“化歸”方法在數學教學中的滲透

李玉萍 張金諾

【摘要】化歸方法是一種用來研究數學問題、解決數學問題的重要方法，是數學基本思想方法之一.化歸方法在數學教學中的應用主要有化未知為已知，化數為形，化實際問題為數學問題等三個方面.此外本文通過典型例題對化歸方法做了進一步的說明，意在培養學生的化歸意識，提高轉化能力，掌握化歸的方法.

【關鍵詞】化歸；教學應用；數學思想

【基金項目】河南省教育廳課程改革研究項目 （2016-JSJYZD-072）

化歸即轉化和歸結，化歸思想方法簡稱化歸方法，就是在處理問題時把待解決的問題或難解決的問題，通過某種轉化，歸結為一類已經解決或比較容易解決的問題.從方法論的角度看，化歸思想方法是用一種聯系、發展、運動變化的觀點來認識問題，通過對原問題的轉換，使之成為另一問題.它們的科學概括就是數學解決問題的基本思想方法——“化歸”.

那么使用“化歸”的思想方法原因何在呢？首先數學的嚴密邏輯性的特點，使得化歸方法順理成章地成為數學解決問題的基本思想方法.這是因為數學的嚴密邏輯性決定了數學論證大多是使用演繹邏輯推理論證.其次數學的符號化、形式化特征為化歸方法的使用提供了便利條件.因為符號化、形式化的東西變換轉化起來較自由、容易.從一定意義上講，數學證明的實質就是指明化歸的方向和目標.此外，數學的哲學基礎為數學化歸提供了可能性.客觀事物的普遍聯系性、矛盾的對立統一相互轉化性為化歸方法提供了哲學基礎.因此在數學教學過程中要特別注意化歸思想方法的教學，培養學生的化歸意識.

一、“化歸”方法在數學教學中的應用

所謂“化歸”可理解為轉化和歸結的意思，數學方法論中所論及的“化歸方法”，是指把待解或未解決的問題通過某種轉化過程，歸結成一類已經解決或比較容易解決的問題，最終求得原問題之解答的一種手段和方法.

1.“化歸”方法在代數應用中的體現

化歸的本質就是采用迂回曲折的途徑從未知到已知、從難到易、從復雜到簡

單的轉化.中學數學幾乎處處貫穿著化歸思想，如未知向已知轉化、特殊向一般轉化、高次向低次轉化、多元向一元轉化等等都是化歸與轉化思想的體現.分式方程、無理方程和簡單的高次方程是一元一次方程、一元二次方程的引申.下面以有理方程和無理方程的化歸為例做解釋.

例1 解方程6x4-25x3+12x2+25x+6=0.

解 將原方程變形為6x-1[]x2-25x-1[]x+24=0，令x-1[]x=y，將其轉化為一元二次方程6y2-25y+24=0去求解.

進一步地，解無理方程就是將方程兩邊同時平方或利用換元法，把無理方程化為有理方程來求解.解分式方程、高次方程、無理方程，其實質就是不斷地通過適當變形，把原方程化歸為最簡單的方程的過程.因此，化歸思想是有理方程、無理方程中思維活動的主導思想，化歸方法在數學問題解決中具有十分重要的意義.

2.“化歸”方法在幾何應用中的體現

幾何中化歸思想的產生歷史源遠流長.可以這樣說，幾何的每一個命題都是由在它之前的某些命題通過演繹推理得到的，這樣一直歸結到某些不需證明的初始命題為止.幾何是一門演繹的科學，在它的系統中存在著公理—結論A—結論B—結論C……這樣一個結論鏈.我們可以通過這樣一個結論鏈簡便解題過程，提高解題速度.

例2 試研究平面上n條直線至多能把平面分成多少塊？

解 設f（n）為n條直線分割平面的最大塊數，依次檢驗f（1），f（2），f（3），有

f（1）=2，

f（2）=4，

f（3）=7.

分析f（1），f（2）的關系：f（2）比f（1）多兩塊，原因是兩條直線相交得一個交點，該點把一條直線分成兩段，每一段把原平面一分為二，即f（2）=f（1）+2，

分析f（3）與f（2）也有類似情況：

f（3）=f（2）+3，

于是猜想有：f（n）=f（n-1）+n

=f（n-2）+（n-1）+n

=…

=f（1）+2+3+…+（n-1）+n

=n2+n+2[]2.

