概念，在“線”與“面”的行進中明晰

張穎穎

[摘 要]數學概念教學的追求并非是使學生明白形式化的定義，而是讓學生真正從意義上理解和從本質上把握概念。面積概念的建立是學生空間觀念形成過程中的一次重要飛躍，標志著學生在認識一維空間的基礎上開始認識二維空間。因此，教學預案應因生而設，教學過程要順學而導。數學概念教學要從學生的認知起點出發，引導學生積極探索、主動發現、深刻體會，以實現讓學生在“線”與“面”的行進中明晰面積概念的目的。

[關鍵詞]概念教學 感知 理解 深化 升華 融會 面積

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）17-015

源起：概念，學生真的理解了嗎？

我偶然聽到幾位同事聊天：“現在的學生真是越來越差了，長度單位與面積單位老是亂用，怎么講都沒用！”“學生的作業也是錯得一塌糊涂。”“是啊，我們班學生也是這樣……”普遍問題的背后是否存在共性？我們的概念教學是否存在問題，導致學生根本沒有真正理解面積的含義？帶著這些問題，我走近學生。

我隨機走進三年級的兩個班，拿起數學書讓學生指一指數學書封面的大小。此時，學生尚未認識面積，但他們對數學書封面大小的表示驚人的統一：約90%的學生指周長，4%的學生茫然，6%的學生摸數學書部分的封面或點數學書封面的中心。此后，我陸續在兄弟學校進行走訪，發現結果也基本相同。可見，此時學生的思維尚停留在一維空間，對面積的理解或表達都是貧乏的、蒼白的。

那么，學習面積概念后的學生是否真正理解了概念，實現一維空間向二維空間的發展呢？在教學此課后，我第一時間走近學生，就“一樣長的線，圍出的圖形面積是否相等”這一問題與他們進行探討。遺憾的是，92%的學生依然“線”“面”混淆，將比線的長短等同于比面的大小。所以，單純的面積概念的教學可能很難使學生真正建立起面積的概念，更難以實現一維空間向二維空間的發展。

回想之前的對話與近段時間對學生的了解，我不斷思考著兩個問題：“線”與“面”如何真正辨析，有效溝通？“面”和“面積”的區別是什么，兩者又該如何有機銜接？

思考：概念，如何讓學生真正理解？

“面積的認識”是小學數學中面積知識學習的開始，是“圖形與幾何”領域的重要內容。面積概念的建立是學生空間觀念形成過程中的一次重要飛躍，標志著學生在認識一維空間的基礎上開始認識二維空間。面和面積是兩個不同的概念，面是指有長有寬而沒有厚度的一種行跡，這種行跡有平面還有曲面；而面積是指一個物體表面或封面圖形所圍成的區域的度量。為此，本課教學應該從知識的本質入手，立足學生已有的認知基礎，圍繞物體表面、平面圖形將面與面積的知識科學銜接，并通過“線”與“面”的辨析活動，促進學生對知識的深層思考，逐步感知面積的含義，獲得對知識本質內涵的理解。

實踐：概念，在“線”“面”辨析中行進

一、在觀面中感知概念

1.了解學情

師：今天這節課，我們一起來研究“面積”。大家覺得什么是面積？

生1：物體表面是面積。

生2：長方形的面積是長乘寬。

生3：面積就是平方……

師：今天的學習內容，就從同學們提到的對物體表面的研究開始。

2.合作觀面

師：四人小組合作，交流討論對物體（如水杯、數學書等）表面的認識。

課件出示合作要求：四人小組找一找、摸一摸物體的面，相互說說自己有什么發現。

3.匯報交流，豐富認識

學生小組匯報有以下幾種情況：（1）從物體的材質方面進行匯報，如面是滑滑的、粗糙的；（2）從面的個數方面進行匯報，如數學書有6個面等；（3）從物體面的形狀方面進行交流，如紙盒有的面是長方形的，有的面是三角形的；（4）從物體面的特點方面進行交流，如水杯上面是平平的、主體是彎彎的。

4.適時點評，抽象出平面與曲面

師在學生匯報時，均給予適時的點評，并引導學生從提到的“平平的面、彎彎的面”中及時抽象出平面與曲面這兩個概念。

5.小結

師：通過四人小組合作，我們發現了物體的面有平面，也有曲面，而且形狀各不相同。

……

面積的研究基于面大小的度量。生活中，“面”都是依附“體”存在的，而學生對一個事物的認知往往都是先從整體感知，再到逐步觀察的。

基于此，我在全課的起始環節從整體感知導入，借助數學書、水杯、紙盒這三個物體，讓學生以小組為單位找一找、摸一摸物體的面。由于所提供的學具形狀具有代表性，學生自然而然地將觀察點聚焦到了“面”上，并能很快發現不同的物體，面的形狀會有所不同。同時，學生通過觸摸感受到了平面與曲面，有效完成了對“面”的整體感知。

