小議初中數學拓展課程的原則及可行途徑

蔣國芳

【摘 要】《關于深化義務教育課程改革的指導意見》首次將義務教育課程劃分為基礎性課程和拓展性課程兩大類。其中，拓展課程建設是我省深化基礎教育改革的重要內容，也是此次改革的亮點。本文介紹了深化課改的背景，明確了何為拓展課程及其和課堂教學拓展之間的區別，并結合自身參與學校數學拓展課程建設的經歷，提出了初中數學拓展的原則和途徑，以期為各學校貫徹數學拓展課程建設提供一些建議。

【關鍵詞】初中數學；拓展課程；原則及途徑

一、背景介紹

今年3月，省教育廳出臺《關于深化義務教育課程改革的指導意見》。《意見》在國家課程、地方課程、校本課程的三級課程分類的基礎上，首次從教育功能的層面將義務教育課程劃分成基礎性課程和拓展性課程兩類。拓展性課程的提出和建設，將在落實義務教育基礎性、全面性和公平性的基礎上，強化學生的個性化發展。此舉是深化現階段義務教育課程改革的重要舉措，既是落實立德樹人根本任務、全面提高國民素質的迫切要求，也是總結和推廣本世紀初開始的義務教育課程改革先進經驗的現實需要，更是對我省深化高中課程改革，尤其是去年9月開始實施的高考招生制度改革的一種呼應。

二、基本問題

作為深化義務教務課程改革的試點學校，我校數學教研組在校領導的帶領和支持下，積極響應號召，于本學期開始嘗試展開初中數學拓展課程教學的探索。

（一）何為拓展課程

在初步探索階段，首先明確什么是拓展課程。按照《意見》的表述，基礎性課程指國家和地方課程標準規定的統一學習內容，拓展性課程則指學校自主開發開設、供學生自主選擇的學習內容。《意見》還將拓展性課程分為知識拓展、體藝特長、實踐活動等三大類。其中，知識拓展類課程是基礎性課程的延伸、應用和整合，這類課程應基于地方文化和學科核心素養，旨在拓展學生的知識面，激發學生的學習興趣。據此，筆者認為初中數學拓展課程可作如下定義：即以學校為教研主陣地，以初中數學課程知識為載體，從數學學習的意義空間、文化內涵、生活底蘊中去延伸和開拓，以發展學生的數學思維、培養學生的數學素養為核心的數學知識拓展型課程。

（二）拓展課程與課堂教學拓展

弄清楚拓展課程和課堂教學拓展的差異，有助于更好地理解拓展課程的地位，更為深入地貫徹實施深化教育改革要求。數學拓展課程作為基礎性課程的補充，應當是擁有包含指導思想、教學原則、課程實施、課程評價、條件保障在內，既聯系數學基礎課程，又具有相對獨立性的課程體系。而數學課堂教學拓展是基于某一堂數學課而言，是指在課堂教學過程中依據該堂課的教學內容、教學目標，在一定范圍和深度上同外部相關的內容密切聯系起來的教學活動，屬于基礎性課程的范疇。數學拓展課程的開發和實施，將有效緩解現行初中數學基礎課程統一學習內容過多、過分強調學習基礎性、對學生興趣培養和個性發展不夠重視的問題。

三、拓展原則

省教育廳辦公室發布的關于建設拓展課程的意見中指出，拓展課程應滿足多樣性、層次性、綜合性和實踐性四個基本原則。數學拓展課程的建設首先需要滿足上述四條拓展課程的共性，同時，筆者認為，因數學學科的個性，還需要具體分析具體制定數學拓展課程的相關原則。本學期以來，筆者所在學校的數學教研組積極嘗試數學拓展課程的開發和實踐。筆者根據自身參與數學拓展課程觀摩與交流的經歷，結合自身教學經驗，對數學拓展課堂建設提出以下三個原則。

