淺談化歸法在高等數學學習中的應用

黃婷 勞文革 康燕珍 翁啟蠻

摘要：本文主要探討化歸法在高等數學學習中的廣泛應用。通過一些例子闡述如何把高等數學的問題化歸為初等數學的內容，如何把復雜的問題化歸為簡單的問題。同時指出相對于數學知識的學習，數學思想方法的學習更為重要。

關鍵詞：化歸法；高等數學；數學思想方法

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）17-0177-02

一、引言

絕大部分中小數學老師都是從師范學校走向教學崗位的。每一個師范類數學教育專業的學生都必須學習高等數學，他們在學習高等數學時都有一個疑惑：中小學數學那么簡單，跟高等數學相差太大了。高等數學這么難學，高度抽象，動不動就涉及公式、定理、證明，嚴重脫離生活實踐，不像中小學數學那么貼近生活。學它做什么？有什么用？畢業后教中小學數學也用不上。在這個充滿功利的社會，學生提出這樣的疑惑也不足為奇。事實上高等數學確實非常有用。對于很多學生來說高等數學不是用不上，而是會不會用的問題。中小學數學與高等數學是一個有機的整體，很多思想方法都是相通的，只不過高等數學站得角度更高更遠。學了高等數學再回頭去看中小學數學內容就會發現看得更透更深，站得高才能望得遠就是這個道理。由于當今實行的考試制度，中小學數學教師主要重視解題技巧和解題結果，很少重視解題過程中使用的解題方法。但事實上方法的獲得才是最重要的。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“課程內容要反映社會的需求、數學的特點，要符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法。”所以作為畢業后要成為中小學數學教師的師范生，在學習高等數學的過程中，應該注重數學思想方法的學習。學習高等數學重點不在于你學會了多少知識，而是你學會了多少方法，這些方法不管是初等數學還是高等數學都適用，并且是跨學科適用。高等數學真有那么難學？方法用對了就不難了。筆者主要談談化歸法在高等數學學習中的應用，體會初等數學與高等數學的有機統一、渾然一體，同時感受數學思想方法在數學學習中的重要性。

什么是化歸法呢？化歸即轉化歸結的意思，化歸法就是把當前有待解決的問題，通過轉化、歸結為已經解決或容易解決的問題。從認識論的角度來說，化歸法是人類認識客觀世界的重要方法，人類認識世界都是從簡單到復雜，從具體到抽象，把復雜抽象的問題轉化為簡單具體的問題。學習高等數學也不例外。

二、化歸法在高等數學學習中的應用舉例

我們從以下幾個例子來領略化歸法的魅力。

1.無限化歸為有限。學高等數學微積分的內容時有個很重要的知識點——極限。如lim1/n=0，這個式子表示數列1、1/2、1/3、1/4……1/n……在n趨于無窮大時的極限是0.很多學生一看到n→∞就頭大，因為這個n→∞很抽象，這個n趨于無窮大到底有多大？我們可以把這個無限項的數列化歸為有限項來分析，當n=100，1000，10000等有限數時，我們很容易發現它的后一項都比前一項小，隨著n的增大項越來越小，但它一定不會小于0，所以說這個數列的極限是0.另外求曲邊圖形的面積時，是通過把曲邊圖形按橫坐標或縱坐標劃分為n小份，先求這n小份的和，當n趨于無窮大時取和的極限即可得這個圖形的面積，這時也把無限化歸為有限來求解。關于這個無限的概念學生是在學高等數學時才接觸嗎？不是，學生很早就接觸了。在小學學數數時就有了這個概念：1、2、3、4、……、100、……，一直數下去數不盡；另外在學有理數、無理數時也涉及無限的概念，學直線、平行線等知識點時也涉及無限的概念。學了極限的知識點后再看這些初等數學中的概念就能理解的更深刻了，能做到知其然也知其所以然了。

2.空間化歸為平面。很多學生在學高等數學空間解析幾何這門課程時碰到了困難，特別是空間圖形的認識學得很吃力。因為空間解析幾何是三維立體的，比二維平面要抽象很多。三維可以化歸為二維。比如空間直角坐標系Oxyz，可以把它轉化為三個平面直角坐標系xOy，yOz，zOy，對二維平面直角坐標系這個知識點在初中數學就已經學過，很容易接受。所以在學習空間圖形時，就可以通過投影到xOy，yOz，zOy三個平面，通過投影到平面上的圖形來分析這個空間圖形的性質特點。另外空間中兩點間直線的距離、空間直線方程、空間中平行線的性質等都可以轉化為平面上對應內容來理解。通過這樣的轉化，學生可以更深刻的認識空間圖形，從而提高空間想象力、開闊思維。現在的小學數學課本中已經涉及到三維立體圖形的知識點了，有了空間解析幾何的學習經歷，學生在畢業后從事這個內容的教學時就能深入淺出了。