二、在辯面中理解概念

（一）物體表面

1.辨析線與面，認識面積

（1）請面。

課件動態演示，分別出示數學書封面、水杯頂面和紙盒側面。

（2）辨面（以數學書封面為例）。

①指。

師：這些面各有多大呢？現以數學書封面為例，同桌兩人指指它的大小。（大部分學生指的是周長，于是先請指周長的學生上臺演示，再通過學生間的辨析，引出不同的意見）

②刷。

師：如果真的如第一個同學所指的那樣，那指出的只是這個面的邊線，所以應該要像第二個同學那樣指。（然后讓學生舉起小手，想象它就是一把神奇的帶顏色的刷子，一起刷出整個面的大小。同時，師邊說邊用課件動態呈現描數學封面邊線、里面部分消失的過程，再出示用刷子刷數學書封面的過程）

③描述。

師：現在你覺得數學書封面的大小指的是什么？

生1：整個面都是。

生2（指數學書封面）：就是這里面的一大片。

……

（3）說一說水杯頂面與紙盒側面的大小。

師（小結）：像這樣，物體表面的大小，就叫這個面的面積。

2.比較三個面面積的大小

師：找比數學書封面的面積大得多的面，比黑板面的面積小一點的面，比黑板面的面積大得多的面。

（二）封閉圖形

1.圍

師：剛才我們通過對物體表面的研究，知道了什么叫面積。現在老師這里有這樣的四條線（如右圖），如果將它們分別圍成一個封閉圖形，想一想，會圍成什么圖形？（課件動態演示將四條線段圍成圓、正方形、長方形、三角形）

2.指

（請學生代表上臺指一指封閉圖形的面積在哪里）

師生（小結）：圓的大小，就是圓的面積；長方形的大小，就是長方形的面積；正方形的大小……

師：是啊，封閉圖形的大小，也叫封閉圖形的面積。

3.比較

師：這里圓、長方形、正方形、三角形的面積，誰大誰小呢？

生3：圓的面積最大，三角形的面積最小，長方形與正方形的面積相等。

生4：圓的面積最大，三角形的面積最小，正方形的面積比長方形的面積大。

4.辯

（請持不同意見的學生分別闡述理由，學生有的認為圍兩個圖形的線一樣長，所以它們的面積一樣大；有的則認為雖然圍的線一樣長，但是面積不一定相等）

師（提煉觀點并板書）：一樣長的線，圍出來的圖形，面積一定（不一定）相等。（然后給出兩根一樣長的線，邀請意見相反的兩個學生在操場上圍一圍，使學生通過動手操作，得出結論：一樣長的線，圍出來的圖形，面積不一定相等。

……

面積概念的建立標志著二維空間認識的開始。上述教學作為面積概念構建的重要環節，我主要從物體表面與封閉圖形兩個方面引導學生認識面積，并緊扣學情設計兩個“線”“面”的辨析活動。第一個活動為討論“面的大小指哪里”。受周長的負遷移影響，大部分學生通常用“指邊線”代替“摸面”，分析其背后的原因主要有兩個：一是學生確實不理解面的大小到底指哪里；二是學生懵懂知曉，但不知如何表達。可見，不論是哪種情況，都有必要讓學生經歷“指邊線”與“摸面”的辨析活動，從本質上實現他們對面積概念的有效構建。第二個活動為討論“一樣長的線圍出的圖形面積是否一定相等”。大部分學生都認為兩條一樣長的線所圍的圖形的面積一定相等，即將線的長短等同于面的大小。所以，在認識封閉圖形面積這一環節中，我再一次引入“線”“面”的比較：用四根線段（其中兩根線的長度相等）圍封閉圖形，引導學生在比較所圍圖形面積的大小時展開討論，得出一樣長的線圍出的圖形面積一定相等與面積不一定相等兩個觀點。毋庸置疑，學生在經歷了這樣兩個“線”“面”的辨析活動后，對面積概念的理解會更加深刻，一維空間向二維空間的發展也就水到渠成了。