（一）橫向拓展，構建知識網絡

數學知識不是孤立的存在。表現有二：某個知識往往前有鋪墊后有延伸，前后知識逐步遞進、有序展開；不同知識間也存在聯系，例如數形結合。數學知識相互關聯，橫向交織，形成網絡。因而在設計數學拓展課程時，可利用現階段的數學基礎性課程尚未涉及，且符合中學生的認知發展特點的內容進行橫向拓展。可以找到基礎性課程的延伸內容或者跨界聯系的知識點所在，幫助學生構建知識網絡。例如，我們在進行完全平方公式的證明時，在完成了基礎性知識的教學任務后，可以利用數學拓展課堂適當地引導學生了解數形結合思想，并結合一些簡單的練習進行強化，幫助學生進行知識的橫向遷移。橫向且正向學習遷移可以為以后的數學學習起到良好的鋪墊作用。

（二）縱向拓展，深化知識理解

所謂縱向，從內容的難度和學習層次的深度上說。就難度而言，最近發展區理論認為，教學應當適時為學生提供有難度的內容，促使學生“跳一跳，摘桃子”。數學拓展課程應當基于數學基礎性課程，并根據班級學生的學情制定稍難的學習任務，形成數學學習的縱向拓展，幫助學生深化理解基礎性課程中的知識。就深度而言，新課標認為學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。因而拓展性課程的一個重要任務和使命，就是通過設置動手實踐、自主探索與合作交流等活動，引導學生追問為什么、探究還有什么以及還能怎么樣，讓學生體驗發現學習的樂趣，挖掘出知識背后的“所以然”。這在一定程度上可以彌補基礎性課程對數學思維訓練不足的缺陷，也能夠通過恰當的探究解決數學能力較好學生“吃不飽”的問題。

（三）課外拓展，課堂聯系生活

新課標指出，數學教育作為促進學生全面發展教育的重要組成部分，不僅要發揮數學在培養人的邏輯推理和創新思維方面的作用，更要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能。因而數學拓展課程應當充分考慮到數學在生活中的應用性和實踐性，并以之為方向朝課外和生活拓展，也朝學生未來的數學學習拓展。目前初中數學教學仍以班級授課制為主，筆者認為，在傳統的以班級為單位的組織形式下展開拓展課程，可以引進生活中的一些值得思考的、學生們正在經歷或將會經歷的數學問題，例如銀行存款利率中的數學問題、手機套餐方案選擇問題。跳出班級授課制的制約，帶領學生走進學校、走進社區、走進企業，發現實際生活中的數學問題則更值得嘗試。我們可以組織學生展開以小組為單位的專題調研、社會實踐活動，讓學生在給定目標下，設計解決問題的方案，進一步體驗分析問題和解決問題的過程，發展應用意識和能力。

四、拓展途徑

根據上述數學拓展課程的原則，筆者結合自身數學教學經驗和總結，提出以下三條數學拓展課程的可能途徑。

（一）將數學史融入數學拓展課程

數學學習在新的時代背景下，除了堅持數學的應用性、工具性，也應當關注數學的人文性。數學史是數學教學的人文向度的重要表現。20世紀70年代興起的HPM研究大力提倡數學史在數學教學中的作用，其諸多教學實驗表明，數學史與中學數學教學相結合能夠有效的激發學生對數學的興趣，幫助學生了解在人類文明發展中數學的作用，感受數學家治學的嚴謹，欣賞數學的優美，從而構筑數學與人文之間的橋梁。我國數學史與數學教育國際研討會議自2005年舉辦第一屆以來，連續五屆大會都把如何將數學史融入中小學數學教學、提升數學教學質量作為會議的主要議題。義務教育數學課程標準（2011）也指出，數學文化作為數學教育的組成部分，應當滲透在教學中。而數學史恰恰是數學文化的重要載體，理應成為數學課程的有機組成部分。然而長久以來，我國的初中數學教學強調解題教學，數學史在中學數學中沒有得到應有的重視，從而忽視了培養學生從整體、宏觀認識數學思想體系、文化內涵和美學價值。因此，作為基礎性數學課程的深化，數學拓展課程應當對數學史在數學教學中的作用給予充分重視。