3.二元化歸為一元。函數是數學中一個非常重要的概念，中小學階段主要以一元函數的學習為主，進入高等數學的學習后經常涉及二元函數的內容，學生在學習二元函數相關內容時非常吃力。比如二元函數f（x，y）的求導，二元函數f（x，y）的積分，求二元函數f（x，y）的最值、極值等。在求二元函數f（x，y）的導數時，只需按照未知數的個數依次求導即可。若對x求導，則可把y看作常數y0，這時二元函數f（x，y）轉化為一元函數f（x，y0），反之亦然。在求二元函數f（x，y）的積分時，亦可如求二元函數f（x，y）的導數一樣把二元函數轉化為一元函數再分別進行積分，求積分區間時也可以化歸為一元函數進行。有關二元函數的微積分確實復雜，但通過這樣的轉化，化復雜為簡單，在學習二元函數甚至更多元函數時遇到的困難就迎刃而解了。

4.高階化歸為低階。高階方程組的求解、高階行列式的計算是高等代數中非常基礎的內容，很多學生在階數大于3時就產生了畏難心理。當行列式的階數大于3時不能直接計算出結果，所以當行列式的階數大于3時要通過行列式的性質把高階行列式轉化為3階行列式即可輕易求解其結果。在學習常微分方程的時候，高階微分方程的求解亦是通過降階化為一階或二階微分方程。通過降階，再復雜的方程組、行列式、微分方程都能輕而易舉地求解。由此可以看出，不管多復雜的問題都可以化歸為最簡單、最基礎的問題進行解答。

5.非歐幾何化歸為歐氏幾何。幾何是大家非常熟悉的一個數學模塊，但中小學階段學習的都是歐氏幾何，進入高等數學階段會學習非歐幾何，剛接觸非歐幾何時學生覺得難以接受，因為非歐幾何在現實生活中很難找到實物模型，另外非歐幾何中有很多違背大家常識的結論，比如在非歐幾何中三角形內角和不等于180度，可能大于180度也可能小于180度。歐氏幾何與非歐幾何產生這種差別的原因是它們的前提條件平行公設不一樣，其他前提條件都相似。所以學習非歐幾何的性質定理時可以把它化歸為歐氏幾何中的性質定理，歐氏幾何有哪些性質定理，非歐幾何就對應的有哪些性質定理。非歐幾何的學習開拓了學生的思維，對幾何有了更進一步的認識。這非常有助于學生畢業后從事中小學幾何教學的工作。

6.代數化歸為幾何。代數中有很多問題可以轉化為幾何問題進行解答。不僅思路新穎，而且很簡便。比如求函數f（x）=lnx-1/x的零點個數，在代數解法中，首先想到的是對函數f（x）求導，方程f′（x）=0的解的個數就是函數f（x）的零點個數。若把此問題化歸為幾何解法將會簡便很多：函數f（x）是一個對數函數與一個反比例函數的差，只要在直角坐標系中畫出這兩個函數的草圖，這兩個函數圖像的交點個數即為函數f（x）的零點個數。像這類代數問題轉化為幾何問題來解決非常的方便，當然幾何中也有很多問題可以化歸為代數問題來解決更簡便。數形結合是數學中非常重要的思想方法，不論是初等數學還是高等數學都適用。

三、結語

每個人一生用來學知識的時間是有限的，但數學知識是無窮無盡的，是學不完的。所以說學數學的本質不在于學了多少知識，而是通過這些知識學會了多少方法，收獲了多少能力，這些能力將使學生終生受益。把高等數學轉化為初等數學，把復雜的問題轉化為簡單的問題進行求解，如此看來高等數學并不難學，方法用對了，問題自然容易解決了。因此在高等數學的學習過程中學思想方法才是最重要的，中小學數學的學習也不例外。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京師范大學出版社，2011.

[2]金成良.化歸法與遞推法[J].江蘇教育，1995，（7）：41-42.