，通常在講授了基本概念、定理及相應的手算方法后，再介紹實驗內容，這樣既不會讓實驗內容淡化學生對概念、定理和手算方法的理解和掌握，保證理論知識的整體性，還能夠將手算和機算進行對比學習。但在講授解析幾何中的“旋轉曲面”時，更適合立刻利用曲面的畫圖命令進行演示，給學生關于曲面的直觀感受。

實例3：曲面的繪制。

在“旋轉曲面”這部分內容中，雙曲拋物面（馬鞍面）和雙葉雙曲面是學生較難掌握的兩個圖形，借助于演示實驗，可以幫助學生直觀認識這兩個圖形，還能學習三維圖像的繪制方法。

解：繪制圖像的命令如下：

所得圖像如圖4所示。

解：利用極坐標繪制該曲面的圖像，原方程的參數方程為：

繪制命令如下：

所得圖像如圖5所示。

三、實踐與探索的成效

將MATLAB軟件知識、線性代數實際案例與理論知識有機融合，可以推動線性代數課程的教學體系、教學內容和教學方式的深入改革。將實踐內容滲透到線性代數的各章中去，有助于解決線性代數理論知識教學中存在的內容抽象不易于理解、手工計算煩瑣、學與用脫節等教學問題。在課堂上恰當地引入生動的實踐案例和優美直觀的幾何圖像，不僅能提升學生對數學的學習興趣，還能夠讓學生學以致用，這對提高學生數學建模能力和解決實際問題的本領，培養學生的開創性思維和創新意識都有重要意義。

參考文獻：

[1]陳懷琛，高淑萍，楊威.科學計算能力的培養與線性代數改革[J].高等數學研究，2009，12（3）：23-25.

[2]李繼成.線性代數與空間解析幾何課程全面改革的思考[J].大學數學，2010，26（2）：7-10.

[3]陳利霞，王學文.應用型人才培養模式下線性代數實驗教學改革[J].中國電力教育，2013，（19）：147-148.

[4]劉春霞.MATLAB在線性代數教學中的應用[J].淮陰師范學院學報，2015，14（3）：248-251.

[5]張鵬鴿，高淑萍，馬建榮.幾何直觀在線性代數課堂教學中的應用[J].教育教學論壇，2015，4（16）：199-200.