如何實現數學史融入初中數學拓展課程的教學設計？筆者查閱了相關資料，作了一番總結與思考。

（1）講授數學知識的歷史發展及演變歷程。例如在學習函數這一初中數學重點板塊時，對于剛剛接觸函數的初中學生來說，對函數概念的發展史，雖然不可能有較深的理解，但函數的演變史無疑對加深理解課堂知識、激發學習興趣是有益的。又如在學習從自然數到有理數這一板塊時，可以通過對“數的理論體系”發展的漫長歷程的展示，揭示數學不是靜止而是動態的，不是絕對的而是在猜想和證明中不斷發展進化的。從中展示出人類探索數學奧秘的決心和毅力，讓學生感受數學家治學的嚴謹，激發學生探索數學知識的熱情。

（2）利用數學家和數學研究的奇聞軼事形成激勵。帕斯卡爾16歲奠基射影幾何，牛頓22歲發現一般二項式定理，高斯18歲時發明了用圓規和直尺作正17邊形的方法；陳景潤艱辛付出完全靠紙筆和腦袋證明哥德巴赫猜想中的“1+2”，華羅庚克服貧寒困苦終有所成，陳省身作為現代微分幾何的開拓者被楊振寧譽為繼歐幾里得、高斯、黎曼、嘉當之后又一里程碑式的人物……在數學拓展課程的教學中，有意識地給學生介紹歷史上有名的國內外數學家治學的故事，將會帶給學生莫大的激勵。同時從他們治學的挫折和失敗的經歷中揭示在數學學習過程中出現困難是正常的，以此幫助學生樹立對數學學習的信心，幫助學生克服畏難心理。

（3）古為今用洋為中用，巧解歷史上的數學問題。歷史上的數學問題為數學拓展課程提供了豐富的教學資源，有許多可以直接用于當下的數學拓展課程。例如在講授概率這一板塊時，在數學拓展課上引入數學史上有名的“點數問題”：“若有甲乙兩人（賭技相當）各出賭金 96 金幣，規定必須要贏 3 場者才能贏得全部賭金 192 金幣，但比賽中途因故終止，此時甲、乙勝局數為 2：1.問：此時應如何分配賭金？”十五世紀到十七世紀共有五位數學家各自提出了自己的解法，教師可先出示題目并引導以小組為單位進行交流和解題，相繼出示歷史上數學家的解法，同學們可能會因為自己的解法和歷史上的解法的一致性而興奮不已。又如在引導學生用圖形直觀證明（a+b）2 =a2+b2 +2ab時，向學生介紹歐幾里得《幾何原卷》中的命題，如下圖：

另外，《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題，《九章算術》中的應用題，希臘三大幾何難題等都可以成為數學拓展課程的資源。歷史上的數學問題及其解法對于今天的數學教學不僅是一種資源支持，更可以讓學生通過思考與古代數學思想發生思維的碰撞。在一次HPM的教學實驗中，老師選取20名11—12歲的學生，先讓他們獨立完成選自于16世紀荷蘭數學教材中的三個題目，然后介紹原書上的解法。實驗過程中，學生對歷史上的方法產生了濃厚的興趣，為自己的解法與歷史方法的一致性而感到高興，也了解到了數學問題解法的多樣性，并比較了解法的優劣，建立了數學學習的自信。總之，數學史蘊含著大量數學知識發生發展的背景知識，數學研究的科學精神，是我們進行數學拓展課程建設的寶貴資源。