三、在測面中深化概念

1.同桌合作，測量圖形面積的大小

課件出示大小不同的正方形、圓形、剪刀，要求學生同桌合作，選擇工具比較圖形面積的大小。

2.匯報交流，分享比較的方法

學生的比較方法主要有兩種，分別為剪拼法與擺圖形，作品如下圖。

接著，師引導學生觀察比較長方形、正方形面積大小的方法，并讓學生思考：哪種方法最合理，為什么？然后使學生得出：用完全一樣的小正方形來量，是非常不錯的方法。在此基礎上，師引導學生理解只擺一行一列的這種情況，并讓學生介紹是怎樣比較圖形面積大小的。

……

顯而易見，上述環節是為學生進一步理解面積概念而設計的，并為面積單位的教學埋下伏筆。

在通過擺圖形來比較圖形面積大小的過程中，體現了多個思維層次，即有的擺滿，有的只擺一行一列就能比較出圖形面積的大小了。而且，學生在比較中，有的選擇擺正方形比較，有的選擇擺圓形比較，有的統一了比較的標準，有的則沒有統一比較的標準。雖然方法各有不同，且有瑕疵，但學生均已由課始的比“線”到了如今自覺的比“面”，有效深化了所學的數學概念。

四、在想象中升華概念

1.猜一猜

師（多媒體動態呈現下圖）：哪個長方形的面積大？

通過猜一猜使學生明確：要想象一個長方形的面積，至少要知道兩個元素，即長與寬。

2.估計（多媒體出示下圖）

根據已知的長與寬，想象是什么學習用品的哪個面，并估計這個面的面積有幾個小正方形這么大。（此題有橡皮上面、學生尺表面、鉛筆盒上面三組學習用品，圖例僅為其中的一組）

……

小學階段是人的一生中空間觀念發展的重要時期，而“圖形與幾何”領域的教學內容無疑是培養學生空間觀念的最佳載體。誠然，這節課的“線”“面”辨析已為發展學生的空間觀念提供了較好的平臺。于此，我還想從空間想象這個維度加以落實與升華，逐步引領學生實現一維空間到二維空間的發展。

在此課的練習環節中，我借助空間想象設計了“猜一猜”的活動，在鞏固新知的同時再次發展學生的空間觀念，引導學生從“看到一行一列想象長方形的面積”到“看到一條長和一條寬想象長方形的面積”再到“只看到一條邊能不能想象一個長方形的面積”，使學生直觀而又深刻地感悟到：要想象一個長方形的面積，至少要知道長與寬兩個元素。基于此，我再讓學生根據提供的一條長與一條寬想象長方形的面積，并與生活中實際物體的面加以聯系，借助小正方形估測面積。在這層層深入的猜測和想象中，學生的參與熱情被點燃，更是由具象到抽象，再由抽象回到具象，形象直觀地實現一維空間向二維空間的發展。

五、在溝通中融會概念

1.以線量線

師：還記得我們量線段長度時，是用什么量的嗎？（學生回答后，課件演示用尺子測量線段的長度，如下圖）

2.以面量面

師（課件動態演示線變成面的過程）：現在，我們知道了可以用小正方形去量面積。

3.以體量體

師（課件動態演示面變成體的過程）：如果我們以后要測量立體圖形面積的大小，會用什么量？

……

在“圖形與幾何”內容中，長度、面積、體積是刻畫圖形大小的度量概念，根據圖形的維數，它們的內涵表述是有差異的。長度、面積和體積是一組從一維空間至二維空間再到三維空間的度量概念，三者在要素構成中具有邏輯關系，經歷了“點——線——面——體積”的過程。本節課“面積的認識”，打破了學生用線度量長度的單一思維，開始接觸以面度量面積大小的知識，而單位的匹配性會是我們教學中關注的重點。

課末，我從單位匹配性的溝通比較與拓展延伸入手，設計了“以線量線”“以面量面”“以體量體”的環節，使學生在回憶、思考與推論中融會貫通。在數形結合的直觀演示中，學生形成了認知表象，使長度與面積的表征于潛移默化中記憶深刻，而對體積的感悟也逐漸加深。這一環節的設計不僅是全課的知識回顧，更是“圖形與幾何”領域知識脈絡的橫向溝通與縱向深入。相信有了以上的教學，學生濫用單位的現象會得到明顯改變。

數學概念教學的追求并非是使學生明白形式化的定義，而是讓學生真正從意義上理解和從本質上把握概念。課堂教學設計有多種方法，但無論是掌握概念，還是滲透思想方法都非教師的一廂情愿，而應該是因生而設、順學而導。朱永新教授曾說過：“要想把學生引領到你需要的地方，你得知道學生現在在哪里。”此課教學從學生的認知起點出發，在“線”與“面”的一觀一辯、一測一想之間層層深入，引導學生積極探索、主動發現、深入體會，使學生的思維在數學概念教學中得到發展。

（責編 藍 天）