最后尚需證明這一結論是正確的，對此問題用數學歸納法即可.

在中學數學中，類似上例用歸納推理方法尋求規律，探索求解目標的問題比較多，教材中關于等差數列、等比數列的通項公式就是用歸納推理得到的.

3.“化歸”方法與其他方法的有效結合

但是在許多情況下為實現化歸過程，不僅要有分解，還要有組合，數學教學過程中應注意將“化歸”與其他數學思想方法有效結合起來，如將歸納、聯想、類比、數形結合、函數等思想綜合運用，最終更好地掌握和理解數學，培養創造能力.

二、“化歸”方法在數學教學中使用的技巧

我們在運用化歸的思想方法進行數學教學時還要注意一些問題，如：熟悉化和模型化、簡單化和具體化、特殊化和一般化等.

1.熟悉化和模型化

熟悉化就是把學生感到陌生的問題通過變形化歸成比較熟悉的問題，從而使學生能夠充分認知已有的知識和經驗，從而使問題得到解決.

例3 解方程x3-1-2x2-2=0.

思考與分析 這是一個以x為未知數的一元三次方程，顯然我們對三次方程的解法是比較陌生的，而對一次或二次的解法則比較熟悉.因此，我們自然希望能把它化歸為若干個一次或二次方程來處理.注意到原方程的特點，可以看出：若把x看作“已知數”，而把2看作“未知數”，則原方程便可看作關于2的“二次方程”.

將陌生問題化歸為熟悉問題或某個統一的模式，從而達到解決問題的目的是一個極其重要的化歸原則.但是這一原則沒有定法可依，完全依靠在平時解題時，把已經解過的習題進行分類、歸納，并熟記一些解重要題型的具體方法.這樣，經過日積月累的長期實踐，我們就自然能夠掌握這一原則.

2.簡單化和具體化

簡單化就是把復雜的形式轉化為簡單的形式，使其中的數量關系和空間形式更加明朗和具體，從而找到問題的突破口.所謂具體化就是將抽象的問題，轉化為具體、直觀的問題來解決.很多數學問題的各種信息高度濃縮和抽象，如果我們繼續沿著“抽象化”的路子走下去，往往走入迷宮.如果我們在數學教學過程中改變方向，從新的角度、新的觀念出發，把問題中的各種概念之間的關系具體明確，就會使問題輕而易舉地得到解決.

3.特殊化和一般化

在教學過程中，對于一時難以入手的一般問題，一個使用最普遍而又較為簡單易行的化歸途徑，乃是把它向特殊的形式轉化，這就是特殊化法.而這種方法有兩種類型：一是從簡單情形入手，作為解決一般問題的突破口；二是從特殊對象入手（包括著眼于極端情形），為求解一般問題奠定基礎.數學問題的特殊化，可以通過數目的減少，數值范圍的縮小，維數的降低，元數的減少，任意圖形轉化為特殊圖形等手段來實施.而特殊元素的選擇，往往是中點、端點、定值、零值、垂直、平行、特殊的數和行等.

與特殊化的途徑相反，在對一般形式問題比較熟悉的情況下，將特殊形式的問題轉化一般形式的問題，這就是一般化法.這種方法是通過找出特殊問題的一般原理，把特殊問題從原有范圍擴展到包含該問題的更大范圍來進行思考，從而使得我們能夠在更一般、更廣闊的領域中使用更靈活的方法去尋求化歸的途徑.

例4 試比較10012001與2001！的大小.

這道題可以直接證明，但是我們通過考慮它的一般情況來證明更為簡便.首先，觀察后可以發現，1001=2001+1[]2，將其一般化后，問題轉化為比較n+1[]2n與n！的大小，聯想不等式即得所需結果.

從教育的角度來看，數學思想方法比數學知識更為重要.因為數學知識是定型的、靜態的，而思想方法則是發展的、動態的，知識的記憶是暫時的，思想方法的掌握是永久的，知識只能使學生受益一時，思想方法將使學生受益終身.增強數學思想方法的培養比知識的傳授更為重要，數學思想方法的掌握對任何實際問題的解決都是有利的.因此數學教學必須重視數學思想方法的教學.

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