（二）利用拓展課集中講授數學思想和方法

中學數學教學內容大致由兩個部分組成：表層知識和深層知識。表層知識主要包括概念、性質、法則、公式等數學的基本知識和基本技能，深層知識主要指數學思想和數學方法。深層知識是數學的精髓，它起著支撐和統率表層知識的作用。筆者在多年的教學中也發現，出于教學考核的需要，教師往往不得不在表層知識上花大量時間對學生進行機械的訓練使得學生“做對”，以獲取更高的分數。訓練是必不可少的，因為強化是數學技能習得的重要手段，但僅僅為了“做對”而進行的強化于學生數學思維的發展而言并不能起到很好的作用，反而枯燥機械的重復會削弱學生在數學上的興趣和創造力。比如有的學生在一些熟悉的題目上游刃有余，但是題目稍微一變形就束手無策，分數落差巨大，究其原因在于，學生沒有真正獲取蘊含在題目中的深層知識。我們教師不僅要讓學生“做對”，還要讓學生“會做”，這就需要教師在基本知識和基本技能的教學過程中，不斷地滲透與之相關的數學思想和數學方法，即深層知識，讓學生在掌握兩基的同時領悟到數學思想和方法的統領性，繼而表里結合，高屋建瓴，占領數學學習的制高點，不斷提高數學思維和數學素養。根據義務教育課程標準（2011），初中階段的基本數學思想主要包括歸納、演繹、抽象、轉化、分類、模型、數形結合等，基本方法主要指待定系數法、消元法、配方法、換元法、圖象法等。初中數學方法在數學教材里都有具體涉及但缺乏系統性；數學思想散于教材和練習中，需要經過一定的歸納總結和強化才能夠較好地為學生所理解和吸收，因而，筆者認為，可以利用為數不多的數學拓展課程將平日里零碎的、未經總結和強化的數學思想和方法進行一番梳理，通過練習和強化幫助學生內化思想方法。如何將數學思想和方法融入數學拓展課程的設計呢？在同樣將拓展課程納入義務教育階段課程組成部分的上海，一項培養數學思維較好的學生運用數學方法的實踐研究或許能夠給我們提供一定的借鑒：

課題組通過梳理相關文獻和教學實踐研究證明初中數學方法和思想的運用對于數學思維水平稍低的初中學生的數學基礎成績提高無明顯效果，但對中等以上特別是將升入高一級學校繼續深造的學生有明顯效果。課題組首先在一所開設拓展課程的中學建立數學思想方法應用探究班。而后使用自編教材《初中數學方法80講——六 、七年級使用》和《初中數學方法120講——八、九年級使用》對探究班的學生進行每周一節數學思想方法課的拓展訓練，并以該班為案例總結經驗而后推廣至50多所學校。研究結果表明，使用《120講》的學校學生的數學中考成績及高分段比例有了明顯的提高。這讓筆者有了一定的思考，并得到一定的啟示：

（1）數學思想方法類的拓展課程更適合采用分層教學的方式。之所以選擇數學思維能力較好的學生參加探究班級是基于相關研究的結果。數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，基礎知識和基本技能較為薄弱的學生可能難以在較高層次上得到鍛煉，反而可能因此打亂原有的知識結構，失去數學學習的信心。因而，將數學思想和方法集中在數學拓展課程進行講授可以嘗試用“分層教學”的方式，這也是《關于深化義務教育課程改革的指導意見》所鼓勵嘗試的。但是實施分層教學應當遵循“學生自愿、教師走教、動態分層”的原則，切忌簡單地以學科成績分“快慢班”。

（2）學校應當積極籌備數學思想和方法教學的資源，包括師資團隊建設、教學材料的準備。目前還沒有一本教輔或教師參考用書對初中數學主要思想和方法進行專門梳理和總結并成冊，因而這給學校教師發揮自身教科研能力、自主開發校本教材提供了很大的空間。上述例子中的兩本《120講》即為學校教師自主編寫的校本教材。有條件的學校還可以聯合區內學校教師，利用集體智慧編寫適合全區學生使用的相關教材。這或許需要一個過程，需要多方支持，但是相信一旦編寫出相關教材將會受益無窮。

“作為知識的數學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學的精神、數學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地的發生作用，使人終身受益。”將數學思想和方法融入數學拓展課程不論對學生個人還是對學校的數學教學，都會大有裨益。

