對“格子布·棋”問題的討論

徐小軍

【關鍵詞】 數學教學；“格子布·棋”問題；討論

【中圖分類號】 G623.5 【文獻標識碼】 A

【文章編號】 1004—0463（2016）10—0088—01

一、“格子布·棋”介紹

如圖1所示為8×8的“格子布棋”棋盤，比賽中以一個五子棋為棋子，起點在左上方，終點在右下方。從起點開始，兩個參賽者互為對手按照先后順序輪流下棋，每人每次只能走一格，且方向只能向下、向右或斜向下，首先到達終點者贏得比賽。

二、“格子布·棋”相關問題分析

關鍵一：好點。好點就是在比賽過程中，如果能先踩到這些點中的一個，按照一定的方向和規律，無論對方怎么走，本方就可以一直踩到好點，直到最后先到達終點贏得比賽。要贏得比賽，必須本方先到達終點，因此終點一定是一個好點。在本方到達終點前，本方可能有三個位置，就是離終點最近的那三個點，利用這種逆向分析的方法從終點向前倒推兩步，如果本方先搶到A點（如圖2所示），則對方只能向下，本方接著向下就可以贏得比賽，因此A點為一個好點。同理B、C兩點也為好點（如圖3所示）。通過觀察和分析發現A、B、C和終點都為“好點”，且在同一個“田字格”的四個頂點上，據此可以猜想其他好點也應該有相似的位置特點。

關鍵二：順序。尋找完好點的后，又有一個新的問題出現：如何才能夠在一開始就踩到好點了？讓對方先走，對方向下，本方向下踩到好點，對方向右，本方向右踩到好點，對方斜向下，本方斜向下踩到好點，無論哪種情況本方都可以踩到好點并一直延續下去并贏得比賽。

關鍵三：線路。根據以上分析，讓對方先走，且本方只是一次先踩到好點不足以保證贏得比賽，還有一個很重要的因素，要一直都踩在好點上，不能給對方踩到好點的機會。如何才能一直踩到好點了？當本方踩到好點，對方有三種走的可能，向下，向右和斜向下，當對方向下時，要踩到好點，本方必然要向下，因為在一步之內只有向下有一個好點，同理，當對方向右和斜向下時，本方也只能向右和斜向下，才能保證踩到下一個好點。

因此，贏得比賽的秘訣就是將幾個關鍵綜合起來，即讓對方先走，本方的路線和對方始終保持一致。

三、改變條件，拓展探索

1. 改變起點位置。如圖4所示，以第一個“田字格”為例分析：起點為D、E、F和G點，本方先走。起點為D和F點，第一步向右、起點為E和G點，第一步向下、以后按照跟隨策略進行，則贏得比賽。

起點為H點。若對方先走，方向向下則本方向右，對方方向向右則本方向下；若本方先走，則第一步斜向下。之后都按照跟隨策略進行，則贏得比賽。

其他情況。棋盤實際上是由“田字格”組成的，棋盤中的每一個“田字格”都是相似的，棋盤中的其他點的走法都可以和第一個“田字格”類比得出具體走法。

實際上，不管起點怎么變化，贏得比賽的關鍵是根據棋盤中的“田字格”上的好點位置，尋找與起點與最近的好點，并根據起點與好點之間的格數判斷先走還是后走，根據起點與好點的方位確定走的方向。

2. 改變布的格子數。根據前面的分析，棋盤是由若干“田字格”組成的，如何改變格子數，棋盤可能還是由若干“田字格”組成，也可能是若干“田字格”組成和一列格子組成，也可能是由若干“田字格”和一行格子組成的。改變格子布的格子數，無論改變后的格子數是什么樣的，或者是格子數為5×8，或者格子數為8×5，或者格子數為6×6、5×5等等（如下圖所示），還是將棋盤格子數改變為2n×2n、（2n-1）×（2n-1）、（2n-1）×2n或2n×（2n-1）（n>0的自然數）其贏得比賽的關鍵是確定新的棋盤的“田字格”，以此為依據確定起點距離“田字格”中好點的距離和方位，進而確定下棋的先后順序及方向。

總之，改變起點和改變格子數本質是一樣的，要贏得比賽，其關鍵還是先確定棋盤的“田字格”，并以此為依據確定起點距離“田字格”中好點的距離和方位，進而確定下棋的先后順序及方向。這是此類問題解決本質所在。

編輯：謝穎麗