（三）開發數學應用與探究型拓展課程

數學應用與探究型課程的范圍很廣。既包括課堂內為了分析某個數學問題、弄清某個數學現象而展開的合作交流與探究，也包括課堂外以數學為載體展開的資料搜集和調研。數學應用與探究型拓展課程著眼于培養學生的方案設計選擇能力、信息搜集和處理的能力、問題分析和解決的能力、與人交流與合作的能力。新課程理念強調教學以學生現實生活和已有經驗為學習背景，筆者認為，數學應用和探究型拓展課程也應當聯系學生已有的知識經驗，從學生的學習和生活中找素材形成可供探究的內容，提高學生動手、實踐、思考、探索、閱讀自學和合作的能力。筆者從空間范圍的角度將這類數學拓展課程分為兩種：課堂內的拓展和走出課堂的拓展。

1.課堂內的拓展

在筆者所在的學校，不少數學教師已經開始嘗試拓展課程的教學。有的教師以《銀行存款中的利率問題》為一堂數學拓展課的主題，將生活中的利率問題引進課堂，通過引導學生自主設計存款方案、比較優化不同方案的活動，體會數學知識在實際生活中的應用的廣泛性和科學性，收到了良好的效果。教師首先向學生展示一張杭州銀行的存單，通過觀察存單的活動引導學生了解存單上有哪些信息，接著結合學生的表述借機完整介紹存款方式、本金、利息和利率等概念。在學生對以上基本概念有一定的了解后，引導學生得出以下公式：

①利息=本金*利率*存期。

②本息和=本金+利息。

接著教師創設情境，引導學生自主存款，通過填寫空白存單的活動，引導學生應用利息計算方式。教師假設一年后取出存款，再次引導學生在“存兩年定期”和“存一年再轉存一年”這兩種方式中通過計算選擇存款收益更多的方式，對存款的方案進行優化。最后教師引導學生放眼儲蓄存款以外的理財方式，將知識延伸到課堂之外，將課堂和實際相聯系起來。以上教學設計的最大亮點在于，這位老師將數學教材中有關利率的知識進行了拓展和遷移，將學生的視線引到生活情境中，形成了“創設問題情境——建立數學模型——對所建的數學模型進行解釋與應用”的課堂教學模式。本堂數學拓展課集應用性和探究性為一體，充分鍛煉了學生實踐、探索、思考、合作的能力。

另一位教師則以橋牌為拓展課程的主題，將課程合理有序地安排在一個學期，使用自編的講義用11個課時完成了橋牌的課堂趣味教學。其主要安排如下：

講義一

就內容而言，該教師對橋牌的講解由淺入深，將理論上的方法及原則同學生具體的實踐操作相結合。為了不破壞教學設計的完整性，筆者選取講義一的部分內容為例：

001.【何為橋牌】橋牌集思維、分析、計算、推理于一身，是國際比賽項目。我國男女選手在世界上均有很高的水平。中學生完全有必要對橋牌有一個比較好的了解。

002.【橋牌打法】你和對家是朋友，聯合起來與另兩家作戰。使用統一的叫牌法（后學），使用獨立的坐莊技術（后學），使用聯合的防守手段（后學），進行游戲或者比賽。

003.【橋牌基本規則】一副撲克54張，去掉2張Joker共52張。分4門花色各13張（從A，K，Q，J， 10，9，8，7，6，5，4，3，2）。請按花色理好，記號：黑桃S，紅桃H，方塊D，草花C.為相對橋牌有一個強弱之分，規定A記4點，K記3點，Q記2點，J記1點，其余不計。當一手牌?12點時，理解為較好，可以開叫。當一手牌?7點時，理解為稍好，可以應叫或者爭叫。

004.開叫。己方與敵方都沒有叫過牌，以新自然叫牌法（約定極少，比較自然）為準，以下同。

筆者幾次觀摩橋牌拓展課，發現學生對此十分投入，課間還不忘和同學就課堂內容進行交流和討論，可見以橋牌教學為主題的拓展課深受學生的歡迎。類似于橋牌的可供拓展的內容還有很多，例如國際象棋，24點算法等。我們學校數學拓展課還開設了數學未來領袖、懂點經濟學等。筆者也了解到在杭州市下城區的一些小學，教師將學生的視野引到校園中，引導學生利用數學知識計算物體表面積體積等，稱之為“數學步道”。還有的學校將學生圍成圓桌的合作探究形象地稱為“普羅米修斯的智慧桌”，這些也都是可供借鑒的方式。

（2）走出課堂的拓展。沒有空間和時間的限制，走出課堂的拓展可以有效地溝通和融合“課內與課外”、“數學與生活”、“知識與能力”。將數學和實踐相結合形成數學課題研究是走出課堂的拓展的一種重要途徑。例如，有同學發現手機服務商推出不同的服務套餐，這激發了他探究手機套餐搭配的興趣，并在同老師和同學的交流與合作中形成了《爸爸手機運營商及套餐的選取和優化》等研究；有同學對車牌號的編碼方式產生探究的欲望，通過上網搜集資料、實地采訪等形式形成《數學編碼在我市車牌號中的運用》的研究報告。這些都是走出課堂的數學拓展課程的表現。

五、小結

在實際數學拓展課程的教學中，其原則和可使用的途徑與內容還有許多，筆者的總結只是關于數學拓展課程原則和途徑的一種看法，當然還有許多原則和途徑有待探究。在一堂數學拓展課上，講授的途徑和內容也并不僅僅局限于某一種，而往往是多種途徑和內容相結合。假設在課堂上強行“貼標簽”似地講授數學史， 并不能很好地發揮數學史的功能，甚至學生可能會因為這些課程與“分數” 無關， 而“抵制”學習；又假設我們一味地講數學思想則容易導致學生精力疲乏，事倍功半。數學拓展課程的教學也同樣如此，不管構成數學拓展課程的途徑和內容如何組合，都必須以“為學生的數學學習服務”為宗旨。教師在拓展教學過程中要把握教學方向，思路合理，避免“為了拓展而拓展”。

數學拓展課程應與數學基礎課程有機結合，它應立足數學基礎課程所學的內容，并有一定的超越，但始終是為學生的數學學習服務和奠基的。只有從學生的角度出發，為學生的數學素養提升著想，這樣的數學拓展課程才是有效的、適時適度的。因此在數學拓展課程的建設中，我們應當找準學生所需，根據校情、學情制定符合學生認知水平的拓展課程，付之以切實的行動進行有效地拓展，使數學課程因拓展而生趣盎然，使學生因拓展而學有所獲。

參考文獻：

[1]浙江省教育廳.深化義務教育課程改革指導意見[S].2015.3.

[2]浙江省教育廳教研室深化義務教育課程改革調研組.浙江省深化義務教育課程改革啟動情況調研報告[J].教學月刊·中學版（教學管理），2015，Z2：3-8.

[3]教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012

[4]陳加倉.小學數學拓展性課程的開發與實踐研究[J].課程教育研究，2013，06：41-43.

[5]呂秀俊.對新課標下小學數學生活化的探究[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版），2006，S2：224-226.

[6]馮振舉，楊寶珊.發掘數學史教育功能，促進數學教育發展——第一屆全國數學史與數學教育會議綜述[J].自然辯證法通訊，2005，04：108-109.

[7]汪曉勤，張小明.HPM研究的內容與方法[J].數學教育學報，2006，01：16-18.

[8]張奠宙，鄭振初.“四基”數學模塊教學的構建——兼談數學思想方法的教學[J].數學教育學報，2011，05：16-19.

[9]喬一鵬.培養智優學生運用數學方法的實踐研究[J].上海中學數學，2009，05：16-17.

[10]梁立士.初中數學專題復習“橫向拓展”教學模式初探[J].中國數學教育，2011，23：10-12.